Двойные и переменные звезды. 13.1 Первая величина есть лучевая скорость центра масс двойной

13.1 Первая величина есть лучевая скорость центра масс двойной.

Вычислим второй интеграл. Если центр масс двойной покоится, то для лучевой скорости нетрудно получить формулу , где v -- орбитальная скорость, i -- угол между лучом зрения и нормалью к орбите, а -- полярный угол в плоскости орбиты, за один оборот пробегающий значения от 0 до , так что . Имеем

где a -- радиус орбиты.

13.2 По периоду изменения блеска Cep оценим ее среднюю абсолютную звездную величину: . На первый взгляд, приведенных в условии задачи данных недостаточно для ее решения -- нужно знать среднюю видимую звездную величину Cep, которая нам неизвестна. Однако неявно эта информация есть: Cep, как показывает ее название, является четвертой по яркости звездой в созвездии Цефея. Но Цефей -- созвездие не из ярких, его звезды значительно, на полторы -- две звездных величины слабее звезд ковша Большой Медведицы. Поэтому в качестве разумной оценки среднего значения блеска Cep можно принять 4 . Теперь по известной формуле

где r -- в парсеках, находим , откуда пк.

Несмотря на столь значительное расстояние, Cep прекрасно видна простым глазом. Это сверхгигант. Cветимость Cep, как и всех цефеид, очень высока. Ведь иначе цефеиды не могли бы служить "маяками Вселенной"!

13.3 Естественно предположить, что частота колебаний блеска цефеиды меняется с годовым периодом за счет эффекта Доплера, обусловленного орбитальным движением Земли. Мы имеем:

где -- максимальная величина проекции вектора орбитальной скорости Земли на прямую Солнце -- цефеида. Отсюда

что совпадает с орбитальной скоростью Земли. Заключаем, что звезда лежит в плоскости эклиптики.

Период максимален, когда направление на звезду противоположно направлению движения Земли. Но, как легко сообразить (сделайте соответствующий чертеж), в конце декабря (зимнее солнцестояние) вектор скорости Земли направлен в точку осеннего равноденствия. Поэтому звезда находится на небе неподалеку от точки весеннего равноденствия, и ее экваториальные координаты , .

13.4 По определению болометрической звездной величины имеем

где и -- значения величины Q в минимуме и в максимуме блеска, соответственно. Изменения радиуса и блеска происходят, грубо говоря, в противофазе, так что в максимуме блеска радиус минимален. Положим поэтому

Подставляя значения

для относительного изменения радиуса цефеиды в ходе пульсаций находим

В действительности изменения блеска и радиуса у цефеид происходят не точно в противофазе -- имеется фазовое запаздывание, которым мы пренебрегли. Однако полученная оценка % близка к реальному изменению радиуса. Как видим, цефеиды совершают малые колебания.

Главная мораль этой задачи: расхожее представление, будто основной причиной колебаний блеска цефеид является изменение их размеров в ходе пульсаций, ошибочно. Главный вклад в колебания блеска дают вариации температуры, а не радиуса!

13.5 Из третьего закона Кеплера находим большую полуось орбиты двойной системы

Здесь P выражено в годах, а массы -- в массах Солнца. Далее, расстояние от пульсара до центра масс системы равно

Зная r и P, можем оценить скорость орбитального движения пульсара: км/с. Из-за эффекта Доплера период пульсаций (обратный частоте) изменяется, причем амплитуда относительного изменения периода равна

На самом деле эффект наблюдается как запаздывание (или опережение) времени прихода импульсов. Оно весьма значительно. Путь в 2r=0.34 а.е. излучение пульсара проходит за с. Это и есть максимальное запаздывание (опережение). Полное число импульсов, которое испускает наш пульсар за такое время, составляет 1700. Это есть недостача (или избыток) числа импульсов при перемещении пульсара от самой дальней от наблюдателя точки орбиты до самой ближней (или наоборот). За полупериод, т.е. за пульсар испускает импульсов. Среднее за полупериод запаздывание (или опережение) составляет, таким образом, . Ясно, что так как период пульсаций меняется синусоидально, то для получения максимальной величины надо это число поделить на среднее от одной полуволны синусоиды

В результате получаем то же число ( ), которое было найдено выше другим путем.

