Автокорреляция остатков ВР 1 страница

Особенностью ВР является то, что остатки ( ) не всегда являются независимыми, т. е. условие = 0, i ≠ j, не выполняется, что постулируется для регрессионных моделей.

Такие модели называются моделями с наличием автокорреляции остатков.

Одной из причин автокорреляции ошибок является наличие «скрытых» регрессоров, влияние которых проявляется через случайную величину .

Выявление этих составляющих иногда позволяет получить модель без автокорреляции остатков ряда.

Другой причиной может быть влияние на результативный признак величин .

Возможным приемом устранения автокорреляции остатков является подбор и построение моделей или (4) или (5) или их комбинацию или другие модели.

Замечание. Проверить наличие автокорреляции остатков можно традиционным способом, а также с помощью известных критериев (тестов). Одним из них является тест Дарбина-Уотсона.

Согласно теста находят величину

d = ,

где n – объем выборки.

Если:

а) d_B < d < 4-d_B, гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается;

б) d_H < d < d_B или 4-d_B < d < 4-d_H определенного ответа тест не дает (область неопределенности теста);

в) 0 < d < d_H, принимается гипотеза о наличии положительной автокорреляции;

г) 4-d_H < d < 4, принимается гипотеза об отрицательной автокорреляции.

Границы d_H и d_B при уровне значимости d = 0,05 показаны в прил. 1.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. В чем существенное отличие модели ВР от регрессионной модели?

2. Принцип выбора модели ВР.

3. Суть процедуры сглаживания ВР.

4. Суть коэффициента корреляции между уровнями ВР.

5. Причины автокорреляции остатков ВР.

6. Способы выявления автокорреляции остатков.

7. Отличие стационарных и динамических ВР.

8. Принципы выбора моделей тренда.

ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Пример 1

Пусть известны объемы потребления продукта А ( ) за 15 недель осенне-зимнего периода по району Ц города Х.

Таблица 1

t
	3,38	3,53	3,7	3,8	3,78	3,84	3,76	3,9	4,15	4,28	4,4	4,54	4,78	4,84	4,88

Задание: используя значения, полученные в табл. 2, выявить структуру ряда, выбрать модель и оценить ее.

Таблица 2

t	Yt	Yt	Yt+1	YtYt+1			t²
	3,380	3,380	3,530	11,931	11,424	12,461
	3,530	3,530	3,700	13,061	12,461	13,690
	3,700	3,700	3,800	14,060	13,690	14,440
	3,800	3,800	3,780	14,364	14,440	14,288
	3,780	3,780	3,840	14,515	14,288	14,746
	3,840	3,840	3,760	14,438	14,746	14,138
	3,760	3,760	3,900	14,664	14,138	15,210
	3,900	3,900	4,150	16,185	15,210	17,223
	4,150	4,150	4,280	17,762	17,223	18,318
	4,280	4,280	4,400	18,832	18,318	19,360
	4,400	4,400	4,540	19,976	19,360	20,612
	4,540	4,540	4,780	21,701	20,612	22,848
	4,780	4,780	4,840	23,135	22,848	23,426
	4,840	4,840	4,880	23,619	23,426	23,814
	4,880	—	—	—	—	—
å	61,560	56,680	58,180	238,245	232,183	244,573
å/n	4,104						82,667

Продолжение табл.2

t	Yt	Yt+2	YtYt+2			tYt
	3,380	3,700	12,506	11,424	13,690	3,380	11,424
	3,530	3,800	13,414	12,461	14,440	7,060	12,461
	3,700	3,780	13,986	13,690	14,288	11,100	13,690
	3,800	3,840	14,592	14,440	14,746	15,200	14,440
	3,780	3,760	14,213	14,288	14,138	18,900	14,288
	3,840	3,900	14,976	14,746	15,210	23,040	14,746
	3,760	4,150	15,604	14,138	17,223	26,320	14,138
	3,900	4,280	16,692	15,210	18,318	31,200	15,210
	4,150	4,400	18,260	17,223	19,360	37,350	17,223
	4,280	4,540	19,431	18,318	20,612	42,800	18,318
	4,400	4,780	21,032	19,360	22,848	48,400	19,360
	4,540	4,840	21,974	20,612	23,426	54,480	20,612
	4,780	4,880	23,326	22,848	23,814	62,140	22,848
	—	—	—	—	—	67,760	23,426
	—	—	—	—	—	73,200	23,814
å	51,840	54,650	220,006	208,758	232,113	522,330	255,998
å/n						34,822	17,067

