Стратегии управления запасами

Для нахождения оптимальных параметров стратегии управления запасами (уже с учетом издержек дефицита), характеризующих точку минимума f(Т,g), выпишем соответствующие условия первого порядка (∂f/∂Т = 0 и∂f/∂g = 0 ):

[С_h + d(C_П + Р_П)](1 – γ)² + С_g∙γ² – 2С₀ /DТ² = 0

С_g∙γ×Т – [С_h + d(C_П + Р_П)]×(1 – γ)×Т + (Р_П – С_ОП) = 0.

Обратим внимание на то, что при g=1 указанная система уравнений (убедитесь в этом самостоятельно) может быть совместной только в случае товара с отрицательной рентабельностью, когда Р_П – С_ОП < 0 . Поэтому далее, как и при анализе случая отсутствия издержек дефицита, для параметра g оставим ограничение .

Из первого равенства для приведенных выше условий первого порядка (∂f/∂Т = 0) легко получаем формулу, выражающую Т через γ:

(**)

Подчеркнем что, при любом фиксированном значении γ из указанной области допустимых значений этого параметра интервал повторного заказа Т следует выбирать в соответствии с представленной выше формулой (для максимизации интенсивности потока доходов).

Второе равенство (∂f/∂γ = 0) перепишем в виде:

(Р_П – C_ОП)/ Т = [С_h + d(C_П + Р_П)] – γ×[С_g + С_h + d(C_П + Р_П)]

(***)

Анализируя параметры оптимальной стратегии для интересующей нас модели управления запасами сначала рассмотрим отдельно ситуацию, когда (Р_П – С_ОП) = 0 . Разумеется, эту ситуацию можно упрощенно интерпретировать как такую, когда для анализируемого товара имеет место «нулевая» рентабельность. В указанной ситуации равенство (***) принимает вид:

Следовательно, в рассматриваемой ситуации имеем:

.

Обратите внимание на то, что при r=0 (т.е, когда временная структура процентных ставок не учитывается, причем тогда и d = 0) представленная формула для параметра g^* при планировании не покрываемого поставками дефицита совпадает с приведенными выше традиционными рекомендациями теории, которые не учитываю временную стоимость денег в рамках такой оптимизационной модели управления запасами. Соответственно, для интервала повторного заказа в этой ситуации из равенства (**) с учетом полученного значения для показателя g^* получаем

Т^* = .

Также сравните и этот результат с традиционными рекомендациями теории, которые не учитывают временную стоимость денег применительно к таким оптимизационным моделям управления запасами. Отметьте, что при r=0 и d=0 представленная формула для Т^* совпадает с приведенными выше такими традиционными рекомендациями теории (без учета временной стоимости издержек/доходов).

Как видим, применительно к указанной ситуации, когда товар имеет «нулевую» рентабельность (т.е., когда (Р_П – С_ОП) = 0) условия первого порядка дают единственное решение для оптимальной стратегии планирования не покрываемого поставками дефицита. При этом традиционные рекомендации теории в рамках такой модели являются частным случаем найденной оптимальной стратегии применительно к указанной частной ситуации товара с «нулевой» рентабельностью, причем если временная стоимость денег не учитывается d = 0. Другими словами, проведенный здесь анализ показывает, что традиционные рекомендации теории в рамках рассматриваемой модели относятся именно к ситуации товара с «нулевой» рентабельностью, причем без учета процентных ставок. Как мы увидим далее для рентабельных товаров рекомендации, получаемые на основе оптимизационной модели с учетом временной стоимости денег, будут совсем иными.

Чтобы найти оптимальную стратегию в общем случае поступим следующим образом. В соотношение (***) вместо переменной Т подставим соответствующую формулу (**), выражающую Т черезg. После этого возведем обе части такого равенства в квадрат. Получим квадратное уравнение относительно неизвестного g. Напомним, кстати, что задача минимизации f(Т,g) рассматривается при ограничениях . После упрощений (они опускаются из-за ограниченности объема работы) соответствующее квадратное уравнение, представленное уже по степеням g, имеет вид

,

где для упрощения записи снова принято

а = С_h + d×(С_П + Р_П),

b = C_g ,

П = Р_П – С_О

(при очевидном требовании а>0).

