Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций

В последнее время широкое распространение применительно к расчету инженерных конструкций (стержневых, листовых, оболочечных) получил метод конечных элементов МКЭ, базирующийся на рассмотрении конструкции в виде совокупности отдельных конструктивных элементов, соединенных в конечном числе узловых точек. Другими словами, расчетная схема исходной (стержневой) конструкции представляется совокупностью дискретных элементов (стержней). В узловых точках прикладываются некоторые фиктивные усилия взаимодействия, определяющие действие внутренних напряжений.

Каждому узловому перемещению (линейному или угловому) соответствует узловое усилие. Совокупность этих усилий определяет влияние смежных элементов (стержней) конструкции на рассматриваемый элемент.

Упругие свойства отдельных стержней, на которые разбиваются конструкции, определяются их матрицей податливости или матрицей жесткости. Эти матрицы определяют связь между узловыми усилиями и узловыми перемещениями рассматриваемого конечного элемента (стержня).

Матрица податливости рассматривается здесь для стержня постоянного поперечного сечения по длине. На рис. 57, а показан стержень, воспринимающий одно обобщенное усилие Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , которому соответствует одно обобщенное перемещение Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , равное

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , (109)

где δе – матрица коэффициентов податливости е-го стержня, воспринимающего только продольное усилие, δе = le/(EeFe) [1]; [1] – единичная матрица.

Для усилий и перемещений нижние первые значки указывают фиксированные направления силовых воздействий и перемещений, а вторые – номер узла. Так, например, Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru - продольная сила на правом конце j элемента е.

Порядок матрицы податливости отдельного стержня (элемента) определяется числом независимых усилий, приложенных к нему. Так, на рис. 57, б показан е-й стержень, нагруженный по концам изгибающими моментами Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru и Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . Направления моментов и де­формаций соответствуют положительным значениям. При учете только изгибных деформаций будем иметь матрицу податливости второго порядка. Углы поворота концевых сечений балки рав­няются:

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru ; Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru (110)

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru
Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru

       
   
Рисунок 58 – Деформированные состояния е-гостержня (метод перемещений) при осевом растяжении-сжатии (а)и изгибе (6)  
 
Рисунок 57 – Деформированные состояния е-го стержня (метод сил) при растяжении-сжатии (а) и изгибе (б)
 

что соответствует матричной форме

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . (111)

Углы поворота при действии единичных изгибающих моментов в опорных сечениях определяются по формуле Мора:

δ11 = δ22 = le/ (3EeFe); δ12 = δ22 = - le/ (6EeFe). (112)

Подставляя (112) в (111), получим

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru – (113)

матрицу податливости прямолинейного стержня постоянного се­чения при изгибе. Матрицы податливости применяются в методе сил.

Матрица жесткости рассматривается здесь для одного е-гoэлемента (стержня) при осевом растяжении-сжатии (рис. 58, а).

Имеем два обобщенных усилия Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , которым соответствуют перемещения: Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru - линейное перемещение левого конца вдоль оси стержня; Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru - линейное перемещение правого конца вдоль оси стержня:

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru ; Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru ,

или

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru ,

где

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru – (114)

матрица жесткости е-гоэлемента при растяжении-сжатии.

Стержень, изображенный на рис. 58, а - совершенно сво­бодный, т. е. не закреплен в пространстве. Поэтому каждое узло­вое перемещение Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru зависит от неопределенных перемещений стержня как абсолютно твердого тела. Степень свободы стержня

По схеме рис. 58, а равняется единице. При этом матрица же­сткости Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru стержня будет особенной. Ранг матрицы меньше ее порядка на число степеней свободы стержня как твердого тела. Для исключения перемещений стержня как абсолютно твердого тела следует ввести кинематическое закрепление. В данном слу­чае оно вводится в одном из узлов по направлению обобщенной узловой координаты Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . Исключение из матрицы Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru – строки и столбца, соответствующих узловому перемещению, на которое наложена кинематическая связь, дает неособенную матрицу жесткости Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . Полагая Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru = 0 или Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru = 0, получим

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru = Ее Fе [1] /lе, (115)

где [1] – единичная матрица.

Из сопоставления матрицы податливости (ф-ла 106) и матрицы жесткости (112) для стержня, нагруженного продольной силой (рис. 57, а), имеем Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru = Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , т. е. матрица жесткости обратная по отношению к матрице податливости.