По сути дела, описанное запаздывание времен прихода импульсов у рентгеновских пульсаров -- это тот же эффект, по которому Ремер в 17 веке впервые измерил скорость света. В его распоряжении была эфемерида, рассчитанная по наблюдениям затмений Ио в период, когда Юпитер был в противостоянии, и наблюдения затмений Ио Юпитером, находящимся в соединении с Солнцем. Эти наблюдения показывали, что затмения спутника запаздывают по сравнению с эфемеридой. Ремер правильно объяснил запаздывание конечностью скорости распространения света и получил правильную по порядку величины оценку этой скорости.

13.6 В задаче мы оценили угол, под которым с Cen видна большая полуось орбиты Юпитера, и нашли, что он равен примерно . Оценим теперь видимую звездную величину Юпитера для наблюдателя на Cen. Радиус Юпитера составляет примерно (его нет во "Вселенной в числах", но его легко можно вычислить по имеющимся там данным о массе и средней плотности Юпитера). Видимую звездную величину Юпитера для наблюдателя на Земле можно найти точно так же, как мы нашли звездную величину Европы в задаче . Если считать альбедо Юпитера равным 1, то найдем, что в противостоянии , что мало отличается от истинного значения . Расстояние до Cen -- 1.3 пк, или а.е. При наблюдении с такого расстояния видимая звездная величина Юпитера, если бы он находился в соединении с Солнцем, была бы равна

Число 4.2, появившееся здесь, -- это расстояние до Юпитера в противостоянии (в а.е.). В элонгации (для наблюдателя с Cen) звездная величина Юпитера будет еще примерно на звездную величину больше из-за влияния его фазы. (Для наших целей аккуратно учитывать это обстоятельство нет нужды). Солнце же с Cen имеет звездную величину (проверьте).

Таким образом, с одной стороны, угловое расстояние между Солнцем и Юпитером при наблюдении с Cen достаточно, чтобы его можно было разрешить с помощью телескопа, но, с другой стороны, разность их звездных величин настолько велика, что слабый Юпитер скорее всего не будет виден вблизи гораздо более яркого Солнца (см. задачу про галилеевы спутники Юпитера, точнее, про Европу).

У наших коллег-астрономов с Cen есть, впрочем, и другие пути обнаружить существование Юпитера -- длительные прецизионные измерения малых вариаций лучевой скорости и собственного движения Солнца (см. следующую задачу).

13.7 Для простоты решим задачу в предположении, что вокруг Солнца обращается только одна планета -- Юпитер с массой и орбитальной скоростью 13 км/с (см. задачу ). Отношение скоростей движения двух тел вокруг общего центра масс равно отношению их масс, в нашем случае -- 1:1000. Поэтому скорость движения центра Солнца составляет м/с. Именно такой (или лучше хотя бы раза в два более высокой) должна быть точность определения лучевых скоростей, чтобы астроном-инопланетянин, живущий в плоскости эклиптики, по измерениям лучевых скоростей Солнца мог заподозрить существование Солнечной системы. Для астронома же, изучающего движение Солнца с Cen, амплитуда изменений его лучевой скорости будет меньше 13 м/с, а именно, м/с м/с. Здесь -- эклиптическая широта Cen (оцените ее самостоятельно по координатам Cen или даже просто по звездной карте).

Интересно, что в 1995-1996 гг. у нескольких звезд, подобных Солнцу (70Vir, 47UMa и др.), были обнаружены планеты с массами, близкими к массе Юпитера. Чтобы сделать это выдающееся открытие, потребовалось разработать методику и создать специальную аппаратуру, позволившие измерять лучевые скорости с точностью порядка 10 м/с. Измерения велись в течение нескольких лет. С 1994 г. лучевые скорости стали измерять уже с точностью до м/с. Хороший спринтер пробегает стометровку со скоростью около 10 м/с, а 3 м/с -- это бег трусцой.

