Исходные данные (Данные межотраслевого баланса)

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ОРЛОВСКИЙ ФИЛИАЛ

кафедра математики и математических методов в управлении

Типовой расчет

По линейной алгебре

на тему «Приложение элементов линейной алгебры к задачам экономики и управления»

для студентов факультетов

«Государственное и муниципальное управление»

«Экономика и менеджмент»

Орел, 2011

Цель типового расчета.

Изучение количественных методов матричного анализа, направленных на решение задач экономики и управления. Экономическая интерпретация математических понятий.

Данные баланса двух отраслей промышленности за некоторый период представлены в таблице:

Отрасль Потребление Конечный продукт Валовой выпуск
Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru

Требуется:

1. исходя из численных значений, составить таблицу баланса;

2. оценить продуктивность и запас продуктивности матрицы прямых затрат;

3. найти новый вектор конечного продукта, при увеличении конечного продукта первой отрасли в l раз, а второй отрасли – на m %;

4. сформулировать и решить задачу межотраслевого баланса, исходя из численных значений предложенного варианта;

5. оценить изменение валового выпуска по сравнению с исходными величинами.

Требования к оформлению. Типовой расчет оформляется в любом исполнении (рукописном, компьютерном). Работа должна содержать все необходимые пояснения. Формулы должны содержать расшифровку принятых обозначений. Страницы должны быть пронумерованы.

Номер варианта соответствует порядковому номеру студента в списке группы.

Литература

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Кремер Н. Ш. и др. Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 2000. — 471 с.

2. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие для вузов/ Кремер Н. Ш. и др. Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. — 423 с.

3. Афонина Т.Н. Приложение элементов линейной алгебры к задачам экономики и управления — Орел: Изд-во ОРАГС, 2001. — 88 с.

Пример выполнения.

1. Данные баланса двух отраслей промышленности за некоторый период представлены в таблице баланса:

Отрасль Потребление Конечный продукт Валовой выпуск

2. Оценим продуктивность матрицы прямых затрат.

Составим матрицу прямых затрат: Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru , где Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru - коэффициенты прямых затрат.

Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru , Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru , Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru , Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru .

Значит, Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru - матрица прямых затрат.

Так как все элементы матрицы А неотрицательны и сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:

max(0,272; 0,15; 0,13; 0,292) = 0,292 < 1,

то по второму критерию продуктивности матрица прямых затрат продуктивна.

Чтобы оценить запас продуктивности, найдем Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru и оценим λ в предположении, что матрица λА продуктивна.

Для этого последовательно определяем:

Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru ,

Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru -

- Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru ,

Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru ,

Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru

Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru .

Для продуктивности последней матрицы необходимо, чтобы все ее элементы были неотрицательны, что возможно при выполнении следующих условий:

Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru

Решаем последовательно каждое неравенство:

1) –0,0016 λ2- 0,18λ + 1 > 0, 0,0016 λ2+ 0,18λ – 1< 0. 0,0016 λ2+ 0,18λ – 1= 0 D = 0,182 + 4·0,0016 = 0,0388 λ1 ≈ -117,8, λ2 ≈ 5,3. 2) 1 – 0,1λ ≥ 0 λ ≤ -1/(-0,1) λ ≤ 10
3) 1 – 0,08λ ≥ 0 λ ≤ -1/(-0,08) λ ≤ 12,5

Окончательно получаем:

Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru , откуда –117,8<λ<5,3.

Таким образом, согласно определению запаса продуктивности, матрица А продуктивна при 1<λ<5,3, т.е. запас продуктивности α = 4,3 – значителен.

3. Найдем новый вектор конечного продукта при увеличении конечного продукта первой отрасли в l = 2,4 раз, а второй отрасли – на m = 20%.

Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru .

4. Задача межотраслевого баланса формулируется следующим образом: «Найти объем валового выпуска продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 547,2 и 252 усл. ед.»

Новый вектор валового выпуска найдем по формуле:

Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru .

Последовательно находим:

Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru ,

Найдем определитель матрицы (Е-А):

Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru .

Составим присоединенную матрицу Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru :

Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru ,

транспонировав, получим: Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru

Матрицу Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru найдем по формуле: Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru .

Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru ,

Тогда, Исходные данные (Данные межотраслевого баланса) - student2.ru - новый вектор валового выпуска.

5. Таким образом, валовый выпуск первой отрасли должен возрасти с 300 усл.ед. до 659,88 усл.ед., т.е. на 359,88 усл.ед. (приблизительно на 120%), Валовый выпуск второй отрасли должен возрасти с 250 усл.ед. до 315,072 усл.ед., т.е. на 65,072 усл.ед. (приблизительно на 26%).

Исходные данные (Данные межотраслевого баланса).

№ варианта Значения переменных
x11 x12 x21 x22 y1 y2 x1 x2 l m
3,1
2,9
2,3
2,1
2,5
1,7
2,2
0,5
2,4
1,2
0,6
3,7
2,5
2,1
2,6
1,5
3,2
2,2
1,8
1,2
2,4
1,5
1,7
0,5
2,4
1,2
1,3
1,5
1,6
0,8
1,2
0,4
2,5
1,5
1,5
0,5
1,2
0,4
1,1
1,5
0,5

Наши рекомендации