Полученное квадратное уравнение относительно g будет иметь решение, если выполнено условие (дискриминант уравнения не отрицателен):

.

После простых преобразований это неравенство принимает следующий вид

.

Поэтому оно эквивалентно неравенству

.

Итак, дискриминант интересующего нас квадратного уравнения относительно неизвестного g не будет отрицательным (уравнение будет иметь решение) только в случае, когда выполнено условие (переходим к обозначениям модели):

.

(****)

Обратим теперь внимание на то, что применительно к реальным ситуациям на практике указанное неравенство (****) скорее всего не будет иметь места. Действительно, в этом нетрудно убедиться, если учесть, что годовое потребление (D) может измеряться сотнями или тысячами единиц товара, а штрафные издержки дефицита и издержки хранения на единицу товара (C_g и C_h) могут быть соизмеримы с показателем прибыли. Поэтому, скорее всего, только в случае, когда издержки поставки на единицу товара (С_ОП) будут очень близки к показателю прибыли (Р_П) для единицы товара, т.е. в случае, практически не рентабельного товара, неравенство (****) может иметь место. В таком случае найдя решение g₀ указанного уравнения, далее следует определять оптимальное значение g^* с учетом соответствующего ограничения , а затем и остальные параметры оптимальной стратегии по приведенным выше формулам. По указанным причинам этот случай далее здесь не рассматривается.

Обратимся к реальному для практических ситуаций случаю, когда неравенство (****) не имеет место. В этом случае интересующая нас система уравнений (условия первого порядка) является несовместной. Следовательно, наименьшее значение функции f(T,g) , следует искать на границе области ограничений, включая предельный случай g=1. Поэтому для нахождения оптимальной стратегии необходимо сделать выбор из следующих двух возможных вариантов:

1) Либо g^* = 0 (дефицит не планируется) и соответственно оптимальный интервал повторного заказа определяется равенством ;

2) Либо g^* = 1 и соответственно Т→∞ (товар вообще не поставляется, если это допускается бизнесом, т.к. с ним работать не рентабельно).

Из экономических соображений понятно, что второй из указанных вариантов относится именно к товару с отрицательной рентабельностью. Кроме того, также понятно, что для рентабельных товаров соответствующее решение о планировании дефицита, не покрываемого при поставках, приведет только к снижению показателя интенсивности потока доходов. Таким образом, для указанных ситуаций оптимальная стратегия определяется выбором варианта 1.

Дополнительно отметим также следующие особенности анализируемой оптимальной стратегии применительно к указанным реальным ситуациям.

q Оптимальный уровень максимально допустимого дефицита (S^*) равен нулю.

q Оптимальное значение γ^* доли времени наличия дефицита равно нулю.

q Оптимальное значение (1– γ^*)доли времени наличия запасов равно 1.

q Оптимальный баланс для длительностей промежутков времени наличия запасов и дефицита предполагает полное отсутствие дефицита.

СРАВНЕНИЕ С ТРАДИЦИОННЫМИ РЕКОМЕНДАЦИЯМИ

(БЕЗ УЧЕТА ВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ)

Для сравнения с известным результатом модели планирования дефицита без его покрытия при поставках, но для ситуации, когда временная стоимость денег не учитывается, обратим внимание на следующее. Если при r=0 (соответственно и d=0) также положить (Р_П – C_ОП)=0 (поскольку в рамках традиционных рекомендаций соответствующая модель не рассматривает показатель прибыли на единицу товара и показатель издержек доставки на единицу товара), то все атрибуты рассматриваемой здесь модели и параметры оптимального решения будут соответствовать уже известным в теории. Действительно, в этом случае левая часть равенства (***) будет равна нулю, что позволяет легко найти соответствующее единственное оптимальное значение параметра γ^*, причем 0 < γ^* < 1. При этом, однако, как мы уже понимаем, указанная ситуация применительно к задаче максимизации потока доходов относится именно к случаю поставок нерентабельного товара.