Для стержня, нагруженного по концам изгибающими момен­тами и поперечными силами (рис. 58, 6), имеем четыре фиксированных силовых воздействия Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , которым соответствуют четыре перемещения Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . Используя по методу перемещений стандартные решения для балки, защемленной по концам, при единичных перемещениях узлов получим (табл. 2):

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru ;

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru ;

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru ;

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru ,

или в матричном виде

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru ; (116)

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , (117)

где Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru – матрица жесткости матрица жесткости е-го элемента при изгибе; i = ЕеJe /le – линейная жесткость стержня. Выражение (117) является об­щим при любом виде деформированного состояния стержня.

Вводя кинематические закрепления в узлах по направлению узловой координаты Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , исключим перемещение стержня как абсолютно твердого тела. Это приводит к вычеркиванию третьих и четвертых строк и столбцов матрицы Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , в результате чего и

получим неособенную урезанную матрицу

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru = Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . (118)

Эта матрица (рис. 57, б) является обратной по отношению к матрице податливости (113).

При совместном учете деформаций изгиба и растяжения-сжатия стержня матрица жесткости Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru определяется на основе двух матриц (114) и (116). Аналогично строятся матрицы жесткости для стержня при изгибе в двух плоскостях, а также при действии кручения. В общем случае матрица жесткости е-го элемента – всегда квадратная симметричная вида Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , (119)

где i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n, в которой Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru при i ≠ j. Порядок п матрицы жесткости определяется количеством сил в узлах. Размерность членов матрицы (119) равняется единице.

Матрица преобразования координат Т используется для преобразования матриц жесткости Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru стержневых элементов, полученных в собственных или местных системах координат Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , в матрицы жесткости Ке в общей системе координат х, у, z.

Компоненты узловых перемещений Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru е-го элемента и узловых усилий Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru преобразуются с помощью матриц преобразования координат:

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru ; Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . (120)

В любой системе координат соответствующие компоненты сил совершают одну и ту же работу

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , (121)

где ' – знак транспонирования.

Подставляя (120) в (121), получим

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , (122)

т.е. Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . (123)

Используя (123) с учетом (117) и (120), получим

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , (124)

откуда Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , (125)

где Ке – матрица жесткости конечного элемента в общей системе координат х у z. Введем матрицу λ, составленную из косинусов углов между осями Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru и х у z:

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , (126)

в которой значения направляющих косинусов ( Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru и т.п.) определяются через координаты концов е-го стержня в общей системе координат.

На рис. 59 показаны проекции линейного перемещения узла i на оси координат – местных и общих. Матрицы Vi и Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru состоят из трех компонентов:

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru ; Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . (127)

Используя матрицу (126), получим

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . (128)

Для пространственных ферм матрица перемещений узла i е-го стержня в местной системе координат включает только Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , а Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , откуда

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , (129)

где Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . (130)

Для всего е-го стержня пространственной фермы имеем

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru ,

где λ1 определяется по выражению (130). Следовательно, матрица преобразования Т для элемента пространственной фермы имеет вид

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . (131)

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru

       
   
Рисунок 60 – Стержень, работающий на изгиб с растяжением-сжатием в местной (а) и общей (б) системах координат
 
Рисунок 59 – Составляющие перемещения узла I конструкции в 2-х системах координат: местной и общей
 

На рис. 60 показан элемент плоской рамы в общей и местной системах координат. Матрица преобразования Т узловых перемещений и узловых усилий из общей системы координат в местную имеет вид (126), в которой λ1 в соответствии с выражением (131) содержит Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , т.е.

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , (132)

Матрица жесткости е-го элемента в общей системе координат х у z имеет вид

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , (133)

где i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n.

Матрица Ке определяется из выражения (125) и содержит члены, представляющие собой квадратные подматрицы размерности р – р, где р – число компонентов силы в рассматриваемых узлах.

Общая матрица жесткости конструкции формируется из матриц жесткости отдельных стержней. Построение ее осуществляется в общей системе координат х у z.

Рассмотрим общий случай воздействия внешней нагрузки Р в виде системы т сил в т узлах упругого тела. Матрицы нагрузки Р и перемещений V узловых точек по направлению сил имеют вид:

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru ; Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . (134)

Они связаны соотношением, аналогичным (117):

Р = КV, (135)

где К – матрица жесткости тела (конструкции).

Выражение (135) представим следующим образом:

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . (136)

Из него следует выражение для силы Рi, приложенной в i-м узле:

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . (137)

Каждая из внешних сил Рі имеет столько же компонентов, сколько и узловые усилия Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru (124) элементов рассматриваемой конструкции. Члены Кij тоже представляют собой подматрицы, размерность которых определяется числом компонентов силы в соответствующем узле. Компоненты Рі и Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru направлены по координатным осям х, у, z. Каждый из компонентов Рі равен сумме компонентов сил от всех стержней, соединяющихся в данном i-м узле:

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , (138)

где Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , … – силы, приложенные к узлу со стороны элементов 1 и 2 соответственно.

