Институт менеджмента и информационных технологий
(филиал)федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» в г. Череповце (ИМИТ «СПбГПУ»)
Кафедра финансов
Контрольная работа
Дисциплина: «Математические методы в экономике»
Выполнила студентка группы
№ варианта № 9
г. Череповец
№ 1
Предприятие производит два продукта и использует в производстве два ресурса. Технологическая матрица производства, запасы ресурсов и удельные прибыли заданы таблицей. Построить множество допустимых планов производства, определить оптимальный план производства и соответствующую ему прибыль. Найти двойственные оценки ресурсов и их общую стоимость.
| 1 продукт | 2 продукт | Запасы | |
| 1 ресурс | |||
| 2 ресурс | |||
| Прибыль |
Разобьем решение задачи на 2 этапа
I – Построить множество допустимых планов производства, определить оптимальный план производства и соответствующую ему прибыль.
II - Найти двойственные оценки ресурсов и их общую стоимость.
I этап
Обозначим объем производства первого продукта - x1, второго продукта – x2.
Цель задачи – добиться максимального дохода от реализации продукции. Критерием эффективности служит показатель дохода, который должен стремится к максимуму. Чтобы рассчитать величину дохода от продажи продуктов 1 и 2 , необходимо знать объемы производства продуктов и цены за единицу измерения объемов.
Общая прибыль предприятия может быть описана целевой функцией L(x): сумма доходов от продажи продуктов 1 и 2 (при допущении независимости объемов сбыта каждого из продуктов):
L(x) = 39*x1 + 29*x2 max
Возможные объемы производства продуктов x1 и x2 ограничиваются следующими условиями:
Расход ресурсов 1 и 2:
1 ресурс: 29*x1 + 59*x2 <=109
2 ресурс: 69*x1 + 39*x2<=129
Выпуск продукции не должен быть отрицательным x1>=0 x2>=0
Рассмотрим предельные варианты производства продуктов 1 и 2:
1 ресурс: 29*x1+59*x2=109
x1=0: 29*0 +59*x2=109 x2=109/59=1,85 обозначим как точка А[0;1,85]
x2=0: 29*x1+59*0=109 x1=109/29=3,76 обозначим как точка B[3,76;0]
2 ресурс: 69*x1+39*x2=129
x1=0: 69*0+39*x2=129 x2=129/39=3,3 обозначим как точка С [0;3,3]
x2=0: 69*x1+39*0=129 x1=129/69=1,86 обозначим как точка D [1,86:0]
Построим множество допустимых планов производства двух продуктов x1 и x2, для этого построим графики использования ресурсов 1 и 2
Рисунок 1. График №1
Точку начала координат обозначим О[0;0]
Точку пересечения 2-х графиков обозначим Е
Фигуры ОАВи ОСD представляют собой множество возможностей использования ресурсов 1 и 2
Фигура ОАЕDв данном случае будет являтьсямножеством допустимыхпланов производства двух продуктовx1иx2
Точка Е (точка максимума) характеризует наиболее полное использование ресурсов 1 и 2 при производстве продуктов x1иx2. Найдем её решив систему уравнений:
29*x1 + 59*x2=109
69*x1 + 39*x2=129
Выразим х1, в зависимости от х2 из первого уравнения
х1=(109-59*х2)/29
Подставим полученный результат во второе уравнение
69*(109-59*х2/29)+39х2=129
х2=9/7=1,28
Вычислим х1
х1=(109-59*1,28)/29
х1=1,14
Точка Е имеет координаты [1,14;1,28]
Тогда оптимальный план производства будет:
х1=1,14 и х2=1,28
Отсюда максимальная прибыль предприятия:
Lmax(x)=39*x1 + 29*x2= 39*1,14 + 29*1,28=44,46 + 37,12=81,58
II этап
Обозначим затраты на 1 ресурс - y1 , 2 ресурс – y2
Цель задачи – добиться минимальных затрат на ресурсы при производстве продуктов. Критерием эффективности служит показатель затрат на приобретение ресурсов, который должен стремится к минимуму. Чтобы рассчитать стоимость ресурсов 1 и 2, необходимо знать количество используемых ресурсов на производство продуктов и себестоимость готовых продуктов.
