Одноканальные системы массового обслуживания

Найдем сначала среднюю длину очереди и вероятность появления очереди заданной длины на единственной станции обслуживания. Предположим, что скорость поступления и обслуживания случайны и не зависят от неограниченной длины очереди.

Модель 1.

Обозначим Р_n – вероятность образования очереди из n заказов (включая и находящийся в обслуживании) в произвольный момент времени, l – средняя скорость появления заказов, m – средняя скорость обслуживания одного заказа.

Вероятность Р_n имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время наличия очереди длиной n при функционировании системы в стационарном режиме. Например, если Р₀ = 1/2, то это означает, что в среднем половину рабочего времени очереди нет (оборудование простаивает). Справедливы следующие формулы:

Р_n = hⁿ(1 – h). (2.6.1)

Величина h = l/m называется интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки станции. Она выражает среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки. Найдем n –среднее число заявок, находящихся в системе

n = l/(m – l ). (2.6.2)

Для – среднее время ожидания обслуживания, справедливо

= 1/(m – l ) – 1/m. (2.6.3)

Для – средняя длина очереди

=l . (2.6.4)

Пример 2.6.2. Пусть заказы на обслуживание поступают со средней интенсивностью l = 5 заявок в час. Продолжительность выполнения одной заявки в среднем равна 10 мин., т.е. m =60/10=6 з/ч. Поскольку h=l/m= 5/6< 1, система может функционировать в стационарном режиме. Найдем среднее время ожидания обслуживания = 1/(m –l)–1/m =1/(6–5)–1/6=5/6 (50мин), тогда среднее число клиентов, ожидающих обслуживания, равно =l =25/6=4.17≈4. Для «разумного» обеспечения местами прибывающих клиентов зададимся целью обеспечить одновременно сидячими местами, например, 80% клиентов. Это эквивалентно выполнению условия

Р₀ + Р₁ + Р₂ + …+ Р_w ≥ 0.8,

где w – подлежащее определению число мест. Используя (2.6.1)

(1 – h) + h(1 – h) +…+ h^w(1 – h) ≥ 0.8.

учитывая, что

(1 – h) + h(1 – h) +…+ h^w(1 – h) =(1 – h)(1 + h +…+ h^w) = 1 –h^w+1,

получаем h^w+1 ≤ 0.2 и окончательно w ≥ ln(0.2)/ln(5/6) – 1 = 7.8 ≈ 8.

Таким образом, для одновременного размещения, по крайней мере, 80% прибывающих клиентов минимальное число сидячих мест должно быть в два раза больше среднего числа ожидающих обслуживания клиентов.

Важной характеристикой является также доля времени, в течение которого станция обслуживания простаивает. Вероятность такого события

Р₀ =1 – h ≈ 0.17.

Вероятности того, что на станции обслуживается ровно один клиент (или два – один обслуживается, второй ждет) равны соответственно:

Р₁ =h(1 – h) ≈ 0.139,

Р₂ =h ²(1 – h) ≈ 0.116.

Модель 2.

Рассмотрим случай ограниченной очереди, когда при наличии в системе N требований ни одна из дополнительных заявок на обслуживание не принимается либо сам клиент отказывается присоединиться к очереди из-за отсутствия места в блоке ожидания. Формулы для параметров такой системы массового обслуживания:

Р_n = hⁿ(1 – h)/(1 – h^N+1), n ≤ N (2.6.5)

Р_n = 0, n > N.

Следует отметить, что в этой модели параметр h= l/m не обязательно должен быть меньше единицы, поскольку число допускаемых в систему требований ограничено, и для h = 1 Р_n=1/(N +1).

Выражение для среднего числа находящихся в системе заявок принимает следующий вид

n = h(1 – (N+1)h^N + Nh^N+1 )/(1 – h)/(1 – h^N+1), для h ≠1, (2.6.6)

N/2, для h=1.

Поскольку вероятность того, что заказ не имеет возможности попасть в очередь, равняется Р_N, доля заказов, поступающих в систему, равняется 1– Р_N (относительная пропускная способность системы). Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени) определяется величиной А=l(1– Р_N).

Отсюда характеристики системы имеют вид:

Для – среднее число заказов, ожидающих обслуживания:

= n – l(1 – Р_N )/m, (2.6.7)

для – среднее время ожидания обслуживания:

= /l /(1 – Р_N ). (2.6.8)

Пример2.6.3. Пусть в условиях примера 2.6.2 станция располагает пятью местами для ожидающих клиентов.

В данном примере N =5+1=6, h=5/6, а

Р_N =(5/6)⁶(1 – 5/6)/(1 – (5/6) ⁷) = 0.0774, N = 6.

Отсюда следует, что частота случаев, когда клиент не попадает на станцию равняется lР_N =5×0.0774=0.387 заявки в час, т.е. при 8-часовом режиме работы станция теряет за день 8·0,387=3 клиента.

Относительная пропускная способность системы будет 1–0.0774=0.9226, абсолютная пропускная способность А=5×0.9226=4.613. Применяя (2.6.6) – (2.6.8), получаем

n = (5/6)(1 – 7(5/6)⁶ + 6(5/6)⁷)/(1 – 5/6)/(1 – (5/6)⁷)= 2.29,

=2.29 – 5(1 – 0.0774)/6=1.52,

=1.52/5 /(1 – 0.0774)=0.33 часа (20 мин.).

Таким образом, при введении ограничения на количество мест для ожидания (N=6), среднее время ожидания обслуживания сократилось на полчаса. Это было достигнуто за счет «потери» в среднем 3 клиентов в день из-за недостаточности мест для ожидания. Вычислим вероятность того, что в системе обслуживаются 0, 1 или 2 клиента:

Р₀ =(1 – 5/6)/(1 – (5/6)⁷) = 0.231,

Р₁ =(5/6)(1 – 5/6)/(1 – (5/6)⁷) = 0.193,

Р₂ =(5/6)²(1 – 5/6)/(1 – (5/6)⁷) = 0.160.