К моменту сдачи этого задачника в печать (август 1997 г.) наличие планет с массами от 0.5 до 13 масс Юпитера надежно установлено у 9 звезд.

Когда вы будете это читать, эти данные, несомненно, уже устареют. С состоянием дел на сегодняшний день (когда бы это ни происходило!) вы можете ознакомиться по постоянно обновляемой электронной "Энциклопедии внесолнечных планет", доступной в Интернете по адресу

http://www.obspm.fr/planets

Вернемся к нашей задаче. Искомую точность определения собственного движения для наблюдателя с Cen оценим с помощью известного соотношения

где -- параллакс Cen. Так как , то, подставляя км/с, находим угл. сек./год.

Обнаружение планет около нескольких звезд по измерениям лучевых скоростей, о чем говорилось выше, было подтверждено выявлением по данным, полученным ранее на астрометрическом спутнике HIPPARCOS, периодических изменений их собственных движений.

Межзвездная среда

14.1 Межзвездное поглощение в полосе V связано с избытком цвета известным соотношением

По условию задачи . Далее, истинный показатель цвета у звезды класса A0 равен нулю по определению показателя цвета. Поэтому искомый наблюдаемый показатель цвета равен

14.2 Поглощаемое туманностью излучение центральной звезды -- это излучение в далеком ультрафиолете (лаймановский континуум, ). При столь высокой температуре звезды большая часть ее излучения приходится на лаймановский континуум, и потому поглощается туманностью, ионизуя водород. В видимой же области спектра туманность прозрачна и для излучения центральной звезды, и для излучения просвечивающих сквозь нее далеких объектов.

14.3 Число фотонов, испускаемое за единицу времени с 1 см² черного тела температуры T, равно . Здесь -- постоянная Стефана, а -- это средняя энергия одного чернотельного фотона (см. задачу ). Так как температура звезды по условию задачи очень высока, почти все эти фотоны принадлежат лаймановскому континууму ( ) и, значит, почти каждый из них может ионизовать атом водорода. Поэтому полное число ионизаций за 1 с близко к полному числу фотонов, излучаемых звездой за единицу времени:

Чтобы облегчить вычисления, температура звезды, заданная в условии задачи, несколько завышена по сравнению с теми температурами, которые обычно имеют звезды, возбуждающие свечение газовых туманностей. Звезда класса O5 имеет температуру около 50000 K и испускает ежесекундно лаймановских фотонов. Это неплохо согласуется с нашей оценкой, если учесть, что двукратное различие в температуре дает различие в числе фотонов в 8 раз.

14.4 Ионизовать водород способно лишь излучение с длиной волны , или с частотой с . Если считать, что спектр излучения звезды чернотельный, то искомая доля энергии равна

При K для получения хорошей оценки величины функцию Планка можно брать в приближении Вина:

(Обосновать последнее утверждение, пользуясь решением задачи ).

В первоначальной версии рукописи здесь стояло: "В результате несложных вычислений находим ". Однако один из авторов настоял, что нужно воспользоваться этим случаем, чтобы проиллюстрировать, как грамотно вести оценочные расчеты.

Введем безразмерную частоту . Для водорода . Появившийся здесь коэффициент 160000 -- это энергия ионизации водорода (13.6 эВ) в температурной шкале. Это число очень полезно помнить. Оно часто появляется в самых разных астрофизических задачах. При K, заданных в условии задачи, мы имеем поэтому , так что

Ясно, что при экспонента меняется гораздо быстрее, чем , и поэтому

Это вполне приличная оценка (погрешность ). Ее можно уточнять, интегрируя несколько раз по частям и получая каждый раз все более точные результаты, но нам это вряд ли потребуется. Далее (см. задачу ),

Итак,

Советуем запомнить, что с очень хорошей точностью (на самом деле ) -- это часто помогает делать быстрые оценки. Поэтому , и мы получаем

Учить такой кухне прикидочных расчетов почему-то считается почти что неприличным -- а в результате студенты зря теряют массу времени попусту.