Общие затраты предприятия могут быть описаны целевой функцией L(Y): сумма затрат на приобретение ресурсов 1 и 2 (при допущении независимости объемов приобретения каждого из ресурсов):
L(Y)= 109*y1 + 129*y2 min
Допустим, что прибыль от продажи, приведенная в условиях задачи, является себестоимостью продуктов 1 и 2. Цена не может опускаться ниже себестоимости, так иначе производство будет убыточным. Себестоимость в свою очередь зависит от цен на ресурсы. Возможные варианты затрат на ресурсы y1иy2,ограничиваются следующими условиями:
Стоимость продуктов 1 и 2:
1-й продукт 29*y1 + 69*y2 >=39
2-й продукт 59*y1+ 39*y2 >=29
Цена не может быть отрицательной:
y1>=0 и y2>=0
Рассмотрим предельные варианты затрат на ресурсы 1 и 2:
1-й продукт: 29*y1 + 69*y2 = 39
y1=0; 29*0 +69*y2 = 39 y2= 39/69=0,56 обозначим как точку А[0;0,56]
y2=0; 29*y1+69*0 = 39 y1=39/29=1,34 обозначим как точку B[1,34;0]
2-й продукт: 59*y1+ 39*y2= 29
y1=0; 59*0 +39*y2 = 29 y2= 29/39=0,74 обозначим как точку C[0;0,74]
y2=0; 59*y1+39*0 = 29 y1=29/59=0,49 обозначим как точку D[0,49;0]
Построим множество значений возможной себестоимости продуктов 1 и 2 в зависимости от затрат на ресурсы y1и y2 , для этого построим графики затрат на ресурсы 1 и 2:
Точки [0;+∞] и [+∞;0] обозначим E и F соответственно
Точку пересечения графиков обозначим G.
Рисунок 2. График №2
Фигуры EABF и ECDF представляют собой множество значений возможной себестоимости продуктов 1 и 2 соответственно.
Фигура ECGBF в данном случае будет являться совокупным множеством допустимых значений возможной себестоимости продуктов 1 и 2 в зависимости от затрат y1 и y2
Точка G (точка минимума) характеризует наименьшие возможные затраты y1 и y2при производстве продуктов 1 и 2. Найдем её, решив систему уравнений:
29*y1+69*y2=39
59*y1+39*y2=29
Выразим y2в зависимости отy1из первого уравнения
y2=(39 - 29*y1)/69
Подставим это значение во второе уравнение и найдем y2:
59*y1+39*(39-29*y1)/69 =29
y1=0,16
Вычислим y2:
y2=(39-29*0,16)/69=0,49
Точка G имеет координаты [0,16;0,49]
Тогда минимальные затраты на ресурсы 1 и 2 при заданной себестоимости будут
y1=0,16 и y2=0,49
Отсюда минимальные затраты на ресурсы при производстве продуктов 1 и 2:
Lmin(Y)= 109*y1 + 129*y2= 109*0,16 + 129*0,49=17,44 + 63,21=80,65
ОТВЕТ:
I этап – Множество допустимых планов фигура OAED из графика №1, оптимальный план производства 1,14 единиц первого продукта за цикл и 1,28 второго продукта за цикл, соответствующая ему прибыль составит 81,58 рублей.
II этап – Двойственные оценки ресурсов – фигура ECGBF из графика № 2, минимальная себестоимость первого продукта 0,16 рубля а второго продукта 0,49 рубля, соответствующие им затраты 80,65 рублей.
№ 2
Предприятие производит два продукта и использует в производстве два ресурса. Технологическая матрица производства, запасы ресурсов и удельные прибыли заданы таблицей. Построить множество допустимых планов производства, определить оптимальный план производства и соответствующую ему прибыль. Найти двойственные оценки ресурсов и их общую стоимость.
| 1 продукт | 2 продукт | Запасы | |
| 1 ресурс | |||
| 2 ресурс | |||
| Прибыль |
Разобьем решение задачи на 2 этапа
I – Построить множество допустимых планов производства, определить оптимальный план производства и соответствующую ему прибыль.
II - Найти двойственные оценки ресурсов и их общую стоимость.
I этап
Обозначим объем производства первого продукта - x1, второго продукта – x2.
Цель задачи – добиться максимального дохода от реализации продукции. Критерием эффективности служит показатель дохода, который должен стремится к максимуму. Чтобы рассчитать величину дохода от продажи продуктов 1 и 2 , необходимо знать объемы производства продуктов и цены за единицу измерения объемов.