Применительно к ситуации поставок рентабельного товара расхождение традиционных рекомендаций модели планирования не покрываемого при поставках дефицита с аналогичными для соответствующей оптимизационной модели, когда временная стоимость денег учитывается (т.е. при r>0 и соответственно d>0), как было показано, очевидны.

Для иллюстрации особенностей предложенного подхода к нахождению параметров оптимальной стратегии управления запасами рассматриваемой модификации модели планирования не покрываемого при поставках дефицита (с учетом временной стоимости денег), а также для иллюстрации изменения таких параметров по сравнению с рекомендациями традиционного подхода (без учета временной стоимости издержек/доходов) рассмотрим такую же условную ситуацию, как и в предыдущем примере.

ПРИМЕР 6.3. Пусть анализируется оптимальная стратегия организации поставок некоторого товара, максимизирующая чистый приведенный доход для соответствующих логистических операций с учетом годовой ставки наращения, составляющей 20%. При этом требуется дополнительно учесть, что анализируется стратегия, допускающая дефицит такого товара, который не будет покрываться при поставках. Напомним, что необходимые в рамках указанного анализа параметры – следующие:

§ D = 10 000 (ед. тов.) – объем годового потребления товара;

§ C₀ = 20 (у.е.) – накладные расходы на поставку одной партии товара;

§ С_П = 100 (у.е.) – цена единицы соответствующего товара;

§ Р_П = 40 (у.е.) – прибыль от реализации единицы товара;

§ С_h = 20 (у.е.) – годовые издержки хранения единицы товара;

§ С_g = 20 (у.е.) – издержки из-за дефицита на единицу товара за год (такого же порядка как и издержки хранения).

Дополнительно, для удобства дальнейшего сравнения результатов с аналогичными, но уже для классической модели без учета временной стоимости денег, полагаем C_0П = 0 (например, соответствующие издержки уже включены в стоимость товара). Кроме того, подчеркнем, что в соответствии с условиями примера далее в расчетах снова принимаем r = 0,2 и, следовательно, d = 0,1(6) .

Найдем параметры оптимальных стратегий управления запасами как на основе алгоритма оптимизации для модифицированной модели с учетом временной структуры процентных ставок при выплате издержек хранения пренумерандо, так и на основе рекомендаций для традиционной модели (без учета временной стоимости денег), и сравним их между собой.

РЕШЕНИЕ. Прежде всего, заметим, что применительно к традиционному аналогу модели планирования дефицита (не покрываемого при поставках товара) без учета временной стоимости денег по представленным в начале главы традиционным формулам теории управления запасами имеем:

o оптимальное значение q₀ размера партии заказа будет соответственно определено как

q₀ = = = 100 (ед. тов.);

o оптимальное значение интервала повторного заказа Т₀ получаем, равным

Т₀ = = = 0,02;

o оптимальный баланс для длительностей промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов на интервале повторного заказа Т₀ (т.е. отношение γ₀ /(1 – γ₀)) будет соответственно составлять

= = ,

т.е. 1:1 (соответственно покрытой окажется только половина спроса);

o оптимальное значение максимально допустимого дефицита (S₀) будет при этом определено как

S₀ = = =100 (ед. тов.)

(соответственно непокрытой окажется половина спроса).

Представим теперь соответствующие параметры оптимальной стратегии планирования такого дефицита в рамках оптимизационной модели с учетом временной стоимости денег. Предварительно подчеркнем, что в рассматриваемом условном примере (Р_П – С_ОП) > 0 и, кроме того, издержки дефицита требуется учитывать. Проверим, выполнено ли условие (****). Оно, очевидно, не выполняется, т.к. имеет место противоположное неравенство:

10 000×40²/2×20 > 20+20+0,1(6)×140.

