Расчёт скорости заполняющего трубу потока для сверхтекучей жидкости

Выяснив, что жидкость ускоряется вне трубы, а внутри неё скорость потока одинакова, можно переходить к расчётам скорости.

Сначала рассмотрим внезапное заполнение абсолютно пустой трубы. Условно разобьём непрерывный поток на маленькие порции, мысленно нарезав его поперёк движения на тоненькие «ломтики».

В соответствии с уравнением Бернулли, когда первая порция жидкости ринется в трубу, при разгоне жидкости с неизменным гравитационным потенциалом (в горизонтальной трубе) всё давление должно будет перейти в скоростной напор:

ρ · v² / 2 = –ΔP (11)

где ρ — удельная плотность жидкости; v — скорость потока; –ΔP — потери давления, перешедшие в скоростной напор.

При этом со стороны трубы жидкости ничего не препятствует — труба пуста, поэтому первая порция набирает максимальную скорость практически мгновенно. За ней устремляется следующая порция, на которую сзади действует такое же давление, и спереди её также ничто не сдерживает — ведь первая порция уже унеслась вперёд с максимально возможной скоростью! Поэтому и вторая порция на входе в трубу набирает максимально возможную скорость. То же самое происходит и с третьей, и с последующими порциями. Конечно, в реальности они ускоряются более плавно, чем самое начало потока, но всё это ускорение, как мы выяснили чуть выше, происходит перед входом в трубу, внутри же трубы, начиная от самого её входа, заполняющий поток движется с максимально возможной скоростью, определяемой давлением на входе в трубу:

v_М = √(2 · P₀ / ρ) (12)

где v_М — максимальная скорость потока; √ — операция извлечения квадратного корня; ρ — удельная плотность жидкости; P₀ — давление возле входа в трубу. Мы получили вариант известной формулы Торричелли для определения скорости свободно истекающей жидкости.

Теперь предположим, что в трубе возле входа уже было некоторое количество жидкости, которая, к тому же, уже двигалась с некоторой скоростью. Тогда по закону Бернулли со стороны жидкости вне трубы на неё будет действовать сила [4]:

F = (P₀ ± ρ · v² / 2) / (π · R²) (13)

где F — сила от внешнего давления, воздействующая на жидость в трубе; P₀ — внешнее давление возле входа в трубу; ρ — удельная плотность жидкости; v — скорость жидкости в трубе; R — внутренний радиус трубы; ± — определяется направлениями давления и скорости жидкости: если они совпадают, следует вычитать, а если направлены встречно — складывать.

Соответственно, ускорение жидкости будет определяться этой силой и массой жидкости в трубе:

a = F / m = ((P₀ ± ρ · v² / 2) / (π · R²)) / (ρ / (x · π · R²)) = (P₀ / ρ ± v² / 2) / x

(14)

где a — ускорение жидкости в трубе под воздействием внешнего давления; P₀ — внешнее давление (возле входа в трубу); ρ — удельная плотность жидкости; v — скорость жидкости в трубе; R — внутренний радиус трубы; x — текущее заполнение трубы, т.е. расстояние от начала потока до входа в трубу; ± — векторное сложение давления и скоростного напора, определяемое направлениями давления и скорости жидкости: если они совпадают, следует вычитать, а если направлены встречно — складывать.

Проанализируем только что полученную формулу для ускорения.

• Если жидкость движется навстречу внешнему давлению, внешнее давление тормозит её, суммируя своё воздействие со скоростным напором жидкости. Эта ситуация имеет место во время обратного хода жидкости при отбое гидроудара в фазах 5 — 7 (пока обратное движение не остановится).
• Если жидкость в трубе покоится или движется в ту же сторону, куда действует внешнее давление, но скорость её меньше максимальной v_M (12), внешнее давление ускоряет её движение внутрь трубы и тем сильнее, чем медленнее движется жидкость. Эта ситуация соответствует фазе 1 при повторных циклах сильного гидроудара (с отрывом).
• Если жидкость в трубе движется в ту же сторону, куда действует внешнее давление, со скоростью, равной максимальной v_M (12), ускорение отсутствует. Эта ситуация соответствует рассмотренному чуть выше заполнению пустой трубы, когда скорость заполнения неизменна и максимальна.
• Наконец, если жидкость в трубе движется в ту же сторону, куда действует внешнее давление, но её скорость превышает v_M (12), внешнее давление не может ускорить жидкость в трубе, а новая жидкость заполняет трубу как пустую со скоростью v_M. Впрочем, для создания такой ситуации надо приложить особые усилия и проявить немало изобретательности.

В соответствии с формулой (14) скорость потока при заполнении трубы на расстояние x от входа в трубу будет равна

v(x) = _l^x∫ a(x) dx = _l^x∫ ((P₀ / ρ ± v(x)² / 2) / x) dx (15)

где v(x) — скорость жидкости в трубе с учётом заполнения трубы; l — начальное заполнение трубы от её входа; x — текущее заполнение трубы от её входа; a(x) — ускорение жидкости в трубе под воздействием внешнего давления с учётом заполнения трубы; P₀ — внешнее давление (возле входа в трубу); ρ — удельная плотность жидкости.

Итак, при попытке рассчитать скорость аналитическими методами мы сталкиваемся с необходимостью брать интеграл функции от самой себя. Это обусловлено тем, что разгон жидкости в трубе относится к неустановившимся («нестационарным») процессам, развитие которых прямо определяется состоянием их важнейших параметров на предыдущем этапе. Теперь понятно, почему теория гидравлического удара так долго находилась лишь на уровне качественного описания явления, а практические расчёты выполнялись на основании опытных данных и эмпирических формул, подходящих только для узкого диапазона условий. Однако получившаяся ситуация не является препятствием для численных методов решения задач, а с учётом возможностей современных компьютеров использование численных методов не представляет проблемы. К тому же для приближения к реальности необходимо учесть и гидравлическое трение, расчёт которого в аналитической форме, затруднителен.