Решение задач творческого уровня. Функция полезности индивида имеет вид:
Задача 1.
Функция полезности индивида имеет вид:
U = XY, его бюджет I= 56 ,а цены благ PX= 2, PY= 2.
Какое количество каждого из благ должен купить индивид для максимизации общей полезности?
Вывести уравнение кривой безразличия, на которой находится потребитель в момент равновесия.
Определить эффекты замены и дохода, если цена блага X повысилась до PX = 8:а) по Хиксу; б)по Слуцкому.
Будут ли одинаковыми эффекты замены и дохода по Хиксу и по Слуцкому? Как будут направлены эффекты замены и дохода при повышении цены на нормальное благо?
Определить разность между компенсирующим и эквивалентным изменениями дохода.
Решение:
1. Оптимальную комбинацию благ (точка Е0) ищем, решая систему уравнений:
56 2 X 2Y
Y 2 X 0 14; Y0 14.
X 2
2. В исходных условиях U0 = 14 ∙ 14 = 196. Для любой точки данной функции справедливо: 196 = XY, следовательно, уравнение кривой безразличия будет иметь вид: Y= 
3. а) Повышение цены блага X изменит исходную систему уравнений, решение которой даст новые значения оптимума (точка Е1):
| 568X | 2Y | |||
| Y | X13,5;Y114. | |||
| X | ||||
Общий эффект изменения ценыпо Хиксу составит:
X = X1 – X0 = 3,5 – 14= -10,5;
Y = Y1 – Y0 = 14 – 14 = 0.
б) Общий эффект изменения цены по Слуцкому будет таким же как и по Хиксу. Разложим общий эффект изменения цены на эффект дохода и замены. По логике Слуцкого, после изменения цены товара потребитель должен иметь возможность купить тот же самый товарный набор.Следовательно, вспомогательная бюджетная линия должна пройти через точку с координатами (X0; Y0).
При новой цене блага Х он должен иметь в своем распоряжении 140 ден. ед., а не 56. Уравнение новой бюджетной линии имеет вид: 140 = 8X + 2Y. Эта линия станет касательной к некой кривой безразличия с более высоким уровнем полезности. Найдем координаты оптимума (точка Е3):
| 1408X | 2Y | ||||
| Y | X3 | = 8,75 и Y3 = 35. | |||
| X | |||||
Следовательно, эффект замены:
X = X3 – X0 = 8,75 – 14= -5,25;
Y = Y3 – Y0 = 35 – 14 = 21,
а эффект дохода:
X =X1 – X3 = 3,5 – 8,75 = -5,25;
Y = Y1 – Y3 = 14 – 35 = – 21.
4. Для покупки исходной потребительской корзины при новой цене блага X (Рх=8) индивиду нужно иметь бюджет: I = (8*14 + 2 *14) = 140 ден. ед., тогда компенсирующее изменение дохода (сумма денег для сохранения благосостояния индивида после повышения цены) составит: (140 – 56) = 84. 
Для определения эквивалентного изменения дохода (максимальная сумма денег, которую потребитель готов заплатить за недопущение повышения цены до этого повышения) найдем координаты точки касания кривой безразличия U1с прямой, параллельной исходной бюджетной линии. Поскольку полезность в точке E1 равна U1 = 3,5×14 = 49, то для любой точки данной линии справедливо: 49 = XY. Тогда на основе уравнения кривой безразличия U1 найдем координаты точки Е4:
| Y | Y | PX | X | 7; Y47. | ||||||||
| X | X | P | X 2 | |||||||||
| Y |
При исходных ценах такой набор благ можно купить при бюджете
I=(2*7 + 2*7)= 28 ден. ед.
Эквивалентное изменение дохода равно (56 – 28) = 28.
Разность между компенсирующим и эквивалентным изменениями дохода: 84 − 28 = 56.
Рисунок 3.3. – Компенсирующее и эквивалентное изменение дохода
Задача 2.
При ценахРX=4;Рy=5. Линия «доход–потребление»индивида имеет вид: Y = 2х + 5.Определите: на сколько единиц индивид увеличит потребление каждого блага при увеличении его бюджета с 333 до 375 ден. ед?
Решение:
Ассортимент потребляемых благ определяется точкой пересечения бюджетной линии с линией «доход–потребление» (точкой касания бюджетной линии с кривой безразличия). Системы уравнений при бюджетах 333 и 375 ден.ед. соответственно:
| 4 X | 5Y | X | 22; Y | 49. | ||
| Y | 2 X | |||||
| 4 X | 5Y | X | 25; Y | 55. | ||
| Y | 2 X | |||||
Тогда потребление блага X изменится на 25-22 = 3 ед., благо Y изменится на 55-49 = 6 ед.
Рисунок 3.4. Линия «доход–потребление»
Варианты расчетно-графических работ
ВАРИАНТ 1.
Задача 1.
