Измерение предельной полезности на основе функции полезности

Представители австрийской школы К. Менгер, Е. Бем-баверк, Ф. Визер одними из первых установили связь между спросом и ценой, запасом и количеством и обосновали положение о том, что количество является одним из важнейших факторов, влияющих на цену в условиях ограниченности ресурсов. Ими был выведен закон, отражающий взаимосвязь между количеством потребляемого блага и степенью удовлетворенности от потребления каждой дополнительной единицы некоторого блага, который называетсязаконом убывающей предельной полезности.

Закон убывающей предельной полезности утверждает: по мере роста количества потребляемого блага общая полезность от потребления возрастает, но все в меньшей пропорции, а предельная полезность от потребления дополнительной единицы некоторого блага будет сокращаться.

Например, потребитель, страдающий жаждой с удовольствием выпьет первый стакан пепси-колы, однако удовольствие, полученное от последующих стаканов, будет уменьшаться. Второй стакан принесет ему меньшее удовлетворение, чем первый, третий — меньшее, чем второй и т.д. И так будет происходить до тех пор, пока предельная полезность очередного стакана не будет равна нулю. Хотя общая полезность возрастает, предельная полезность при этом падает, что приводит к замедлению роста общей полезности. Согласно австрийской теории, цена блага для потребителя определяется не общей, а предельной полезностью.

Функция полезности — отношение между объемами потребляемых товаров и услуг и уровнем полезности, удовлетворенности, достигаемой потребителями. Она показывает убывание полезности блага с ростом его количества.

Функцию полезности для потребителя можно записать в следующем виде:

TU = F (Qa, Qb,……Qz),

где TU — общая полезность данного набора благ, а Qa…Qz— объем потребления.

Функция, возрастая до Qa’, имеет выпуклый вид, так как каждая последующая единица блага увеличивает общую полезность на меньшую величину, чем предыдущая. Функция общей полезности имеет точку максимума, после которой она становится убывающей.

Критики теории полезности сформулировали в конце XIX в. парадокс воды и алмаза: вода, которая жизненно необходима для всех, должна была, полагали они, обладать максимальной полезностью, а алмазы минимальной. Соответственно цены на воду должны быть максимальны, а на алмазы минимальны, тогда как на практике это не так. Ответ на этот вопрос был найден в начале XX в. в разграничении общей и предельной полезности. Дело в том, что величина запасов воды и алмазов различна. Вода имеется в изобилии, тогда как алмазы встречаются довольно редко. Следовательно, в первом случае количество Q велико, а цена Р низка; во-втором, наоборот: количество мало, а цена высока. Это означает, что общая полезность воды большая, а предельная — маленькая; у алмазов, наоборот, общая мала, а предельная — велика. Цены же определяются не общей, а предельной полезностью. Таким образом, парадокс воды и алмаза не опровергает функцию полезности. Функция полезности лежит в основе потребительского выбора.

Если в наборе потребителя один товар Х, функция полезности U = U(Х) и количество товара в наборе изменится на ΔХ, то полезность набора изменется на ΔU:

U+ ΔU= U(Х+ ΔХ),

ΔU = U(X+ ΔX) – U(X),

—предельная полезность товара Х на дуге.

Предельная полезность товара в точке измеряется как — функция предельной полезности.

Если функция полезности является функцией одной переменной, то МU измеряется простой первой производной. Вторая производная функции полезности в таком случае — U``(X) измеряет наклон кривой MU. Если U``(X)< 0, то MU убывает.

Если в наборе потребителя два товара Х и Y, то функция полезности U=U(X,Y) — функция двух переменных. Если количество товара Y в наборе не изменяется, а количество товара Х изменяется на ΔХ, то полезность набора изменится на ΔU.

U+ ΔU= U(X+ΔX,Y),

ΔU=U(X+ΔX,Y) – U(X,Y),

— предельная полезность на дуге,

Предельная полезность товара в точке измеряется как

— фунция предельной полезности.

— измеряет наклон кривой MU и, если предельная полезность убывает, то < 0.

Если в наборе потребителя содержится n товаров —
(X1, X2…Xn), то U = U(X1, X2…Xn).