При этом только те стержни, которые содержат узел і, будут давать силы, отличные от нуля, хотя суммирование проводится по всем стержням. Учитывая выражение (117) в узле i

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . (139)

Из сопоставления (137) и (139) имеем, что член матрицы жесткости конструкции Кij представляет собой сумму соответствующих членов матриц жесткости Кij элементов, соединяющихся в узле i, т.е.

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . (140)

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru

Рисунок 61 – Приведение внеузловой сосредоточенной нагрузки к узловой

Матрица нагрузки представляется в виде (131), где каждая из узловых сил Рі в общей системе координат содержит столько же компонентов, сколько узловые силы элементов конструкции в той же системе кооринат. Последовательность записи этих компонентов аналогична последовательности для отдельных стержней. Так, например, для балочного элемента в плоской системе координат (рис. 60, б)

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . (141)

В общем случае (для балочных и рамных конструкций) на элементы действуют не только узловые, но и внеузловые нагрузки. В соответствии с выражениями (135) и (136) рассматривается равновесие узлов. Поэтому матрица Р узловой нагрузки должна содержать не только узловые внешние силы, приложенные непосредственно к узлам, но и эквивалентные им узловые усилия от действия внеузловой нагрузки. Внеузловая нагрузка вызывает появление реакций в виде сил и моментов в узлах.

Примем за положительные направления узловых реакций те же, что и для усилий на рис. 60, а. Рассмотрим в качестве примера стержневой е-й элемент в местных координатах для типичного случая внеузловой нагрузки (рис. 61).

На рис. 61, а показано действие внеузловой сосредоточенной силы Р. Матица узловых реакций при этом (рис. 61, б) равняется

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru , (142)

а матрица эквивалентных узловых усилий от действия силы Р, приведенных к узлам (рис. 61, в), будет

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . (143)

Для случаев приложения внеузловой сосредоточенной нагрузки (рис. 61, а) возможен и другой путь. В точке С приложения силы Р вводится новый узел, а е-й стержень разбивается на два: iC и Cj. Таким образом, сила оказывается приложенной в узле С в соответствии с общей идеей метода. Эквивалентные узловые силы Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru в выражении (143) даны в местных координатах Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru е-го элемента. Вычислим матрицу этих сил в общей системе координат х у с помощью зависимости (123)

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . (144)

Теперь компоненты эквивалентных узловых сил элементов суммируются с соответствующими компонентами внешних сил в общих узлах рассматриваемой конструкции

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . (145)

Суммирование в формуле (145) проводится по всем элементам, сходящимся в i-м узле.

Расчет стержневых конструкций по методу перемещений предусматривает составление в общей системе координат матричного произведения типа (117)

Р = КV, (146)

где К – общая матрица жесткости. Выражение (146) содержит уравнения равновесия (137) всех узлов конструкции. До сих пор система предполагалась совершенно свободной, в связи с чем каждое узловое перемещение Vi зависит от неопределенных значений перемещения конструкции как абсолютно твердого тела. При этом матрица жесткости конструкции К является особенной. Решение системы уравнений (146) возможно после того, как будут учтены граничные условия, т.е. в данном случае перемещения опор.

Введение определенного числа кинематических закреплений в отдельных узлах по направлениям опорных связей, т.е. Vn = 0, приводит к исключению из таблицы К соответствующих п-х строк и столбцов. Матрица К становится неособенной урезанной матрицей К*. Уравнение равновесия (146) принимает вид

Р* = К*V*. (147)

Однако такая операция – довольно трудоемкая и неудобная. Поэтому часто применяют искусственные приемы, которые позволяют сохранять общее число уравнений в системе неизменным. При этом преобразуются некоторые элементы матрицы К. Допустим, что имеется некоторая система т уравнений:

Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . (148)

и, например, Vp = 0. В этом случае Рр = 0, а остальные члены Рі при i ≠ р остаются без изменения. Все члены р-й строки и р-го столбца будут нулевыми, а диагональный член Крр=1. Матрица конструкции К, полученная после подобных преобразований из (148), называется преобразованной матрицей жесткости КП.

После нахождения обратной матрицы КП – 1 определяем на основе уравнения (146) узловые перемещения конструкции в общей системе координат

V = КП – 1 Р. (149)

Далее находим узловые перемещения Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru е-го элемента в местной системе координат с помощью выражения (120) и узловые усилия Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru по формуле (117). Для оценки прочности какого-либо стержневого элемента определяются компоненты напряжений Тема лекции: Понятие о методе конечных элементов. Материалы металлических конструкций - student2.ru . Расчет по МКЭ производится с помощью ЭВМ.

Наши рекомендации