Нелінійні регресії 1-го класу

Поліноміальна модель

Степенева функція виду Y = а₀ + а₁ Х₁ + а ₂ Х ² + ... + а _т Х ^т + u (1)

часто характеризує ту чи іншу економічну залежність. Модель (1) можна звести до лінійної регресійної моделі. Заміняючи X на Х₁ , X² на Х₂, ..., Х_т на Х^т, одержимо замість (1) модель множинної лінійної регресїі із т змінними Х₁, Х₂, …, Х_т :

Y = а₀ + а₁ Х₁ + а₂ X₂ + ... + а _mX_m + u, (2)

параметри якої знаходяться за МНК ( за допомогою статистичної функції «ЛИНЕЙН»).

При цьому для оцінювання тісноти лінійного зв’язку можна використовувати лінійний коефіцієнт кореляції.

· Кубічна функція Y = а₀ + а₁X + а₂ Х ² + а ₃ Х ³ + u у мікроекономіці моделює залежність загальних витрат ТС від об'єму випуску Q (рис. 3 ,а).

· Аналогічно квадратична функція Y = а₀ + а₁Х + а₂ Х ² + u може характеризувати залежність між об'ємом випуску Q і середніми (АС)або граничними (МС) витратами (рис. 3 , б); або між витратами на рекламу C і прибутком π (рис.3 , в) тощо.

Рис.3

Гіперболічна модель

Гіперболічна модель у загальному випадку має та­кий вигляд: Y = a₀ + a₁ · + u. (3)

Модель (3) можна звести до лінійної регресійної моделі. Для всіх значень індексу і = 1,.., n рівняння у векторно-матричній формі набере вигляду Ŷ= ZÂ + Û, заміняючи 1/X на Z.

Графіки гіперболічних моделей визначаються знаками параметрів â_0, â₁ .

• â₀ < 0 , â₁ > 0: на рис. 4 зображена так звана крива Філліпса.

Модель Y = a₀ + a₁ · + u використовується для аналізу залежності між зміною заробітної плати Y та рівнем безробіття X ( у %).

Рис. 4

· â₀ > 0 , â₁ > 0 крива залежності між факторними ознаками Y та X набуде вигляду:

Рис.5

Така залежність, що зображена на рис.5 кривою, має міс­це при дослідженні зв'язку між середніми фіксованими витрата­ми Y і обсягом випуску продукції X.

· â₀ > 0 , â₁ < 0: кpива залежності між змінними Y та X набере вигляду:

Рис.6

Зображена функція – це функція Торнквіста, за допомогою якої описується залежність між попитом Y на товари першої необхідності й доходом X. Шведський економіст П.Торнквіст запропонував спеціальні функції попиту для груп товарів першої, другої необхідності, предметів розкоші (рис.7):

Рис. 7 . Функції Торнквіста

- функція Торнквіста для товарів I необхідності: зростання попиту на першочергові товари зі зростанням доходу поступово уповільнюється і має границю (крива попиту асимптотично наближається до прямої );

, де - функція Торнквіста на товари II необхідності має свою границю більш вищого рівня ( ), причому попит на групу цих товарів з’являється лише за умови досягнення доходу рівня ;

, де - функція Торнквіста для предметів розкошу: не має границі, і попит на ці товари виникає тільки за умови підвищення доходу рівня і далі зростає дуже швидко.