Кстати, напомним, ранее уже было отмечено, что указанное условие (****), как правило, применительно к реальным ситуациям не будет выполняться, что и иллюстрирует этот условный пример. Таким образом, поскольку по условиями примера товар, очевидно, является рентабельным, то оптимальной стратегией будет отказ от планирования дефицита, не покрываемого при поставках. При этом

· γ^* = 0 (при оптимальной стратегии требуется обеспечивать запас товара на весь период интервала повторного заказа);

· для оптимальной длительности интервала повторного заказа с учетом временнойстоимости денегпо формуле для Т^* получаем

= =0,00961

§ для оптимального размера партии заказа q^* с учетом временнойстоимости денегпо формуле для q^* получаем

q^* = (1- γ^*)× Т^*×D = 1× 0,00961×10 000 = 96 (ед. тов.),

а не 100 ед. тов., если временную стоимость денег не учитывать;

§ оптимальный баланс длительностей промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов с учетом временной стоимости денег предполагает отсутствие промежутков времени наличия дефицита на интервале повторного заказа;

§ соответственно для оптимального значения максимально допустимого дефицита с учетом временной стоимости денег имеем S^* = γ^*× Т^*×D = 0 (ед. тов.), а не планируемый дефицит в 100 ед. тов., если временную стоимость денег не учитывать.

Как видим, в рамках этого условного примера, учет временной структуры процентных ставок очень серьезно изменяет традиционно рекомендуемые значения указанных параметров стратегии управления запасами. А именно, – рекомендации на основе традиционных формул без учета временной стоимости денег для стратегии планирования дефицита применительно к рассматриваемой условной ситуации этого примера обусловили следующее:

1) нарушили оптимальный баланс для длительностей соответствующих промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов (предложен такой баланс в пропорции 1:1 вместо полного исключения промежутков дефицита);

2) допустили не покрываемый поставками дефицит товара в объеме 50% от его спроса на интервалах повторного заказа;

3) снизили интенсивность доходов для суммарных денежных потоков (из-за не покрываемого поставками дефицита) применительно к этому рентабельному товару соответственно более, чем в два раза, что иллюстрируется необходимыми расчетами, представленными ниже.

Найдем соответствующее расхождение в интенсивности потока доходов, обусловливаемое выбираемым подходом к оптимизации модели: выбором критерия оптимизации, а также отсутствием или наличием учета временной структуры процентных ставок. Для этого определим указанные интенсивности в следующих случаях.

Случай 1. При учете временной стоимости денег и поставках товара партиями оптимального (с учетом временной стоимости денег) объема q^*= 96 с интервалом повторного заказа Т^*= 0,00961 при γ^* = 0 для интенсивности потока доходов (по формуле (*) при T= T^* ) имеем:

F(T^*) = 10000×40 – 20/0,00961 – 20∙10000×0,00961 /2–

– (100+40)∙10000×0,00961×0,1(6) /2 = 395836,7 ( у.е./год)

Случай 2. Если временную стоимость денег не учитывать и поставлять товар партиями соответствующего объема q₀ = 100 (в рамках традиционных в теории рекомендаций), причем допуская максимальный дефицит S₀ = 100 (в соответствии с такими рекомендациями при g₀ = 0,5) то для интенсивности потока доходов (по формуле (*) при Т= Т₀ ) имеем:

F(Т₀) = (1– 0,5)10000×40 – 20/0,02 – 20×10000×0,02×0,5²/2 –20×10000×0,02×0,5²/2 –

– (100+40)×10000×0,02× 0,5²×0,1(6) /2= 188416,(6) ( у.е./год).

Как видим, интенсивность потока доходов в рамках предлагаемого подхода к оптимизации модели с учетом временной структуры процентных ставок возрастает по анализируемому виду товара даже более, чем вдвое: на 207420 у.е./год. Это – соответствующая разница в единицах показателя годовой интенсивности потока доходов, которую дает предложенный подход к оптимизации планирования дефицита на основе соответствующих процедур учета временной стоимости денег применительно к логистическим процессам анализируемой в этом примере системы управления запасами.