Продолжение табл.2

t	Yt	Yt+3	YtYt+3			t	Ŷ
	3,380	3,800	12,844	11,424	14,440		3,355	0,025
	3,530	3,780	13,343	12,461	14,288		3,462	0,068
	3,700	3,840	14,208	13,690	14,746		3,569	0,131
	3,800	3,760	14,288	14,440	14,138		3,676	0,124
	3,780	3,900	14,742	14,288	15,210		3,783	-0,003
	3,840	4,150	15,936	14,746	17,223		3,890	-0,050
	3,760	4,280	16,093	14,138	18,318		3,997	-0,237
	3,900	4,400	17,160	15,210	19,360		4,104	-0,204
	4,150	4,540	18,841	17,223	20,612		4,211	-0,061
	4,280	4,780	20,458	18,318	22,848		4,318	-0,038
	4,400	4,840	21,296	19,360	23,426		4,425	-0,025
	4,540	4,880	22,155	20,612	23,814		4,532	0,008
	—	—	—	—	—		4,639	0,141
	—	—	—	—	—		4,746	0,094
	—	—	—	—	—		4,853	0,027
å	47,060	50,950	201,365	185,909	218,423	120,000		0,000
å/n						8,000		0,000

Окончание табл.2

t			( - )2
	−	−	−	0,001
	0,068	0,025	0,002	0,005
	0,131	0,068	0,004	0,017
	0,124	0,131	0,000	0,015
	-0,003	0,124	0,016	0,000
	-0,050	-0,003	0,002	0,003
	-0,237	-0,050	0,035	0,056
	-0,204	-0,237	0,001	0,042
	-0,061	-0,204	0,020	0,004
	-0,038	-0,061	0,001	0,001
	-0,025	-0,038	0,000	0,001
	0,008	-0,025	0,001	0,000
	0,141	0,008	0,018	0,020
	0,094	0,141	0,002	0,009
	0,027	0,094	0,004	0,001
å			0,107	0,173

Решение.

Рассчитаем коэффициенты автокорреляции первого, второго, третьего порядков, используя формулу (3).

Значения для расчетов берем из табл. 2.

r(t = 1) = ;

r(t = 1) = = 0,981;

r(t = 2) = ;

r(t = 2) = = 0,899;

r(t = 3) = ;

r(t = 3) = = 0,923.

Анализ коэффициентов позволяет выдвинуть гипотезу о наличии во ВР сильной линейной тенденции.

Структура тренда линейная и

Т_t = a + bt + ,

где b = = = 0,107,

а = -b =4,104-0,107 = 3,248,

T_t = 3,248 + 0,107t + или

Y_t = 3,248 + 0,107t + или

Ŷ_t = 3,248 + 0,107t.

Оценим модель тренда

= = = 0,974.

F_расч.= = ×13 = 241,9

F_крит.(α = 0,05; ₁ = 1; ₂ = 13) = 4,67 (см. прил. 2)

F_расч. > F_крит.

d = = = 0,618.

d_H(n = 15, p = 1) = 1,08; d_B(n = 15, p = 1) = 1,36 (см. прил. 1).

Полученные оценки позволяют сделать вывод, что ВР об объемах потребления продукта А содержит линейную тенденцию, но так как

0 < d < d_H,

то согласно теста Дарбина-Уотсона делаем вывод о наличии автокорреляции остатков ряда ( ).

Следовательно, полученную модель нельзя считать адекватной, причина может быть в скрытых регрессорах.

Пример 2

Пусть имеются данные об денежных объемах продаж (Y_t) автомобилей марки W за 22 временных периода.

Таблица 3

t
Yt	9,71	11,66	10,44	9,07	9,57	7,27	7,52	10,19	9,72	8,15	8,23

Окончание табл. 3

t
Yt	11,12	13,86	14,28	13,64	12,41	11,45	13,51	13,25	12,26	11,89	12,13

Задание: используя значения, полученные в табл. 4, обосновать выбор структуры ВР, дать прогноз объемов продаж автомобилей на следующий временной период.