14.5 Основная составляющая газовых туманностей и межзвездной среды -- это водород. В областях HII он практически полностью ионизован (отсюда и их название). Поэтому , где и -- концентрации протонов и электронов, соответственно. Полное число ионизаций во всей области HII за единицу времени равно полному числу ионизующих фотонов, испускаемых возбуждающей звездой и поглощаемых в области HII. Оно, очевидно, не зависит от концентрации частиц в самой области HII. В стационарном состоянии полное число ионизаций должно равняться полному числу рекомбинаций. Рекомбинации происходят при столкновениях протонов и электронов, и потому число их в единице объема пропорционально , или . Поэтому полное число рекомбинаций во всей области HII пропорционально , где -- радиус области HII. С другой стороны, оно равно числу ионизаций -- фиксированному числу, определяемому параметрами возбуждающей звезды (ее радиусом и температурой). Итак, , откуда и следует, что .

14.6 Масса молекулы водорода H₂ примерно равна удвоенной массе протона, т.е. г. Объем облака по порядку величины есть пк см см³. Поэтому масса облака составляет г .

14.7 Проходящее сквозь газ излучение ослабляется в e раз, где -- оптическая толщина слоя газа. В центре линии L она равна , где N -- полное число атомов водорода на луче зрения. Будем считать, что поглощение становится заметным, когда . Соответствующая масса на луче зрения составляет г/см². Ошеломляющий результат, не правда ли? Вывод: спектральный анализ обладает колоссальной чувствительностью. Он позволяет выявлять присутствие совершенно ничтожных количеств вещества.

Галактика

15.1 Расстояние до Cen -- это 4/3 пк, или а.е. Поэтому Земля проходит такой путь за лет. Но это -- характерное расстояние между звездами в окрестности Солнца, а орбитальная скорость Земли 30 км/с -- того же порядка, что и пространственные скорости пекулярных движений звезд. Значит, относительное расположение близких звезд в пространстве, а потому и вид звездного неба как раз и меняется за такое время, т.е. за десятки тысяч лет.

15.2 Параллактический эллипс звезды имеет большую и малую полуоси, отношение которых , где -- эклиптическая широта звезды. Эксцентриситет . Дева -- зодиакальное созвездие, и значит, у Спики ( Vir) близко к нулю. Эксцентриситет почти равен единице, т.е. параллактический эллипс вырождается в отрезок. Далее, поскольку угол наклона эклиптики к экватору , а Полярная находится рядом с северным полюсом мира, ее эклиптическая широта , откуда .

15.3 Тангенциальная скорость звезды , выраженная в км/с, связана с ее собственным движением (угл. сек./год) следующим образом:

где r -- расстояние до звезды в парсеках, т.е. величина, обратная параллаксу (в секундах дуги). Коэффициент пропорциональности 4.74 в этой формуле -- это множитель, переводящий скорости из а.е./год в км/с. Действительно, мы имеем , так что . Для "летящей звезды Барнарда" находим

15.4 Мы имеем 1а.е./год = 4.74 км/с км/с. Поэтому наша звезда проходит за год путь в а.е. С расстояния в 10 пк этот путь будет виден под углом 1". Следовательно, угл. сек./год.

15.5 Известно, что абсолютная звездная величина в полосе V равна нулю для звезд главной последовательности поздних подклассов B, примерно B7 -- B8. Мы не сильно ошибемся, приняв ее равной нулю и для звезд спектрального класса A0V. Так как видимая звездная величина Веги тоже близка к нулю, то в соответствии с определением абсолютной величины можно сделать вывод, что Вега находится на расстоянии около 10пк и, следовательно, ее параллакс порядка .

На самом деле для Веги , и поэтому она находится немного ближе. Однако из формулы

ясно, что ошибка на 0.5 в абсолютной величине дает поправку к , равную лишь 0.1, т.е. множитель 0.8 в самом расстоянии r. И действительно, расстояние до Веги составляет 8.1 пк.