Школьник получил от родителей 2 руб. 40 коп. На эти деньги он решил купить тетради и ручки. Тетрадь стоит 30 коп, цена ручки – 20 коп. Постройте бюджетную линию школьника, отложив по оси ОХ количество тетрадей, по оси ОУ количество ручек. Определите: как сместится бюджетная линия если:
Цена ручки увеличится в 2 раза;
Цена тетради возрастёт до 40 коп.;
Родители дали школьнику 3,60, а цены остались прежними;
Бюджет равен 3,60 руб., цена ручки увеличилась в 2 раза, цена тетради 40 коп.
Задача 2.
В таблице 3.2 приведены данные:
Определите сколько товара купит рациональный покупатель при I = 6 д.ед., P шляпы = 2д.ед., Р кг яблок – 1 д.ед.?
Таблица 3.2
| Кол-во товаров | ТU шляп | МUх шляп | Кол-во товаров | ТU яблок | МUяблок |
ВАРИАНТ 2.
Задача 1.
Потребитель покупает 3 товара Х, У, Z – Px = 2 руб., Ру = 1 руб., Pz = 4 руб. Определите, сколько товара купит рациональный покупатель при бюджете равном 18руб. Проиллюстрируйте решение графически. Данные о совокупной полезности представлены в таблице 3.3:
Таблица 3.3
| К-во товара | ТUx | MUx | MUx/Рх | ТUy | MUу | MUу/Ру | ТUz | MUz | MUz/Рz |
Задача 2.
У Андрея остается одна ночь до экзамена. Чтобы не заснуть и активно поработать, он решает купить кофе. В магазине предлагают «Нескафе» и «Галку». «Нескафе» содержит кофеина в два раза больше, чем «Галка», а на данный момент Андрея интересует именно содержание кофеина. Составьте по приведенным данным карту кривых безразличия Андрея для «Нескафе» и «Галки». Как Андрею наилучшим образом израсходовать свой бюджет в 15 руб. на эти напитки, если «Нескафе» стоит 1 руб., а «Галка» - 0,75 руб. за стакан?
ВАРИАНТ 3.
Задача 1.
Приведённые в таблице 3.4 данные характеризуют кривую безразличия, которая распределяет предельный доход между продуктами питания и развлечениями, цена единицы продукта питания (товара Х) 1 руб., цена единицы развлечения (товар У) равен 2 руб. Кривые безразличия обозначены как 
.
Начертите кривые безразличия и бюджетную линию на одном графике. Также опредеите, какое соотношение продуктов питания является оптимальным для потребителя, удовлетворяет ли этот набор продуктов условием равновесия потребителя, если его бюджет 40 руб.
Таблица 3.4
| Кол-во товаров У1 | Кол-во товаров У2 | ||
| Х | У | Х | У |
| 7.5 | 7.5 |
Задача 2.
Потребитель покупает 3 товара Х, У, Z – Px = 2 руб., Ру = 1 руб., Pz = 4 руб. Определите, сколько товара купит рациональный покупатель при бюджете 38 руб. Проиллюстрируйте решение графически. Данные о совокупной полезности (табл. 3.5):
Таблица 3.5
| К-во товара | ТUx | MUx | MUx/Рх | ТUy | MUу | MUу/Ру | ТUz | MUz | MUz/Рz |
ВАРИАНТ 4.
Задача 1.
В таблице 3.6 приведены данные 3 наборов потребления яблок и винограда
Таблица 3.6
| I набор | II набор | III набор | |||
| Яблоки | Виноград | Яблоки | Виноград | Яблоки | Виноград |
Задание:
Начертите 3 кривых безразличия и определите, какая из них показывает самый высокий и низкий уровень потребления.
Начертите бюджетную линию, приняв условно, что объект располагает 20 руб., цена и того, и другого равна 0,5 руб.
Определите оптимальный потребительский набор.
Задача 2.
Данные таблицы 3.7 характеризуют кривые безразличия потребителя, который тратит свой дневной доход в 100 руб. между развлечением и питанием. Цена единицы развлечение Ру = 4 руб., цена единицы питания Рх = 2 руб. Постройте кривые безразличия, бюджетную линию и определите, какая комбинация является для потребителя наиболее оптимальной.
Таблица 3.7
| U1 | U1 | U2 | U2 |
| х | у | х | у |
ВАРИАНТ 5.
Задача 1.
Начертите бюджетную линию определенного потребителя, доход которого составляет 150 руб. и расходуется на два товара – Х и У, цены которых соответственно равны Рх = 3 руб., Ру = 5 руб. Составьте уравнение бюджетной линии. Покажите на графике, как переместиться бюджетная линия, в случае, если доход потребителя увеличится до 180 руб., цена товара Х снизится до 2 руб., а товара У – возрастет до 6.
Задача 2.
Данные таблицы 3.8 характеризуют кривые безразличия потребителя, который тратит свой дневной доход в 50 руб. между книгами (Х) и соком (У). Цена книги 10 руб., цена сока – 5 руб. Постройте кривые безразличия, бюджетную линию и определите, какая комбинация является для потребителя наиболее оптимальной.
Таблица 3.8
| U1 | U1 | U2 | U2 |
| х | у | х | у |
ВАРИАНТ 6.
Задача 1.
