Если случайная величина распределена по закону Вейбулла, то

ВВЕДЕНИЕ

Надежность – один из основных показателей качества объекта, проявляющийся во времени и отражающий изменения, происходящие в аппарате на протяжении всего периода его эксплуатации.

Для современных машин и аппаратов характерны увеличение степени автоматизации, повышение рабочих параметров – нагрузок, скоростей, температур, борьба за малые габариты и массу, повышение требований к точности функционирования, к эффективности их работы (производительности, мощности, к.п.д.). Установки, насосные агрегаты, технологические линии и другие технические средства представляют собой сложные системы, состоящие из большого количества взаимосвязанных механических, гидравлических, пневматических и электрических деталей, узлов и блоков. Непрерывно усиливаются тенденции к автоматизации установок, растут ограничения в смысле доступа к агрегатам и узлам. Усложнение машин и аппаратов химических производств и усиление требований к ним приводят к необходимости повышения требований к их надежности и долговечности.

Ненадежная машина не может эффективно функционировать, т.к. каждая ее остановка из-за повреждения отдельных элементов или снижения технических характеристик ниже допустимого уровня, как правило, влечет за собой большие материальные убытки, а в отдельных случаях может иметь катастрофические последствия (гибель людей).

Основным показателем качества машин и аппаратов является надежность их работы, т.е. свойство машины или аппарата выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях их применения, технического обслуживания, хранения и транспортирования, сохраняя во времени в установленных пределах значения всех параметров. Надежность – комплексный показатель, который в зависимости от назначения объекта и условий его применения может включать безотказность, долговечность, ремонтопригодность и сохраняемость или их определенные сочетания.

В предлагаемых лабораторных работах кратко изложены необходимые теоретические сведения по соответствующим разделам курса «Основы надежности и долговечности химического оборудования». Выполнение каждой работы рассчитано на 2 часа. Все расчеты и графические построения выполняются с помощью ПЭВМ.

Лабораторная работа №1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ

Цель работы - расчет и анализ изменения доверительного интервала для показателей надежности в зависимости от объема выборки при различных законах распределения случайной величины.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Показатели надежности: - наработка до отказа, - наработка на отказ, - среднее время восстановления, - среднее количество отказов за определенный период работы и другие, как правило, вычисляются на основе ограниченного числа наблюдений и содержат элементы случайности.

Чтобы получить представление о точности их оценок необходимо указывать границы возможной погрешности.

В математической статистике для оценки погрешности используются понятия доверительного интервала и доверительной вероятности.

Доверительным называется интервал, который с вероятностью покрывает оцениваемое значение параметра распределения.

Величина вероятности носит название доверительной вероятности. Доверительная вероятность численно показывает меру достоверности полученной

оценки.

Если в результате опытов получена средняя наработка на отказ и установлено, что разница между математическим ожиданием и не превосходит некоторого значения с вероятностью , т.е.

, (1)

то интервал и будет являться доверительным интервалом для оценки . Границы и называются доверительными границами.

Если известен закон распределения случайной величины, то доверительные границы определяются достаточно просто и точно.

Экспоненциальное распределение

Если случайная величина имеет экспоненциальное распределение или распределение по закону Пуассона, то для определения доверительных границ используются коэффициенты точности, приведенные в табл. 1.

Тогда для или имеем:

,

(2)

.

Формулы (2) применимы, когда наблюдения за работой объекта ведутся в течение

заданного промежутка времени, и число отказов является случайным.

Если же испытания ведутся до получения заданного числа отказов, то время становится случайной величиной и тогда

. (3)

Распределение Вейбулла

Если случайная величина распределена по закону Вейбулла, то

.

Можно представить

, (4)

Тогда

. (5)

Таблица 1

Коэффициенты точности, используемые для определения доверительных границ при экспоненциальном распределении случайной величины

=0,95	=0,9	=0,95	=0,9	=0,95	=0,9
	19,50	9,60	0,21	0,26	0,33	0,43
	5,63	3,77	0,32	0,38	0,42	0,51
	3,66	2,73	0,39	0,45	0,48	0,57
	2,93	2,29	0,44	0,50	0,52	0,60
	2,54	2,05	0.48	0,54	0,55	0,62
	2,29	1,90	0.51	0,57	0,57	0,65
	1,83	1,72	0,55	0,62	0,61	0,68
	1,62	1,46	0,65	0,70	0,68	0,74
	1,51	1,37	0,69	0,74	0,72	0,77
	1,44	1,33	0,72	0,76	0,74	0,79
	1,39	1,29	0,74	0,78	0,76	0,80
	1,32	1,24	0,77	0,81	0,78	0,83
	1,28	1,21	0,79	0,83	0,80	0,84
	1,25	1,19	0,81	0,84	0,82	0,86
	1,19	1,14	0,85	0,88	0,86	0,88
	1,15	1,12	0,87	0,90	0,88	0,90
	1,13	1,10	0,89	0,91	0,89	0,92
	1,11	1,09	0,90	0,92	0,90	0,93
	1,10	1,08	0,91	0,93	0,91	0,93
	1,09	1,07	0,92	0,94	0,92	0,94
	1,08	1,06	0,93	0,94	0,93	0,94

Отсюда следует, что случайная величина имеет экспоненциальное распределение с параметром

. (6)

Если в результате опыта имеем значений случайной величины , то при известном определим

, , …., .

Тогда параметр распределения случайной величины равен

,

и .

Из уравнения (6) находим

, (7)

, (8)

. (9)

Для случайной величины , распределенной по закону Вейбулла, наработка до отказа

, (10)

где – это гамма функция от , т.е.

. (11)

Тогда

. (12)

Подставляя вместо его значение (7), получим

, (13)

, (14)

. (15)

Коэффициенты точности и берутся из табл. 1 в зависимости от и доверительной вероятности .

Нормальное распределение

Если случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием , то при (объем выборки) можно найти доверительные границы для .

, (16)

, (17)

где – дисперсия случайной величины; - коэффициент Стьюдента, который находится по табл. 2 в зависимости от принятой величины доверительной вероятности и числа степеней свободы .