Если в наборе n товаров, то мы находимся в пространстве товаров, здесь вместо кривых безразличия — поверхности безразличия, а касательные к ним — плоскости.

10.2. Порядковый подход к анализу полезности

Порядковый подход к анализу полезности базируется на ряде аксиом:

1. Аксиома полной упорядоченности. Потребитель согласен упорядочить все наборы потребительских благ с помощью отношений предпочтения. Это означает, что для любой пары потребительских благ потребитель может указать либо АB, либо BA, либо А~B (равноценны). Необходимо обратить внимание на то, что А и В это товарные наборы, а не отдельные товары.

2. Аксиома транзитивности. Если АВС, или АВ~С или А~ВС, то АС. Эта аксиома гарантирует согласованность предпочтений, т.е. она исключает существование следующих ситуаций: АВ, ВС и АС.

3. Аксиома ненасыщаемости. Если товарный набор А содержит не меньшее количество данного товара, а одного из товаров больше, чем в наборе В, то АВ, т.е. данная аксиома означает, что увеличение потребления одного товара при фиксированных объемах потребления другого, улучшает положение потребителя.

4. Аксиома сопоставимости. Изменение количества одного блага в наборе всегда можно компенсировать другим благом.

5. Аксиома независимости потребителя. Удовлетворение потребителя зависит от количества потребляемых им благ, и не зависит от количества благ потребляемых другими потребителями.

Порядковая теория полезности предполагает, что максимизация полезности сводится к выбору наиболее предпочтительного варианта товарных наборов из всех доступных для потребителя. Данная теория рассматривает товарный набор, состоящий из двух товаров х и у, при порядковом анализе используются кривые безразличия и карта кривых безразличия.

10.3. Бюджетное ограничение

В определении набора товаров, приобретаемого потребителем и имеющего максимальную полезность, используется бюджетная линия. Если потребитель расходует весь свой доход I и приобретает два товара в количествах x и y по рыночным ценам Pxи Py, то бюджетная линия имеет вид: I=Pxx+Pyy. Это уравнение прямой, в которой доход и цены — известные величины, а количество одного товара, например, x зависит от количества приобретаемого другого товара y. Поэтому уравнение бюджетной линии можно записать в виде: . Потребитель может приобрести любой набор товаров, отмеченный любой точкой на бюджетной линии, в том числе наборы в крайних точках этой линии. Так, если весь доход будет потрачен на покупку товара y, то точка K с координатами (0, I/Py) будет представлять купленный в таком случае набор. Наоборот, если весь доход истрачен на покупку товара x, то набор отмечается точкой M (I/Py,0).

Потребитель может приобрести набор B, но он содержит меньше и одного, и другого товара по сравнению с набором A. Следовательно, приобретая набор товаров, потребитель не израсходует весь свой доход. Набор C недоступен потребителю, на его покупку требуются средства, превышающие его доход. Поэтому доступные потребителю наборы ограничены бюджетной линией, и ее называют бюджетным ограничением. Бюджетная линия показывает все возможные комбинации двух продуктов, которые может приобрести потребитель при данном уровне цен и величине его дохода при условии, что весь доход будет израсходован.

Положение бюджетной линии изменяется, если изменяются доход и цены. Возможны следующие ситуации. Если цены товаров не изменяются, а доход увеличивается, то бюджетная линия перемещается вправо параллельно самой себе (влево, если доход уменьшается). Если цена Py и доход не изменяются, а цена Pxснижается, то точка M перемещается по оси абсцисс вправо, а точка K остается на месте, ведь в таком случае покупатель может купить за свой доход больше товара x. Если цена Px повышается, точка M перемещается влево. Это означает, что за более высокую цену можно купить на весь доход меньше товара x, чем прежде. Аналогичная картина складывается, если не изменяются доход и цена Px, а цена Pyизменяется. Если одновременно изменяются цены обоих товаров и доход, то надо построить новую бюджетную линию потребителя.

Если потребитель покупает n товаров, то бюджетное ограничение имеет вид: , где x1,x2,..., xn— количества покупаемых товаров, а P1, P2,..., Pn — цены соответствующих товаров.