Общая прибыль предприятия может быть описана целевой функцией L(x): сумма доходов от продажи продуктов 1 и 2 (при допущении независимости объемов сбыта каждого из продуктов):
L(x)=39*x1 +209*x2 max
Возможные объемы производства продуктов 1 и 2 ограничиваются следующими условиями:
Расход ресурсов 1 и 2:
1-й ресурс : 79*x1+109*x2 <=709
2-й ресурс: 39*x1+49*x2 <=149
Выпуск продуктов не может быть отрицательным:
x1>=0 x2>=0
Рассмотрим предельные варианты производства продуктов 1 и 2:
1-й ресурс:
79*x1 + 109*x2 = 709
x1=0: 79*0 + 109*x2 = 709 x2=709/109 = 6,5 обозначим как точку А [0;6,5]
x2=0: 79*x1+ 109*0 = 709 x1=709/79 = 8,97 обозначим как точку В [8,97;0]
2-й ресурс:
39*x1 + 49*x2=129
x1=0: 39*0 + 49*x2 = 129 x2=129/49 = 2,63 обозначим как точку C [0;2,63]
x2=0: 39*x1+ 49*0 = 129 x1=129/39 = 3,3 обозначим как точку D [3,3;0]
Построим множество допустимых планов производства двух продуктов x1 и x2, для этого построим графики использования ресурсов 1 и 2
Точку начала координат обозначим О[0;0]
Фигуры ОАВи ОСD представляют собой множество возможностей использования ресурсов 1 и 2
Фигура ОCDв данном случае будет являтьсямножеством допустимыхпланов производства двух продуктовx1иx2
Точка C (точка максимума) характеризует наиболее полное использование ресурсов 1 и 2 при производстве продуктов x1иx2
Рисунок 3. График № 3
Тогда оптимальный план производства будет x1=0 и x2=2,63
Отсюда максимальная прибыль предприятия
Lmax(x)= 39*0 + 209*2,63 =549,67
II этап
Обозначим затраты на 1 ресурс - y1 , 2 ресурс – y2
Цель задачи – добиться минимальных затрат на ресурсы при производстве продуктов. Критерием эффективности служит показатель затрат на приобретение ресурсов, который должен стремится к минимуму. Чтобы рассчитать стоимость ресурсов 1 и 2, необходимо знать количество используемых ресурсов на производство продуктов и себестоимость готовых продуктов.
Общие затраты предприятия могут быть описаны целевой функцией L(Y): сумма затрат на приобретение ресурсов 1 и 2 (при допущении независимости объемов приобретения каждого из ресурсов):
L(Y)= 709*y1+ 129*y2 min
Допустим, что прибыль от продажи, приведенная в условиях задачи, является себестоимостью продуктов 1 и 2. Цена не может опускаться ниже себестоимости, так иначе производство будет убыточным. Себестоимость в свою очередь зависит от цен на ресурсы. Возможные варианты затрат на ресурсы y1иy2,ограничиваются следующими условиями:
Стоимость продуктов 1 и 2:
1-й продукт 79*y1 + 39*y2 >=39
2-й продукт 109*y1+ 49*y2 >=209
Цена не может быть отрицательной:
y1>=0 и y2>=0
Рассмотрим предельные варианты затрат на ресурсы 1 и 2:
1-й ресурс:
79*y1 + 39*y2 = 39
y1=0; 79*0 +39*y2 = 39 y2= 39/39=1 обозначим как точку А[0;1]
y2=0; 79*y1+39*0 = 39 y1=39/79=0,49 обозначим как точку B[0,49;0]
2-й продукт: 109*y1+ 49*y2= 209
y1=0; 109*0 +49*y2 = 209 y2= 209/49=4,26 обозначим как точку C[0;4,26]
y2=0; 109*y1+49*0 = 209 y1=209/109=1,91 обозначим как точку D[1,91;0]
Построим множество значений возможной себестоимости продуктов 1 и 2 в зависимости от затрат на ресурсы y1и y2 , для этого построим графики затрат на ресурсы 1 и 2:
Точки [0;+∞] и [+∞;0] обозначим E и F соответственно
Рисунок 4. График № 4
Фигуры EABF и ECDF представляют собой множество значений возможной себестоимости продуктов 1 и 2 соответственно.
Фигура ECDF в данном случае будет являться множеством допустимых значений возможной себестоимости продуктов 1 и 2 в зависимости от затрат
Y1и y2.
Точка С (точка минимума) характеризует наименьшие возможные затраты
y1и y2при производстве продуктов 1 и 2.