Естественно, указанное отклонение для интенсивностей доходов уже не может показаться незначительным никакому менеджеру или финансовому директору. Еще более существенное отклонение в интенсивности доходов получим, если в рамках анализируемой модели показатель издержек дефицита (C_g) будет на порядок меньшим, чем соответствующий показатель издержек хранения (C_h). Проиллюстрируем это следующим продолжением рассмотренного условного примера.

ПРИМЕР 6.4. (Продолжение примера 6.3). Оставим прежними все параметры модели управления запасами, которые были приняты в рамках примера 6.3, кроме показателя издержек дефицита. А именно, пусть C_g = 2 (вместо принятого ранее значения 20). Найдем для этого случая параметры оптимальных стратегий управления запасами (снова как на основе алгоритма оптимизации для модифицированной модели с учетом временной структуры процентных ставок при выплате издержек хранения пренумерандо, так и на основе рекомендаций для традиционной модели без учета временной стоимости денег), и сравним их между собой.

РЕШЕНИЕ. Применительно к традиционному аналогу модели планирования дефицита (не покрываемого при поставках товара) без учета временной стоимости денег по представленным в начале главы формулам имеем:

o для параметра q₀ размера партии заказа –

q₀ = = = 42,6 (ед. тов.);

o для длительности Т₀ интервала повторного заказа –

Т₀ = = = 0,0469;

(или, приблизительно, 17 дней);

o оптимальный баланс для длительностей промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов на интервале повторного заказа Т₀ (т.е. отношение γ₀ /(1 – γ₀)) будет соответственно составлять

o

= = ,

т.е. 10:1 (соответственно покрытыми окажутся только порядка 9% спроса);

o для значения максимально допустимого дефицита (S₀) –

S₀ = = = 426 (ед. тов.)

(соответственно, непокрытыми окажутся порядка 91% спроса этого рентабельного товара, что катастрофически снизит интенсивность потока доходов).

Представим соответствующие параметры оптимальной стратегии планирования такого дефицита с учетом временной стоимости денег. Напомним, что в рассматриваемом условном примере (Р_П – С_ОП) > 0 и, кроме того, издержки дефицита также требуется учитывать, хотя они и стали на порядок меньше, чем издержки хранения. Проверим, выполнено ли условие (****) в рамках этого примера. Оно, разумеется, снова не выполняется, т.к. правая часть соответствующего неравенства стала меньше (чем в ситуации предыдущего примера) из-за снижения издержек дефицита, а левая часть – не изменилась:

10 000×40²/2×20 > 2+20+0,1(6)×140.

Таким образом, поскольку товар является рентабельным, то оптимальной стратегией снова, как и примере 6.3, будет отказ от планирования дефицита, не покрываемого при поставках. Следовательно все параметры оптимальной стратегии будут такими же, как и в предыдущем примере 6.3.

Как видим, в этой ситуации учет временной структуры процентных ставок еще более серьезно изменяет традиционно рекомендуемые значения указанных параметров стратегии управления запасами. А именно, – рекомендации на основе традиционных формул без учета временной стоимости денег для стратегии планирования дефицита применительно к рассматриваемой условной ситуации этого примера обусловили следующее:

1) занизили объем заказа почти в два раза;

2) нарушили оптимальный баланс для длительностей соответствующих промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов.

3) допустили не покрываемый поставками дефицит товара в объеме 91% от его спроса на интервалах повторного заказа, что соответственно снизит интенсивность доходов, применительно к этому рентабельному товару;

4) снизили интенсивность доходов для суммарных денежных потоков (из-за не покрываемого поставками дефицита) применительно к этому рентабельному товару соответственно более, чем в десять раз, что иллюстрируется необходимыми расчетами, представленными ниже.

