Основные теоремы теории вероятностей

Если некоторое событие может произойти при n испытаниях и
а – число исходов, которые благоприятствуют наступлению события, а b – не благоприятствуют, то вероятность того, что событие произойдет, может быть определена как р = а/n. Вероятность того, что событие не произойдет, будет: q = b/n.

Следует отметить, что слова «благоприятное» и «неблагоприятное» используются в условном смысле. Подобно этому можно было, бы сказать, что группа а содержит случаи, обладающие определенным признаком, а группа b – не обладающие. Сумма благоприятствующих и неблагоприятствующих случаев равна числу всех случаев, т. е. а+b = n. Разделив все члены этого равенства на n получим:

а/n + b/n = 1 или p +q = 1,

т. е. сумма вероятностей двух несовместных событий равна единице.

Сложение вероятностей

Если в урне с 10 шарами 6 шаров черных, 3 белых и 1 зеленый, вероятности этих событий будут равны, соответственно, 6/10, 3/10 и 1/10.

Какова вероятность вынуть белый или зеленый шар?

Благоприятствует появлению белого шара 3/10 всех исходов, а зеленого шара – 1/10 исходов. Появлению либо белого, либо зеленого шара соответствует p = 3/10 + 1/10 = 4/10 = 0,25, т. е. вероятность суммы двух несовместных (взаимоисключающих случайных) событий равна сумме их вероятностей.

Умножение вероятностей

Два события называются независимыми, когда наступление одного не оказывает влияния на наступление другого. Так, результат одного метания кости не влияет на результат следующего метания.

Вероятность сложного события (т. е. наступления двух событий независимых одно от другого равна произведению вероятностей отдельных событий.

Например, вероятность выпадения очка, а затем двух очков, при двух последовательных бросаниях кубиков, равна р = 1/6×1/6 = 1/36.

Вычисление вероятностей

Часто возникает необходимость одновременно складывать и умножать вероятности. Например, требуется определить вероятность выпадения 5 очков при одновременном бросании 2 кубиков. Искомая сумма вероятностей может получиться как результат одной из следующих 4-х комбинаций исходов:

кубик а 1, 2, 3, 4;

кубик b 4, 3, 2, 1

Вероятность получения одного очка на кубике а равна 1/6 и получения четырех очков на кубике b – также 1/6. Вероятность получения комбинации этих очков равна 1/36. Аналогично и вероятность трех других комбинаций равна 1/36. Но любой из этих четырех результатов, дающий в сумме 5 очков, будет считаться благоприятным исходом. Отсюда вероятность искомого исхода:

р = 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 = 1/9.

Более общая форма вопроса о вероятности события является такой: какова вероятность получения не менее, например, 8 очков при бросании 2 костей? Число очков, равное и более 8, рассматривается как благоприятный исход.

Рассчитаем вероятность каждого благоприятного результата:

Вероятность появления 12 очков	1/36
Вероятность появления 11 очков	2/36
Вероятность появления 10 очков	3/36
Вероятность появления 9 очков	4/36
Вероятность появления 8 очков	5/36
Сумма вероятностей	15/36

Вероятность выпадения по меньшей мере 8 очков при бросании 2 костей равна 15/36 или 5/12.

Вопросы для самоконтроля

1 Что входит в предмет изучения вариационной статистики?

2 Каким образом образуют статистическую совокупность?

3 В чем заключается различие между дедуктивным методом, используемым в теории вероятностей и индуктивным методом, применяемым в вариационной статистике?

4 Каким из методов статистической обработки данных следует пользоваться для получения общих предположений, если известны данные лишь выборочной совокупности?

5 Каким образом возникает «случайное событие» или невозможность «категорического суждения» при проведении эксперимента?

6 Что такое вероятность? По какой формуле вычисляется вероятность?

7 Какие процессы называются вероятностными или стохастическими?

8 Приведите примеры некоторых биологических явлений, осуществление которых может быть оценено известной вероятностью.

9 Можно ли не считаться с возможностью событий, обладающих малой вероятностью?

10 Какое значение имеет р для очень достоверных событий?

11 Какая связь существует между частотой определенного явления и вероятностью?

12 Чему равна сумма р + q?

13 Какая разница между эмпирической и теоретической вероятностью?

14 Что определяет получение «достоверного» или «невозможного» события при проведении эксперимента?

15 Каким закономерностям подчиняется масса случайных однородных событий?

16 Чем определяется приближение частоты события к статистической вероятности события?

17 Объясните разницу между классическим и геометрическим определением вероятности.

18 В каких случаях применяется сложение вероятностей отдельных событий для вычисления вероятности окончательного события, в каких – умножение вероятностей? Привести примеры.

ТЕМА 2 Случайные переменные

2.1 Понятие случайной переменной

2.2 Математическое ожидание и дисперсия

2.3 Моменты