Необхідна умова диференційовності функції у точці

Основні поняття

Означення. Якщо кожній точці Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru множини D
n-вимірного простору поставлено у відповідність за деяким
законом одне і тільки одне дійсне число Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru , то кажуть, що в області Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru задано функцію n незалежних змінних Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru . При цьому D називають областю визначення функції, Е — областю значень функції.

Зокрема, при n = 2 говорять, що задана функція двох змінних Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru , якщо кожній парі Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru на площині поставлено у відповідність тільки одне число z. Для прикладних питань економіки має значення розгляд функції двох або трьох незалежних змінних.

Приклад. Витратами на виробництво даного виробу при даній техніці виробництва є функція матеріальних витрат x і витрат на оплату робочої сили y: Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru . Це є функція витрат виробництва.

Як і функцію однієї змінної, функції двох змінних можна зобразити:

— аналітично (у вигляді формули), наприклад: Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru ,

— таблично (у вигляді таблиці).

— графічно.

Для графічного зображення функції двох змінних використовуємо систему координат Оxyz у тривимірному просторі (рис. 1).

Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru

Рис. 1

Кожній парі чисел x та y відповідає точка Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru площини Оxy. У точці Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru проводимо пряму, перпендикулярну до площини Оxy, та позначаємо на ній відповідне значення функції z; дістаємо в просторі точку Q з координатами Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru . Точки Q, які відповідають різним значенням незалежних змінних, утворюють певну поверхню у просторі. Така поверхня є графічним зображенням функції Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru .

Існує й інший спосіб геометричного зображення функції двох змінних — зображення за допомогою ліній рівня.

Означення. Лінією рівня називається множина всіх точок площини, в яких функція Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru набуває однакових значень. Рівняння ліній рівня записують у вигляді Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru .

Частинні похідні функції двох змінних

Нехай функція Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru визначена в деякому околі точки Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru . Надамо незалежним змінним x та y приросту відповідно Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru та Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru так, щоб точка Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru не виходила за межі вказаного околу. Тоді й точки Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru , Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru також належатимуть розглядуваному околу (рис. 2).

Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru

Рис. 2

Означення. Різницю Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru називають повним приростом функції Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru і позначають Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru . Різницю Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru називають частинним приростом за х, а різницю Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru — частинним приростом за y функції Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru .

Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru ,

Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru , Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru .

Означення. Нехай функція Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru визначена в точці Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru і в її деякому околі. Якщо існує границя Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru , то вона називається частинною похідною за х (за у) функції Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru у точці Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru і позначається Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru , або Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru , або Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru . Таким чином, Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru , Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru . Із означення частинних похідних матимемо, що вони шукаються за тими правилами, що й похідні функції однієї змінної. Треба лише пам’ятати, що при знаходженні Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru у вважається сталою, а при знаходженні Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru змінна х вважається сталою.

Необхідна умова диференційовності функції у точці

Якщо функція Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru диференційовна в точці Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru , то в цій точці існують частинні похідні Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru і Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru .

Приклад.Знайти Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru і Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru для функції Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru .

l Знайдемо Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru . Вважаючи, що Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru дістанемо:

Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru .

При знаходженні Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru вважаємо, що Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru Дістанемо:

Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru .

Приклад. Знайти Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru і Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru для функції Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru .

l Знайдемо Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru , вважаючи Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru

Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru

Знайдемо Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru , вважаючи Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru

Необхідна умова диференційовності функції у точці - student2.ru .

Наши рекомендации