Інтерполяція з використанням радіальних базисних функцій

Радіальні базисні функції (Radial basis functions, RBF) - це цілий ряд жорстких методів інтерполяції; тобто, поверхня, побудована з використанням цих функцій, проходитиме через всі опорні точки. Існує п'ять різних видів функцій: плоский сплайн, сплайн з натягом, повністю регуляризований сплайн, функція мультиквадриків, і зворотний мультиквадрик. Кожна радіальна функція має різну форму і результати для різних поверхонь інтерполяції.
Методи RBF концептуально схожі на метод "гумового листа", коли лист проходить через всі опорні точки, і при цьому мінімізується загальна кривизна поверхні. Обрана базисна функція визначає, як гумовий лист пройде через опорні точки. Будучи жорсткими інтерполяторами, методи RBF відрізняються від інтерполяторів, що використовують глобальні та локальні поліноми, оскільки ці два методи є нежорсткими інтерполяторами і не припускають проходження поверхні через опорні точки (апроксимують значення в опорних точках). При порівнянні методів з використанням радіальних базисних функцій та методу зважених відстаней, іншого жорсткого інтерполятора, слід зазначити, що метод IDW ніколи не дасть значень, які будуть вище максимальних або нижче мінімальних значень опорних точок. На відміну від методу зважених відстаней, функції RBF можуть давати значення вище максимальних і нижче мінімальних виміряних значень

Радіальні базисні функції використовуються для побудови згладжених поверхонь для великої кількості опорних точок. Функції дають хороші результати для плавно змінюваних поверхонь, таких як рельєф. Ці методи не підходять в тих випадках, коли на поверхні відбувається різка зміна значень на короткій відстані по горизонталі та / або в тих випадках, коли є припущення, що у вихідних даних можуть бути помилки або неточності.

Геостатистичні методи будують поверхню з урахуванням статистичних властивостей використовуваних даних. Оскільки геостатистика грунтується на статистиці, ці методи дозволяють будувати не тільки поверхні інтерпольованих значень, але також поверхні похибок і невизначеності інтерполяції, що допоможе оцінити якість даних.

Існує багато методів, пов'язаних з геостатистикою, але всі вони відносяться до сімейства методів кригінга. У модулі Geostatistical Analyst можливе використання ординарного, простого, універсального, імовірнісного, індикаторного і диз'юнктивного крігінга, поряд з доповнюючим їх кокрігінгом. Ці методи можуть бути також використані для створення карт ймовірності та квантилів.

Кригінг розділений на два окремі завдання: кількісна оцінка просторової структури даних і обчислення шуканих значень. Кількісна оцінка структури, відома як варіографія - це підбір просторово залежної моделі даних. Щоб знайти невідоме значення в певній точці, крігінг використовує підібрану при варіографії модель, взаємне розташування (конфігурацією) просторових даних і значення опорних точок, що знаходяться в околі шуканої точки.

Методи крігінга грунтуються на понятті кореляції. Кореляцію часто визначають як тенденцію двох типів змінних до взаємозалежності. Моделі, що базуються на більш ніж одній змінній, утворюють базу для кокрігінга. Крігінг і кокрігінг - методи інтерполяції, і їхня мета - побудувати поверхню передбачуваних (проінтерполірованних) значень.

Ординарний крігінг

Математична модель даного способу з постійною середньою та випадковою помилкою для опорної точки, і має наступний вигляд:

де, - координати опорної точки; - значення опорної точки, наприклад висота.

Простий крігінг

Математична модель даного пособу з відомою константою та випадковою помилкою для опорної точки, і має наступний вигляд:

Універсальний крігінг

Математична модель даного методу, з деякою детермінованою функцією та випадковою помилкою з обрахунку даних, має наступний вигляд:

В якості детермінованої функції можно прийняти поліноми першого, другого або третього порядків. При цьому сума випадкових помилок повинна дорівнювати .

Індикаторний крігінг

Математична модель даного методу, з невідомою константою та бінарною змінною, має наступний вигляд:

(6.5)

Бінарні значення створюються для неперервних даних з використанням порогового значення, або значення опорних точок та фіксуються як 0 або 1 при виконанні спостереження. При використанні бінарних змінних, ІК працює аналогічно як і ОК.

Імовірностний крігінг

Математична модель даного методу, об’єднує в собі метод ІК з кокрігінгом, має наступний вигляд:

(6.6)

де, - невідомі константи; - бінарна змінна, яка створюється за оцінкою порогового індикатора ; - випадкова помилка отримана за допомогою автокореляції; - випадкова помилка отримана за допомогою взаємної автокореляції між ними.

Диз’юнктивний крігінг

Математична модель даного способу з відомою константою та випадковою помилкою для опорної точки, в має вигляд такої функції:

(6.7)

Кокригінг

Кокрігінг використовує інформацію для декількох типів змінних. Для знаходження більш точних шуканих значень застосовується перша досліджувана змінна - Z1, поряд з автокореляцією для значень Z1 і взаємною кореляцією між значеннями Z1 і всіма іншими типами змінних. Кокрігінг звертається до інформації, що містяться в інших змінних, щоб допомогти в знаходженні шуканих значень, але настільки складний процес має свою ціну. Кокрігінг вимагає набагато більшої кількості оцінок, які включають як оцінку автокореляції для кожної змінної, так і взаємної кореляції для всіх змінних.