Удовлетворяющее условиям

удовлетворяющее условиям - student2.ru (5.9)

удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru при удовлетворяющее условиям - student2.ru . (5.10)

Решение. Умножим каждый член уравнения (5.8) на удовлетворяющее условиям - student2.ru и проинтегрируем по удовлетворяющее условиям - student2.ru от удовлетворяющее условиям - student2.ru до удовлетворяющее условиям - student2.ru . В результате получим операторное уравнение относительно аргумента удовлетворяющее условиям - student2.ru :

удовлетворяющее условиям - student2.ru (5.11)

При фиксированном удовлетворяющее условиям - student2.ru интеграл удовлетворяющее условиям - student2.ru есть лапласово изображение функций удовлетворяющее условиям - student2.ru , которое обозначим удовлетворяющее условиям - student2.ru . Итак, в наших обозначениях

удовлетворяющее условиям - student2.ru (5.12)

С учетом (5.12) интеграл в левой части уравнения (5.11) можно представить в виде

удовлетворяющее условиям - student2.ru (5.13)

К интегралу в правой части (5.11) применим формулу интегрирования по частям. Тогда

удовлетворяющее условиям - student2.ru

С учетом условия (5.9) окончательно получаем

удовлетворяющее условиям - student2.ru (5.14)

Подставляя (5.13) и (5.14) в (5.8), будем иметь обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка по аргументу

удовлетворяющее условиям - student2.ru , (5.15)

Которое следует решить при условиях

удовлетворяющее условиям - student2.ru (5.16)

удовлетворяющее условиям - student2.ru (5.17)

Применяя теорию интегрирования линейных уравнений второго порядка, согласно которой общее решение неоднородного уравнения складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, найдем, что общее решение уравнения (5.15) имеет вид

удовлетворяющее условиям - student2.ru ,

где удовлетворяющее условиям - student2.ru и удовлетворяющее условиям - student2.ru – произвольные постоянные. Определим их из условий (5.16), (5.17). Из ограниченности функции удовлетворяющее условиям - student2.ru при удовлетворяющее условиям - student2.ru в силу условия (5,17) следует, что удовлетворяющее условиям - student2.ru . Из условия (5.16)

удовлетворяющее условиям - student2.ru

получаем удовлетворяющее условиям - student2.ru .

Итак, удовлетворяющее условиям - student2.ru .

По данному изображению удовлетворяющее условиям - student2.ru определим оригинал удовлетворяющее условиям - student2.ru

Искомое решение задачи. По формуле (18) из таблицы соответствий

Устанавливаем, что

удовлетворяющее условиям - student2.ru ,

где удовлетворяющее условиям - student2.ru табулированная функция, так называемый интеграл ошибок, а удовлетворяющее условиям - student2.ru .

Следовательно,

удовлетворяющее условиям - student2.ru .

6. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Найти изображения функции удовлетворяющее условиям - student2.ru и удовлетворяющее условиям - student2.ru Ответы
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
Найти изображение функций Ответы
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
Найти оригинал по заданному изображению и сделать график Ответы
удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
Используя теорему умножения изображений и формулу Дюамеля, найти оригиналы удовлетворяющее условиям - student2.ru для следующих изображений: Ответы
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
Используя первую теорему разложения, найти оригинал удовлетворяющее условиям - student2.ru по его изображению Ответы
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
Используя вторую теорему разложения, найти оригинал удовлетворяющее условиям - student2.ru для следующих изображений Ответы
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
Решить дифференциальные уравнения при указанных начальных условиях: Ответ
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru , удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru , удовлетворяющее условиям - student2.ru , удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru , удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru , удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru , удовлетворяющее условиям - student2.ru , удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru , удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru , удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
Решить систему дифференциальных уравнений Ответы
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru ; удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru , удовлетворяющее условиям - student2.ru , удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
Применив интеграл Дюамеля, решить дифференциальные уравнения
удовлетворяющее условиям - student2.ru , удовлетворяющее условиям - student2.ru ;
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
Проинтегрировать ЛДУ при нулевых начальных условиях: Ответ
удовлетворяющее условиям - student2.ru , удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru

Список литературы

1. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М: Наука,1968.

2. Болгов В.А. и др. Сборник задач по математике. Специальные разделы математического анализа. / Под. ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича – М.: Наука, 1981.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1989. -464 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч.II. – М.: Высшая школа, 1980.

5. Жевержеев В.Ф., Кальницкий Л.А. Сапогов Н.А. Специальный курс высшей математики для втузов. – М.: Высшая школа, 1970.

6. Краснов М.А., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1981.

7. Кожевников Н.И., Краснощекова Т.И., Шишкин Н.Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. – М.: Наука, 1964. -184 с.

8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2. – М.: Наука, 1970.

9. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. – М.: Наука, 1979. -320 с.

Приложение

Таблица оригиналов и изображений

Оригинал удовлетворяющее условиям - student2.ru Изображение удовлетворяющее условиям - student2.ru Примечание
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru

Продолжение прил.

удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru теорема подобия
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru теорема смещения
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru теорема запаздывания
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru дифференцирование оригинала
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru интегрирование оригинала
         

Окончание прил.

удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru дифференцирование изображения
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru интегрирование изображения
удовлетворяющее условиям - student2.ru удовлетворяющее условиям - student2.ru умножение изображений

* Условие дифференцируемости , можно заменить более удобным для пользования условием непрерывности частных производных этих функций по обеим переменным и .

*) Заметим, что если дробь неправильная то стремится к нулю при и, следовательно, не может быть изображением.

Заметимчто если дробь неправильная ( П стремится к нулю при р-*сч-> и, следовательно, не может быть изображением.

Наши рекомендации