Школьник ежедневно получает от родителей 2 д.ед. на карманные расходы (еду и развлечения). Начертите бюджетную линию школьника для каждой из следующих ситуаций: а) цена продуктов питания = 0,5 д.ед. за ед, цена развлечений = 1 д.ед.за ед.;
б) цена продуктов питания = 0,2 д.ед. за ед, цена развлечений = 1 д.ед.за ед.; в) цена продуктов питания = 0,2 д.ед. за ед, цена развлечений = 0,5 д.ед. за ед.; г) цена продуктов питания = 1 д.ед. за ед, цена развлечений = 1 д.ед. за ед. Определите, какая из бюджетных линий показывает более высокий уровень потребления.
Задача 2.
Данные таблицы 3.9 характеризуют кривые безразличия потребителя, распределяющего свой доход в 60 руб. между товарами Х (Рх = 1 руб.) и У (Ру = 2 руб.). Начертите кривые безразличия и бюджетную линию, определите, какой набор товаров является наиболее предпочтительным, а так же какая комбинация потребления обеспечит состояние потребительского равновесия.
Таблица 3.9
| U1 | U1 | U2 | U2 |
| х | у | х | у |
| 10,5 | 7,5 |
ВАРИАНТ 7.
Задача 1.
Данные таблицы 3.10 характеризуют кривые безразличия потребителя, распределяющего свой доход в 87 руб. между товарами Х (Рх = 2 руб.) и У (Ру = 3 руб.). Начертите кривые безразличия и бюджетную линию, определите, какой набор товаров является наиболее предпочтительным, а так же какая комбинация потребления обеспечит состояние потребительского равновесия.
Таблица 3.10
| U1 | U1 | U2 | U2 |
| х | у | х | у |
Задача 2.
Студент имеет 20 руб. в неделю на обед в столовой университета. Начертите бюджетную линию студента для каждой из ситуации, если он обедает слойками и чаем:
а) цена слойки 2 руб., чая-1 руб.;
б) цена слойки – 2.5 руб., чая – 1 руб.;
в) цена слойки – 2 руб., чая – 0,8 руб.;
г) цены неизменны, а бюджет снизился до10руб.
ВАРИАНТ 8.
Задача 1.
При поездке на Куйбышевский рынок г. Симферополя гражданка Метелкина взяла с собой 500 руб. на овощи и моющие средства. Овощи в среднем стоят 15 руб. за кг, а моющие – 50 руб. за шт. Начертите бюджетную линию Метелкиной и определите, как она сместится при следующих условиях: а) цена овощей увеличится в 2 раза, при неизменности других факторов; б) Метелкина возьмет с собой 750 руб., при прочих неизменных условиях; в) бюджет Метелкиной увеличится до 750 руб., а цены на моющие увеличатся в 2 раза.
Задача 2.
Данные таблицы 3.11 характеризуют кривые безразличия потребителя, который тратит свой дневной доход в 320 руб. между развлечением и питанием. Цена единицы развлечение Ру = 8 руб., цена единицы питания Рх = 4 руб. Постройте кривые безразличия, бюджетную линию и определите, какая комбинация является для потребителя наиболее оптимальной.
Таблица 3.11
| U1 | U1 | U2 | U2 |
| х | у | х | у |
ВАРИАНТ 9.
Задача 1.
Потребитель делает выбор между товарами А и Б. Динамика предельной полезности этих двух товаров в зависимости от объема потребления представлена в таблице 3.12. Потребитель тратит на покупку обоих товаров 87 руб. Какое количество каждого товара необходимо купить потребителю для максимизации совокупной полезности от их потребления, если цены товаров А и Б равны соответственно 12 и 9 руб. за единицу. Определите совокупную полезность от потребления оптимального количества этих товаров. Проиллюстрируйте решение задачи графически.
Таблица 3.12
| Объем продаж (Q), кг | МUА | МUБ |
Задача 2.
Данные таблицы 3.13 характеризуют кривые безразличия потребителя, распределяющего свой доход в 87 руб. между товарами Х (Рх = 2 руб.) и У (Ру = 3 руб.). Начертите кривые безразличия и бюджетную линию, определите, какой набор товаров является наиболее предпочтительным, а так же какая комбинация потребления обеспечит состояние потребительского равновесия.
Таблица 3.13
| U1 | U1 | U2 | U2 |
| х | у | х | у |
ВАРИАНТ 10.
Задача 1.
Цена продукта А составляет 15 руб., а цена продукта В – 10 руб. Доход потребителя составил 2400 руб. Данные для построения кривой безразличия двух товаров заданы в таблице 3.14:
Таблица 3.14
| Товар А | ||||
| Товар В |
Построить кривую безразличия и бюджетную линию потребителя. Определить точку равновесия потребителя, предельную норму замещения и наклон бюджетной линии.
Задача 2.
Данные таблицы 3.15 характеризуют кривые безразличия потребителя, который тратит свой дневной доход в 60 руб. между транспортом и питанием. Цена единицы транспорта Рх = 3 руб., цена единицы питания Ру = 2 руб. Постройте кривые безразличия, бюджетную линию и определите, какая комбинация является для потребителя наиболее оптимальной.
Таблица 3.15