15.6

Сверхновая вспыхнула около 950 лет назад (точнее, порожденное взрывом излучение достигло Земли 950 лет назад), а скорость расширения туманности 1200 км/с. Поэтому характерный линейный размер современного Краба км, или 1 пк. Соответствующий угловой размер составляет рад. Отсюда расстояние кпк (на самом деле -- чуть больше, около 2 кпк).

15.7 Равенство периодов цефеид влечет равенство светимостей. Поэтому разность видимых звездных величин обусловлена только разностью расстояний . Последняя не превосходит диаметра туманности Андромеды, который по порядку величины равен диаметру нашей Галактики: кпк. Разность звездных величин вычислим по формуле задачи :

Здесь мы молчаливо приняли, что галактика M31 видна почти с ребра. Это действительно так (см. задачу ).

Разность в слишком мала, чтобы по ней можно было бы уверенно сказать, которая из цефеид ближе к нам.

15.8 Поскольку пять звезд, о которых идет речь, расположены близко друг к другу на небе, схожи по блеску и цвету и обладают практически одинаковыми собственными движениями и лучевыми скоростями, естественно предположить, что они образуют группу пространственно близких звезд. Фактически они являются членами одного рассеянного скопления и потому находятся примерно на одном и том же расстоянии от нас. Для оценки этого расстояния заметим прежде всего, что звезды ковша белые, их спектральный класс близок к A0. Поэтому их абсолютная величина должна быть близка к нулю (см. задачу ). Видимая же их величина примерно -- звезды ковша яркие. Из формулы

при M=0 и m=2 находим, что , откуда пк.

Мы получили очень хорошую оценку расстояния. И на самом деле расстояние "до ковша" -- 25 пк.

15.9 Источники УН-диапазона либо являются близкими (расстояния до пк), либо находятся на космологических расстояниях (последняя возможность имеется только в том случае, если Галактика прозрачна для УН-излучения). Расстояния до ИН-источников -- сотни парсек или несколько килопарсек (но заметно меньше расстояния до центра Галактики).

В течение тридцати лет астрономы время от времени фиксировали со спутников кратковременные всплески -излучения. Всего было зарегистрировано более 3000 таких событий. Распределение источников -всплесков по небу оказалось более или менее равномерным -- как и у выдуманных нами источников УН-диапазона. Все тридцать лет шла дискуссия о том, являются ли источники -всплесков близкими или, наоборот, очень далекими ("космологическими") объектами. В мае 1997 г. проблема была, наконец, решена, когда один из -всплесков был надежно отождествлен с далеким внегалактическим объектом (параметр красного смещения z = 0.84). Оказалось, что -всплески -- это самые мощные из всех взрывов, которые до сих пор наблюдались во Вселенной (Большой Взрыв -- не в счет, наблюдаются лишь его последствия, а не он сам). Это одно из крупнейших астрономических открытий последнего времени.

15.10 Приравниваем центробежную силу к силе притяжения, что дает

Мы имеем v=250 км/с, r=8 кпк. В результате находим, что . Очевидно, что это нижняя оценка. Действительная масса Галактики, возможно, на порядок больше.

Для многих спиральных галактик зависимость скорости вращения v от расстояния до центра r была тщательно измерена, в частности, по доплеровским смещениям радиолинии нейтрального водорода см. Оказалось, что на больших расстояниях -- там, где видимый в оптике звездный диск уже кончается -- зависимость не выполняется. Кривые, дающие v в функции r, как говорят, плоские: начиная с расстояния в несколько килопарсеков, грубо говоря . Это свидетельствует о том, что в спиральных галактиках на значительных расстояниях от центра, в том числе и там, где звездный диск уже перестает быть виден, находится значительная масса. Природа этой так называемой скрытой массы -- "скрытой" потому, что она не дает практически никакого вклада в излучение -- является по сей день предметом жарких споров.