10.4. Кривые безразличия

При покупке товаров на рынке потребитель выбирает набор, который для него является наиболее предпочтительным. Теория, изучающая поведение потребителя и его спрос, основывается на ряде исходных аксиом — положений, не требующих доказательств. Так, рациональный потребитель хорошо знает потребительские свойства товаров и определяет в соответствии со своими вкусами и предпочтениями полезность каждого товара, предельную полезность каждой последующей единицы блага, может сравнивать наборы и выбрать набор, имеющий наибольшую общую полезность. В действительности люди не всегда поступают рационально, но здесь анализируется поведение рационального потребителя. Транзитивность означает, что потребитель может расположить несколько наборов в последовательности так, что если первый набор предпочитается второму, а второй третьему, то первый набор предпочитается третьему и т.д. Изменение количества одного блага в наборе, например, уменьшение, можно компенсировать увеличением некоторого количества другого блага. Существует ненасыщаемость потребности. В противном случае потребителю не пришлось бы выбирать, какие товары купить и в каком количестве. Рациональный потребитель предпочитает благо (апельсин) антиблагу (сигареты), а также при прочих равных условиях большее количество блага — меньшему количеству.

Существует множество наборов, содержащих два товара в различной комбинации и имеющих одинаковую совокупную полезность. Эти наборы в равной степени удовлетворяют потребности и могут быть представлены точками на кривой безразличия. Координаты точек отмечают количество одного и другого товара в наборе. Кривая так называется потому, что потребителю безразлично, какой набор приобрести. Так, наборы A и B имеют одинаковую общую полезность, хотя в наборе B по сравнению с набором A, больше товара x, но меньше товара y. Кривая безразличия выпукла, если рассматривать ее от начала координат.

На рис. а точками представлена наборы, имеющие общую полезность U1. Но существуют наборы, полнее удовлетворяющие потребности и имеющие большую величину совокупной полезности. Они представлены точками на более высокой кривой безразличия (рис.б). Поэтому все существующие наборы можно представить на кривых безразличия в виде карты безразличия. Полезность наборов на кривой U3 больше полезности наборов на кривой U2и т.д.

Для товаров совершенных заменителей (субститутов), например подсолнечного и кукурузного масла, кривая безразличия является прямой линией. В точках K и M потребитель покупает только один товар — или подсолнечное или кукурузное масло. В других точках потребитель покупает оба продукта в различной пропорции.

В случае взаимодополняемых товаров — совершенных комплементов (такие товары потребляются вместе в определенной пропорции) кривые безразличия имеют вид ломаной линии, рис. г. Удовлетворяет потребности набор A. Часть товара x в наборе B не будет использована для удовлетворения потребностей, поэтому этот набор покупать нецелесообразно. Набор товаров совершенных комплементов с большей общей полезностью U2находится в угловой точке более высокой кривой безразличия.

Кривые безразличия никогда не пересекаются. Доказать это важное свойство кривых можно следующим образом. Допустим, что кривые безразличия пересекаются. Тогда согласно аксиомам наборы A и B, A и C имеют одинаковую общую полезность и равнопредпочтительны, но это не так. В наборе C содержится больше и товара x и товара y и, следовательно, он имеет большую полезность. Последнее положение опровергает наше предположение. Таким образом, кривые безразличия никогда не пересекаются. Через любую точку можно провести лишь одну кривую безразличия.

Кривые безразличия ранжируют наборы товаров в определенном порядке в соответствии с их полезностью для потребителя. Наибольший вклад в разработку порядковой (ординалистской) теории полезности внесли Ф. Эджуорт, В. Парето, Е. Слуцкий, Р. Аллен, Дж. Хикс.

10.5. Предельная норма замещения

В наборе, состоящем из двух товаров, можно выделить минимальное количество одного и другого обязательно потребляемого блага. В пределах названного минимума потребитель не может уменьшить потребление одного блага за счет увеличения потребления второго, даже если второе благо весьма привлекательно. Что касается благ сверх минимального количества, то здесь возможна их взаимная замена.

