Характеристические числа и векторы
Любое линейное преобразование однозначно определяет матрицу А оператора в заданном базисе пространства .
Ненулевой вектор называется характеристическим (собственным) вектором квадратной матрицы , принадлежащим ее собственному значению , если после преобразования он переходит в вектор, отличающийся от лишь на постоянный множитель , то есть, если
. (6.7)
Числовой множитель называется характеристическим корнем (собственным значением) матрицы А оператора .
Для любого собственного вектора матрицы А, принадлежащего собственному значению и любого числа вектор также является собственным вектором матрицы А, принадлежащим собственному значению .
Многие прикладные задачи экономики сводятся к проблеме отыскания собственных значений и собственных векторов матриц.
Уравнение (6.7) может быть представлено в виде
. (6.8)
Матрица называется характеристической матрицей.
Нетривиальное (ненулевое) решение уравнения (6.8) существует лишь в том случае, если определитель характеристической матрицы равен нулю:
. (6.9)
Уравнение (6.9) называется характеристическим уравнением. Если А – матрица порядка , то характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением степени n относительно :
.
Это уравнение имеет n не обязательно различных корней причем некоторые из них могут быть комплексными числами. Каждому из этих характеристических корней соответствует характеристический вектор, определенный с точностью до постоянного множителя.
Пример 6.2. Характеристическое уравнение для матрицы имеет вид . Уравнение имеет два корня: , . Характеристическими векторами, соответствующими и , являются вектора и , где с – произвольная константа. Произвольные константы часто исключают из рассмотрения, вводя нормализованные векторы. В данном примере нормализованными векторами являются и .
Свойства характеристических корней
1. Сумма характеристических корней равна следу матрицы:
2. .
3. Произведение характеристических корней равно определителю матрицы: .
4. Число ненулевых характеристических корней матрицы совпадает с рангом этой матрицы.
5. Характеристическими корнями диагональной матрицы являются элементы ее главной диагонали.
6. Для симметрических матриц все n собственных значений являются вещественными числами.
Согласно теореме Гамильтона-Кэли, матрица А является корнем своего характеристического уравнения:
Теорема Гамильтона-Кэли. Пусть характеристическим уравнением матрицы А является уравнение
.
Тогда справедливо матричное уравнение
.
В некоторых случаях интерес представляет задача отыскания собственных векторов, принадлежащих собственному значению . Достаточные условия существования такого собственного вектора вытекает из следующей теоремы.
Теорема о единичном собственном значении. Если в матрице А сумма элементов каждого столбца равна 1, то имеется собственный вектор, принадлежащий собственному числу 1.
Во многих связанных с отысканием собственных векторов прикладных задачах экономики содержательный смысл имеют только собственные вектора с положительными компонентами. Условия существования таких векторов даются теоремой Фробениуса-Перрона.
Теорема Фробениуса-Перрона. Пусть А – неотрицательная квадратная матрица. Тогда:
1. Максимальное по модулю собственное значение матрицы А неотрицательно. Среди собственных векторов, принадлежащих имеется неотрицательный вектор.
2. В случае все неотрицательные собственные векторы матрицы А положительны и принадлежат только ее максимальному по модулю собственному значению . Кроме того, в этом случае любые два положительных собственных вектора и отличаются лишь числовым множителем, то есть, .
Задачи
В задачах (6.1-6.3) векторы и заданы своими координатами в некотором базисе G. Доказать, что система также является базисом и найти координаты вектора в этом базисе.
6.1. , , , .
6.2. , , , .
6.3. , , , ,
В задачах (6.4) и (6.5) векторы и заданы своими координатами в некотором базисе. Требуется доказать, что системы векторов и также являются базисами. Найти матрицу перехода от базиса G к базису .
6.4. , , ; , , .
6.5. , , , ;
.
Найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей А (искомый базис определен неоднозначно):
6.6. . 6.7. . 6.8. .