Таблица 4

t	Yt	Yt-1	YtYt-1			YtYt-1	t²	Yt
	9,7100					−	−	−
	11,6600	9,7100	113,2186	94,2841	135,9556	113,2186		11,6600
	10,4400	11,6600	121,7304	135,9556	108,9936	121,7304		10,4400
	9,0700	10,4400	94,6908	108,9936	82,2649	94,6908		9,0700
	9,5700	9,0700	86,7999	82,2649	91,5849	86,7999		9,5700
	7,2700	9,5700	69,5739	91,5849	52,8529	69,5739		7,2700
	7,5200	7,2700	54,6704	52,8529	56,5504	54,6704		7,5200
	10,1900	7,5200	76,6288	56,5504	103,8361	76,6288		10,1900
	9,7200	10,1900	99,0468	103,8361	94,4784	99,0468		9,7200
	8,1500	9,7200	79,2180	94,4784	66,4225	79,2180		8,1500
	8,2300	8,1500	67,0745	66,4225	67,7329	67,0745		8,2300
	11,1200	8,2300	91,5176	67,7329	123,6544	91,5176		11,1200
	13,8600	11,1200	154,1232	123,6544	192,0996	154,1232		13,8600
	14,2800	13,8600	197,9208	192,0996	203,9184	197,9208		14,2800

Продолжение табл. 4

t	Yt	Yt-1	YtYt-1			YtYt-1	t²	Yt
	13,6400	14,2800	194,7792	203,9184	186,0496	194,7792		13,6400
	12,4100	13,6400	169,2724	186,0496	154,0081	169,2724		12,4100
	11,4500	12,4100	142,0945	154,0081	131,1025	142,0945		11,4500
	13,5100	11,4500	154,6895	131,1025	182,5201	154,6895		13,5100
	13,2500	13,5100	179,0075	182,5201	175,5625	179,0075		13,2500
	12,2600	13,2500	162,4450	175,5625	150,3076	162,4450		12,2600
	11,8900	12,2600	145,7714	150,3076	141,3721	145,7714		11,8900
	12,1300	11,8900	144,2257	141,3721	147,1369	144,2257		12,1300
å	231,6200	229,2000	2598,4989	2595,5512	2648,4040	2598,4989		231,6200
å/n	10,5282	10,9143	123,7380	123,5977	126,1145	123,7380	172,4545	11,0295

Окончание табл.4

	t	Ŷ	Y-Ŷ				( - )2
		−	−	−	−	−	−
		10,1262	1,5338	2,3526	−	−	−
		11,5895	-1,1495	1,3213	1,5338	-1,1495	7,2000
		10,6740	-1,6040	2,5727	-1,1495	-1,6040	0,2066
		9,6459	-0,0759	0,0058	-1,6040	-0,0759	2,3349
		10,0211	-2,7511	7,5687	-0,0759	-2,7511	7,1567
		8,2952	-0,7752	0,6009	-2,7511	-0,7752	3,9043
		8,4828	1,7072	2,9145	-0,7752	1,7072	6,1623
		10,4864	-0,7664	0,5873	1,7072	-0,7664	6,1185
		10,1337	-1,9837	3,9350	-0,7664	-1,9837	1,4818
		8,9556	-0,7256	0,5264	-1,9837	-0,7256	1,5829
		9,0156	2,1044	4,4285	-0,7256	2,1044	8,0087
		11,1842	2,6758	7,1596	2,1044	2,6758	0,3264
		13,2403	1,0397	1,0809	2,6758	1,0397	2,6768
		13,5555	0,0845	0,0071	1,0397	0,0845	0,9123
		13,0753	-0,6653	0,4426	0,0845	-0,6653	0,5621
		12,1523	-0,7023	0,4932	-0,6653	-0,7023	0,0014
		11,4319	2,0781	4,3186	-0,7023	2,0781	7,7305
		12,9777	0,2723	0,0741	2,0781	0,2723	3,2610
		12,7826	-0,5226	0,2731	0,2723	-0,5226	0,6319
		12,0397	-0,1497	0,0224	-0,5226	-0,1497	0,1391
		11,7621	0,3679	0,1354	-0,1497	0,3679	0,2680
å			-0,0075	40,8209			60,6662
å/n	11,5000		-0,0004