Методические указания к заданиям 1 и 2

Средними величинами в статистике называют обобщающие показатели, выражающие типичные, характерные для определенных условий места и времени размеры и количественные соотношения явлений общественной жизни.

В статистике различают несколько видов средних величин, а именно: арифметическую, гармоническую, геометрическую и др.

В зависимости от частоты повторения вариант средние исчисляются как простые невзвешенные, так и взвешенные.

Среднюю арифметическую невзвешенную рассчитывают по формуле:

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru ,

В задании 1 вид и форма средней выбирается исходя из экономического содержания исчисляемого показателя. Так, например, средняя урожайность определяется отношением валового сбора к посевной площади. Если в условии задачи по бригадам (хозяйствам и т.п.) имеются данные об урожайности и посевной площади, то исходя из экономического содержания показателя для определения средней урожайности применяется средняя арифметическая взвешенная:

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru

где Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru - значение осредняемого признака (урожайность),

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru - частота (посевная площадь),

n- число единиц совокупности.

Средняя гармоническая невзвешенная определяется по формуле

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru

Если же в условии даны показатели об урожайности культуры и ее валовом сборе, то для расчета средней урожайности применяется формула средней гармонической взвешенной:

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru

где Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru - сумма значений осредняемого признака по группе (валовый сбор);

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru - значение осредняемого признака (урожайность).

Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине заданного признака, т.е. когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины.

Аналогичен подход для расчета средней цены, среднего процента выполнения плана, средней производительности труда и т.п.

Средняя геометрическая определяется по формуле

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения среднегодовых темпов роста в рядах динамики.

Как сказано выше, при выборе того или другого вида средней следует исходить из того, что средняя применена правильно тогда, когда она имеет реальный экономический смысл.

Разновидностью средней являются мода и медиана. Эти величины также используются в качестве характеристик вариационного ряда.

Мода (М0) - варианта, встречающаяся в изучаемой совокупности чаще всего, т.е. варианта, которой соответствует наибольшая частота.

Для дискретного ряда распределения мода определяется наиболее просто: варианта, против которой располагается наибольшая частота, и будет модой.

В интервальном ряду наибольшая частота указывает не на модальную варианту, а на содержащий моду интервал. Поэтому в модальном интервале необходимо определить модальную варианту. При этом надо иметь в виду, что при расчетах будет получено не точное, а некоторое условное значение моды, так как неизвестен характер распределения частоты внутри модального интервала.

Вычисление моды в интервальном ряду производится по следующей формуле:

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru ,

где хМо - начало (нижняя граница) модального интервала (15);

i - величина интервала (2);

fМо - частота модального интервала (30);

f Мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному (20);

f М0+1 - частота интервала, следующего за модальным (25).

Воспользуемся данными табл. 1.1. и рассчитаем моду:

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru

Медиана (Ме)- варианта, находящаяся в средине ряда распределения. Для ее определения достаточно расположить в порядке возрастания или убывания все варианты. Срединная варианта и будет являться медианой. Расчет медианы для интервального ряда производится по формуле

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru ,

где хМе - начало (нижняя граница) медианного интервала (15);

i- величина интервала (2);

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru - сумма накопленных частот ряда (100);

sМе-1 - накопленная частота вариант, предшествующих медианному (35);

fМе - частота медианного интервала (30).

Воспользуемся данными табл. 1.1. и рассчитаем медиану. В табл. 1.1. Ме лежит между 50 и 51 частотами, а они находятся в сумме накопленных частот, равной 65, поэтому интервал 15-17 является медианным. Определяем медиану

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru

Для характеристики размеров колеблемости признаков в статистике применяется следующие показатели: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации и др.

Размах вариации представляет собой разность между наибольшим (хmax) и наименьшим (xmin) значениями вариант, т.е.

R=хmaxmin

Например, размах вариации производительности труда рабочих в бригаде (см. табл. 1.1) равен: 21-9=12 дет. в смену. Среднее линейное отклонение ( Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru ) определяется из отношения суммы, взятой по абсолютной величине (без учета знака) отклонения всех вариант от средней арифметической, к объему всей совокупности. Оно бывает незвешенное и взвешенное и определяется соответственно по формулам:

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru ,

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru ,

Дисперсия Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru - это средняя из квадратов отклонений значений признака от его средней арифметической величины. Она определяется по формуле средней арифметической простой:

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru

или средней арифметической взвешенной

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru

Если имеются два взаимоисключающих друг друга варианта, то вариация признака называется альтернативной. Обозначая наличие признака - 1, а отсутствие - 0, и долю вариантов обладающих данным признаком - p, а долю вариантов, не обладающих им - q и замечая, что p+q=1, получаем среднюю:

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru

Дисперсию альтернативного признака определяем по формуле:

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru

Следовательно, дисперсия альтернативного признака

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru

Среднее квадратичное отклонение - это корень квадратный из дисперсии - определяется по формулам средней арифметической простой:

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru

или средней арифметической взвешенной

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru

Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака:

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru

Мерой сравнения степеней колеблемости для двух, трех и более вариационных рядов служит показатель, который носит название коэффициента вариации и определятся по формуле:

Методические указания к заданиям 1 и 2 - student2.ru

Результаты расчета средней и показателей вариации студент должен представить в таблице по форме табл. 1.1.

Таблица 1.1.

Пример определения средней и показателей вариации.

Наши рекомендации