В наборе A содержатся товары в количестве (x, y), в наборе B — (x+Δx, y–Δy). Приобретая набор B взамен набора A, потребитель сокращает потребление товара y на Δy и увеличивает потребление товара x на Δx. Предельная норма замещения одного товара другим измеряется отношением . При этом потребитель обязательно остается на одной и той же кривой безразличия U=const, а наборы A и B имеют одинаковую полезность.

Нетрудно заметить, что Δy и Δx образуют стороны прямо­угольного треугольника, а их отношение и, следовательно, предельная норма замещения товара товаром равна MRS =tgb. Так как β= π–a, то tgβ=tg(π –a,)=–tga. Экономисты в измерении MRS используют абсолютное значение tga, и потому предельная норма — величина положительная. Предельная норма замещения характеризует пропорцию, в которой потребитель замещает один товар другим.

Если товар бесконечно делим, а мы исходим из такого предположения, то . Здесь dy и dx представляют малые изменения объемов потребляемых товаров. Заметим, что если такое благо как автомобиль неделимо, то машино-часы использования автомобиля делимы. Аналитически MRS измеряет наклон кривой безразличия: отрицательным значением tga на дуге AB, если рассматривается отношение ; в точке, если изменения в потреблении товаров бесконечно малы .

Если товары являются совершенными заменителями, то кривая безразличия — прямая линия, представляющая наборы с полезностью U. Ее уравнение U= ax+by, или . Наклон этой линии отрицателен и равен .

Для совершенных заменителей предельная норма замещения постоянна.

Измерим MRS при переходе от набора A и A2к набору для товаров совершенных комплементов. Потребление товара y уменьшается на Δy, а потребление товара x не изменяется. Тогда . Для наборов A и A2 имеем обратную картину: , потребление товара y не изменилось, а товара x увеличилось.

Предельная норма замещения убывает в случае стандартной кривой безразличия, которая является выпуклой относительно начала координат. Экономически это интерпретируется следующим образом. Готовность потребителя замещать товары зависит от количества каждого продукта в исходном наборе. Если в нем содержится относительно большое количество товара y и относительно малое товара x, то потребитель готов заменить значительное количество товара y, например, 6 единиц, на сравнительно небольшое количество единиц товара x, например на 2 единицы. Для потребителя каждая дополнительная единица товара x имеет большую полезность, чем полезность дополнительной единицы товара y. Но как только в наборе окажется относительно больше продукта x по сравнению с продуктом y, то потребитель замещает небольшое количество продукта y на относительно большее количество товара x, например, 2 единицы товара y на 4 единицы товара x. Перемещаясь вниз по кривой безразличия, потребитель все меньшее и меньшее количество продукта y замещает на каждую дополнительную единицу продукта x.

Уменьшение предельной нормы замещения, т.е. выпуклость кривых безразличия, является важной характеристикой предпочтений потребителей.

10.6. Оптимальный выбор потребителя

Для определения оптимума потребителя необходимо совместить карту кривых безразличия с бюджетной линией.

Потребитель выберет товарный набор, который принадлежит наиболее удаленной кривой безразличия от начала координат, но он не выберет точку В, так как эта точка соответствует товарному набору, недоступному для данного потребителя, он не выберет точку А, так как при движении по бюджетной линии вниз можно перейти к товарному набору лежащему на более удаленной от начала координат кривой безразличия (точка Е). Максимально выгодный для потребителя товарный набор будет лежать в точке касания кривой безразличия и бюджетной линии (точка Е). В точке касания наклоны бюджетной линии и кривой безразличия совпадают. Наклон бюджетной линии — , а наклон кривой безразличия — MRSxy, следовательно в точке оптимума потребителя выполняется равенство:

= MRS_xy, Þ = Þ = .

Можно представить угловое решение задачи потребительского выбора, если наблюдается такая ситуация, когда потребление сводится к минимальному потреблению каких-либо товаров. Тогда оптимум потребителя определяется следующим образом.

В этом случае потребитель выберет точку В, а потребление товара Y сводится к нулю. В точке В предельная норма замещения больше чем наклон бюджетной линии ( < MRSxy), поэтому при угловом решении задачи потребительского выбора условие оптимального равенства не выполняется: ≠ MRSxy.