Тогда минимальные затраты на ресурсы 1 и 2 при заданной себестоимости будут
y1=0 и y2=4,26
Отсюда минимальные затраты на ресурсы при производстве продуктов 1 и 2:
Lmin(Y)= 709*y1+129*y2= 709*0 + 129*4,26=549,54
ОТВЕТ:
I этап – Множество допустимых планов производства фигура OСD из графика №3, оптимальный план производства 0 единиц первого продукта за цикл и 2,63 второго продукта за цикл, соответствующая ему прибыль составит 549,67 рублей.
II этап – Двойственные оценки ресурсов – фигура ECDF из графика № 4, минимальная себестоимость первого продукта 0рублей а второго продукта 4,26 рублей, соответствующие им затраты составят 549,54 рублей.
№ 5
Для монопольного рынка характерен следующий спрос P=1200-Q, где Q–рыночный спрос, P-рыночная цена. Совокупные издержки фирмы монополиста равны TC=50Q. Какую цену установит монополист? Какой объем продукции он произведет? Какую выручку, издержки и прибыль получит? Задачу решить аналитически и графически.
Величина совокупного дохода TR:
TR=P*Q=(1200-Q)*Q=1200*Q – Q2
Предельный доход MR: MR=(TR)'= (1200*Q-Q2)’=1200-2*Q
Находим предельные издержки MC: MC=TC’=(50*Q)’=50
Фирма максимизирует прибыль или минимизирует убытки при объеме производства соответствующей точке пересечения линий предельного дохода и предельных издержек:
MR=MC: 1200-2*Q=50; 2*Q=1150; Q=575
Рыночный спрос Qмоноп= 575
Рыночная цена Рмоноп=1200 – 575 = 625 рублей
TRмоноп =625*575=359 375 рублей
TСмоноп= 50*575=28 750 рублей
Пмоноп = TR – TC =359 375 – 28 750 = 330 625 рублей
Построим графики:
P(Q):
Q=0;P=1200 – 0= 1200, обозначим как точка А [0;1200]
Q=1200; P=1200- 1200 = 0, обозначим как точка В [1200;0]
MR(Q):
Q=0; MR=1200 – 2*0 = 1200, обозначим как точка С[0;1200]
Q=600; MR=1200 – 2*600 = 0, обозначим как точкаD[600;0]
Рисунок 5.
Pмоноп= 625; Qмоноп=575; МС=50:
E[0;50] F[0;625] G[575;625] H[575;50] I [575;0] O [0;0]
Рисунок 6.
SOFGI= TRмоноп =359 375 рублей
SOEHI = TCмоноп =28 750 рублей
SEFGH = Пмоноп = 30 625 рублей
ОТВЕТ:Монопольная ценаРмоноп составила 625 рублей. Объем продукции составил 575 единиц. Выручка составит TRмоноп 359 375 рублей, издержки ТСмоноп = 28750 рублей, а прибыль Пмоноп = 330 625 рублей.
№ 6
Для рынка совершенной конкуренции характерен следующий спрос P=1200-Q, где Q–рыночный спрос, P-рыночная цена. Совокупные издержки i–ой фирмы равны TCi=50qi. Рассчитать цену, установившуюся на рынке, общий валовой выпуск рынка, выпуск каждой фирмы, прибыль каждой фирмы и общую прибыль рынка.
Находим предельные издержки i-ой фирмы MCi:
MCi = (TCi)’ = (50qi)’ = 50
Значит цена, устоявшаяся на рынке Ррынка= 50 рублей.
Общий валовый выпуск Qрынка= 1200 – 50 = 1150 единиц товара.
Выпуск каждой фирмы составит:
qi =1150/N единиц товара, гдеNобщее количество фирм.
Прибыль каждой фирмы составит:
Пi = TRi - TCi = Pрынка*qi – TCi = 50* qi – 50* qi = 0 рублей
Общая прибыль рынка:
Прынка = ∑Пi =∑ 0 = 0 рублей
Построим графики:
P(Q):
Q = 0; P = 1200 – 0 = 1200, обозначим как точка А [0;1200]
Q = 1200; P = 1200 – 1200 = 0, обозначим как точка В [1200;0]
Рисунок 7.
MCi= 50: C[1150;50]
Ответ:Цену, установившуюся на рынке,Ррынка= 50 рублей. Общий валовый выпуск рынка Qрынка - 1150 единиц товара, выпуск каждой фирмы qi –1150/N, прибылькаждой фирмы 0 рублейи общую прибыль рынка 0 рублей.