Ортогональные проекции точки и система прямоугольных координат
( система координат Декарта)
Проекцией точки называется точка пересечения проекционного луча, проходящего через точку, с плоскостью проекций.
Одна проекция точки не определяет положение точки в пространстве. Для получения обратимого чертежа ортогональное проецирование осуществляется на две (и более) перпендикулярные плоскости проекций (рисунок 13), которые затем совмещаются в одну (метод Монжа).
Рисунок 13 – Изображение ортогонального (прямоугольного)
проецирования на плоскостях проекций
П1 – горизонтальная плоскость проекций;
П2 – фронтальная плоскость проекций;
П3 – профильная плоскость проекций.
Линии пересечения плоскостей называют осями проекций (координатными):ОХ – ось абсцисс; ОУ – ось ординат; ОZ – ось аппликати рассматривают как систему прямоугольных декартовых координат с центром О.
Положение точки в пространстве определяется тремя координатами: А (X, Y, Z), например А(10, 45, 39).
Для получения прямоугольных проекций точки А необходимо из этой точки опустить перпендикуляры на плоскости проекций. Основания перпендикуляров и будут являться проекциями данной точки:А1 – горизонтальная проекция точки; А2 – фронтальная проекция точки; А3 – профильная проекция точки.
Для получения более удобного чертежа необходимо совместить плоскости проекций П1 и П3 вместе с изображением на них данной точки А с плоскостью проекций П2 поворотом их вокруг осей ОХ и ОZ в направлении, указанном стрелкой (рисунок 14).
Рисунок 14 – Совмещение плоскостей проекций П1 и П3
Из чертежа видно, что горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одном перпендикуляре к оси ОХ, а фронтальная и профильная проекции – на одном перпендикуляре к оси ОZ.
Прямая, которая соединяет на чертеже две проекции одной и той же точки, называется линией связи.
Линия связи А2А1 – всегда перпендикулярна оси ОХ; линия связи А2А3 – всегда перпендикулярна оси ОZ.
Расстояния от заданной точки Адо плоскостей проекций определяются ее координатами:АА3 – абсцисса точки А (X); АА2 – ордината точки А (Y); АА1 – аппликата точки А (Z).
Каждая проекция точки определяется двумя координатами: А1 (X, У); А2 (X, Z); А3 (У, Z), а две любые проекции определяются тремя координатами, следовательно, для задания точки достаточно двух проекций.
Если все три координаты точки отличны от нуля, точка находится в пространстве (рисунок 14).
Если одна из координат равна нулю, точка находится в плоскости проекций, например, точка В лежит в плоскости П1, поэтому координатаz = 0.
Если точка лежит на оси, то нулю равны две ее координаты (точка С лежит на оси ОZ). Координатыx и y равны 0.
Если все три координаты равны нулю, точка совпадает с началом ко-ординат.
По двум известным проекциям всегда можно построить третью (рисунок 15).
Например, чтобы построить профильную проекцию А3 точки А по данным горизонтальной А1 и фронтальной А2 проекциям, необходимо:
1) из точки А1 провести прямую, перпендикулярную ОУ, до пересечения с ней в точке Ау1;
2) из точки Ау1 провести прямую под углом 45° к оси проекций ОУ1 до пересечения с осью ОУ3;
3) из полученной точки Ау3 восстановить перпендикуляр к оси ОУ3;
4) из фронтальной проекции А2 провести прямую, перпендикулярную оси ОZ, и продолжить ее до пересечения с построенной ранее прямой из точки Ау3. На пересечении этих прямых находится искомая проекция А3 точки А.
Рисунок 15 – Построение третьей проекции по двум известным
Часто для решения задач бывает достаточно иметь на чертеже только две прямоугольные проекции предмета. В этом случае для получения чертежа берут две взаимно перпендикулярные плоскости проекций – горизонтальную П1 и фронтальную П2. Такой метод был изложен Г. Монжем, поэтому иногда называется методом Монжа.
Пересекаясь между собой, плоскости П1 и П2 делят пространство на четыре части, которые называются четвертями. Их нумеруют в порядке, указанном на рисунок 16.
Рисунок 16 – Изображение четвертей
Ось проекций делит каждую из плоскостей проекций на две полу-плоскости (полы): плоскость проекций П1 – на переднюю и заднюю полы, плоскость П2 – на верхнюю и нижнюю полы.
Фронтальная проекция точки А, находящейся в первой четверти, окажется над осью ОХ, горизонтальная – под осью ОХ. Фронтальная проекция точки, находящейся в третьей четверти, окажется под осью ОХ, а горизонтальная – над осью ОХ, фронтальная и горизонтальная проекции точки, находящейся в четвертой четверти, – под осью ОХ (рисунок 16).
Три плоскости проекций делят пространство на восемь октантов. Нумера-ция октантов дана на рисунке 17.
Рисунок 17 – Нумерация октантов
Совмещая плоскости проекций так же, как было показано ранее, можно получить чертеж точки, расположенной в любом из восьми октантов.
Считают, что наблюдатель, рассматривающий предмет, находится в I-ом октанте.Приняв для отсчета координат точки систему, показанную на рисунке 9, составляют таблицу знаков координат во всех восьми октантах (рисунок 9).
Любая точка пространства А, заданная координатами, будет обозначаться: А (X, У, Z).
Тема 1.2 Проекции отрезка прямой линии, положение прямой
относительно плоскостей проекций, взаимное положение двух прямых, проецирование прямого угла