Квадратичная форма матрицы. Определенность матрицы
Пусть 
представляет собой произвольный вектор-столбец, состоящий из n числовых элементов, т.е., 
, а квадратная матрица A имеет размер 
.
Выражение 
, где , называется квадратичной формой матрицы A. Из определения операций умножения матриц и транспонирования следует, что 
.
Если для любого вектор-столбца 
квадратичная форма матрицы A удовлетворяет условию 
, то такая матрица называется положительно (отрицательно) определенной.
Пример 1.8.1)Матрица 
положительно определена, поскольку ее квадратичная форма 
для любого :
.
2) Матрица 
отрицательно определена, поскольку ее квадратичная форма 
для любого :
.
Числовые функции от матриц
Приведем несколько числовых функций от матриц, применяющихся в различных математических моделях экономики.
Следом 
матрицы A называется сумма элементов ее главной диагонали: 
. След определен только для квадратных матриц.
l1-нормой 
квадратной матрицы А называется величина 
.
Евклидовой нормой или l2-нормой 
квадратной матрицы А называется величина 
.
Рангом 
матрицы называется наибольшее число ее линейно независимых столбцов или строк.
Задачи
1.1.Доказать следующие свойства алгебраических операций над матрицами:
а) 
; 
;
б) 
; 
; 
;
в) 
.
Пусть 
, 
. Вычислить следующие выражения:
1.2. 
; 
; 
; 
.
1.3. 
; 
.
1.4. 
; 
.
Пусть 
. Вычислить следующие выражения
1.5. 
; 
.
1.6. 
; 
; 
.
1.7. Пусть 
, 
. Найти матрицы 
и 
из уравнений 
; 
.
1.8. Для матриц A и B, заданных в 1.7, решить следующие системы уравнений относительно матриц 
и 
:
а) 
б) 
Пусть 
, 
, 
, 
,
. Вычислить следующие выражения:
1.9. 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
1.10. 
; 
; РАМА; 
; 
; 
.
1.11. Найти произведение 
, если:
а) 
, 
, 
; 
, 
, 
.
1.12. Найти произведения 
и 
, если:
а) 
, 
;
б) 
, 
.
1.13. Для матриц A и B, заданных в 1.7, решить следующие системы уравнений относительно матриц и :
а) 
б) 
в) 
1.14. Найти 
, если 
.
1.15. Пусть 
. Найти значения выражений: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
1.16. Вычислить:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
; е) 
.
1.17. Вычислить для матриц 
и 
выражения:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.18. Найти все матрицы второго порядка, квадраты которой равны нулевой матрице.
1.19. . Найти все матрицы второго порядка, квадраты которой равны единичной матрице.
1.20. Как изменится произведение матриц A и B, если:
а) переставить i-ю и j-ю строки матрицы A;
б) к i-й строке матрицы 
прибавить ее j-ю строку, умноженную на число 
;
в) переставить i-й и j-й столбцы матрицы B;
г) к i-му столбцу матрицы B прибавить ее j-й столбец, умноженный на число .
1.21. Пользуясь свойствами элементарных преобразований матриц, найти матрицу X из уравнений:
а) 
; б) 
; в) 
,
где 
, 
, 
.
Пользуясь свойствами элементарных преобразований матриц, решить следующие системы уравнений относительно матриц X и Y:
1.22. 
где , .
1.23. 
где , , .
Пользуясь свойствами элементарных преобразований матриц, решить систему уравнений относительно матриц X , Y и Z:
1.24. 
где 
, , .
1.25. Найти все матрицы, перестановочные с данной;
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
1.26. Доказать соотношения:
а) 
; б) 
; в) 
.
1.27. Вычислить 
и 
для заданных матриц A:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
; ж) 
.
1.28. Вычислить для 
, 
, 
следующие выражения:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
1.29. Найти алгебраические выражения для квадратичных форм заданных матриц:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
1.30. Вычислить значения квадратичных форм матриц:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
1.31. Пусть 
. Решить относительно 
уравнения: а) 
, если 
; б) 
, если 
.
1.32. Выяснить тип определенности матриц:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