Действительно, найдем соответствующее расхождение в интенсивности потока доходов, обусловливаемое выбором подхода к оптимизации модели: отсутствием или наличием учета временной структуры процентных ставок применительно к условиям этого примера. Для этого сравним указанные интенсивности в интересующих нас следующих двух случаях.

Случай 1. При учете временной стоимости денег и поставках товара партиями оптимального (с учетом временной стоимости денег) объема q^*= 96 с интервалом повторного заказа Т^*= 0,00961 при γ^* = 0 для интенсивности потока доходов (по формуле (*) при T= T^*), как и в условиях примера 6.3, имеем:

F(T^*)=395836,7 ( у.е./год).

Случай 2. Если временную стоимость денег не учитывать и поставлять товар партиями соответствующего объема q₀ = 100 (в рамках традиционных в теории рекомендаций), причем допуская максимальный дефицит S₀ = 426 (в соответствии с такими рекомендациями при g₀ = 10/11) то для интенсивности потока доходов (по формуле (*) при Т= Т₀ ) имеем:

F(Т₀) = (1– 10/11)×10000×40 – 20/0,0469 – 20×10000×0,0469×(1/11)²/2 –

–2×10000×0,0469×(10/11)²/2 –(100+40)×10000×0,0469× (1/11)²×0,1(6) /2 =

= 35465,6 ( у.е./год).

Как видим, в этом случае интенсивность потока доходов при оптимизации в рамках традиционных рекомендаций теории без учета временной структуры процентных ставок окажется (для анализируемого вида) товара сниженной более, чем в одиннадцать раз. Это – по отношению к соответствующему показателю годовой интенсивности потока доходов, которую дает предложенный подход к оптимизации планирования дефицита на основе соответствующих процедур учета временной стоимости денег применительно к анализируемой модели управления дефицитом.

Результаты представленного в этой главе исследования соответственно позволяют сделать следующие выводы.

ВЫВОДЫ. Разработанные в классической теории модели оптимальных стратегий управления запасами, допускающие планирование дефицита не покрываемого при поставках, могут быть улучшены в смысле максимизации показателей эффективности таких систем (например, максимизации чистого приведенного дохода или максимизации интенсивности потока доходов) за счет выбора соответствующего критерия оптимизации и учета действующих на рынке процентных ставок (временной стоимости денег) при анализе денежных потоков, характеризующих соответствующие издержки и доходы. В частности, подчеркнем, что традиционные рекомендации теории в рамках такой модели оказались частным случаем найденной в данном исследовании оптимальной стратегии управления применительно к специальному случаю поставок именно не рентабельного товара, причем в ситуации, когда временная стоимость денег не учитывается. Другими словами, проведенные в этой главе исследования показали, что традиционные рекомендации теории относятся именно к ситуации поставок товара с «нулевой» рентабельностью. Из-за отсутствия показателей прибыли, а также из-за специфики выбранного критерия в постановке задач оптимизации стратегий управления запасами в таких традиционных оптимизационных моделях применительно к рентабельным товарам соответствующие традиционные рекомендации существенно отличаются от оптимальных. А именно: они могут очень сильно искажать показатель объема заказа; они могут допускать наличие не покрываемого поставками дефицита, причем для рентабельного товара, что соответственно может сильно снизить показатель интенсивности доходов применительно к этому рентабельному товару; они могут очень серьезно нарушать оптимальный баланс для длительностей соответствующих промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов на интервале повторного заказа. Как видим, анализ моделей такого типа наглядно иллюстрирует тот факт, что минимизация издержек не всегда может сочетаться с максимизацией прибыли, например, представляемой на основе интенсивности потока доходов.

Хочется надеяться, что результаты представленного здесь исследования помогут менеджерам, работающим в области управления запасами, по-новому ставить и решать задачи оптимизации соответствующих стратегий управления запасами при планировании дефицита, в частности, не покрываемого поставками, достигая при этом лучших результатов, причем без дополнительных затрат капитала фирмы.