Обчислення параметрів подій. Розглянемо формули обчис­лення параметрів, наведених в таблиці 1.1

Розглянемо параметри подій. Певна подія j не може відбуватися раніше, ніж завершаться всі роботи, які їй передують. Отже, ранній термін t_p(j)можливого звершення (настання) j-ї події визначається терміном макси­мального шляху за формулою:

(1.4)

де L_bj – будь-який шлях, який передує j-й події, тобто шлях від ви­хідної до j-ї події.

Якщо подія j має кілька шляхів, які їй передують (кілька попередніх подій і),то ранній термін t_p(j)звершення події j зручно обчислювати за формулою:

. (1.5)

Формула (1.4) показує, що обчислення параметру t_p доцільно почина­ти з вихідної події, для якої t_p дорівнює нулю, розглядаючи наступні події в порядку збільшення їх номерів.

Затримка зі звершенням і-їподії стосовно свого раннього терміну (строку) не буде впливати на термін звершення завершальної події (отже, і на термін виконання досліджуваного комплексу робіт), поки сума термінів (строку) звершення і-ї події та терміну максимального з усіх шляхів, які ідуть від і-ї події до завершальної, не перевищить терміну критичного шляху. Таким чином, пізній (або граничний) термін (строк) t_n(і) звершення і-ї події обчис­люється за формулою:

(1.6)

де L_із – будь-який шлях L від і-ї події до завершальної.

Якщо подія i має кілька наступних шляхів і пов’язана з кількома нас­тупними подіями j, то пізній строк звершення події i зручно обчислити за формулою:

(1.7)

Резерв часу R(і) i-ї події обчислюється як різниця пізнього та ран­нього термінів звершення і-ї події:

(1.8)

Резерв часу події показує, на який допустимий термін можна затри­мати звершення події, не гальмуючи (не збільшуючи) при цьому термін вико­нання всього комплексу робіт мережі.

Критичні події не мають резервів часу, бо будь-яка затримка із звер­шенням подій, які розташовані на критичному шляху, викличе таку ж затрим­ку у виконанні завершальної події.

Отже, щоб визначити термін критичного шляху, необхідно і достат­ньо обчислити ранній термін звершення завершальної події, його величина і визначає цей термін.

Події з нульовим резервом часу визначають роботи, які складають критичний шлях.

Отже, робота (i, j) належить критичному шляхові, якщо вона задово­льняє наступним трьом умовам:

1) для початкової операції i ранній та пізній терміни її звершення збігаються: t_p(i) = t_п(i);

2) для кінцевої операції j ранній та пізній терміни її звершення збіга­ються: t_p(j) = t_п(j);

3) різниця між пізніми та ранніми термінами звершення подій j та i дорівнює тривалості роботи t_ij / t_p(j) – t_p(i) = t_п(j) – t_п(i) = t_ij.

Остання умова свідчить про те, що для роботи не існує резервів.

Для спрощення розрахунку параметрів мережі кружечки, що позна­чають події, поділяють на чотири частини (рис. 1.7). У верхньому секторі за­писують номер події. У лівому секторі записують ранній термін, а в правому – пізній термін звершення події. В нижньому секторі записують резерв часу події.

t_п(i)

R(i)

t_p(i)

і

Рис. 1.7

При розрахунку параметрів подій ранні терміни обчислюються, по­чинаючи від початкової події мережі і до завершальної. При знаходженні піз­ніх термінів розрахунок здійснюється у зворотному напрямку, тобто, по­чинаючи із завершальної події. Резерви подій розраховуються після того, як обчислені ранні та пізні терміни звершення подій.

Зазначимо, що ранній та пізній терміни завершальної події будуть завжди однакові. Крім того, вони дорівнюють значенню критичного шляху мережі.

1.4.4. Обчислення параметрів робіт. Окрема робота може бути виконана за час згідно з раннім, пізнім або будь-яким проміжним терміном, який відповідає події, що завершує цю роботу. Очевидно, що ранній термін t_pn(i, j) початку роботи (i, j) збігається з раннім терміном здійснення поперед­ньої події i тому:

(1.9)

Таким чином, ранній термін t_pз(i, j)завершення роботи (i, j) обчис­люється за формулою:

. (1.10)

Для того, щоб фактичний термін виконання певної роботи не збіль­шив час виконання комплексу робіт, повинна виконуватися вимога: кожну роботу слід завершувати не пізніше допустимого терміну її завершальної по­дії j. За таких умов пізній термін t_nз(i, j)завершення роботи (i, j)визначаєть­ся формулою:

(1.11)

а пізній термін t_nn(i, j) початку цієї роботи – формулою:

. (1.12)

Таким чином, у межах певної системи ПУМ моменти початку та за­вершення кожної роботи тісно пов’язані з сусідніми подіями співвідношен­нями (1.9) – (1.12).

Розглянемо резерви часу шляхів. Такі резерви мають всі некритичні шляхи. Резерв часу R_t(L)шляху L визначається як різниця термінів критич­ного та даного шляхів за формулою:

. (1.13)

Величина R_t (L)показує, на скільки можуть бути збільшені в сумі терміни всіх робіт, які складають шлях L. Якщо збільшити терміни виконан­ня робіт шляху L в сумі більше ніж на величину R_t(L), критичним шляхом буде L. Отже, будь-яка з робіт шляху L, якщо вона не є складовою критично­го шляху, має певний резерв часу.

Розглянемо чотири різновиди резервів часу робіт.

Повний резерв R_n(i, j) часу роботи (i, j)показує, на скільки можна збільшити термін виконання даної роботи за умови, що термін виконання всього комплексу робіт не зміниться. Повний резерв R_n(i, j)часу роботи (i, j) обчислюється за формулою:

(1.14)

На рис. 1.8 показано схему розрахунків параметрів часу стосовно робіт.

Рис. 1.8

Повний резерв часу роботи дорівнює резерву часу максимального зі шляхів, які містять цю роботу. Цим резервом можна скористатися при вико­нанні роботи за умови, що її початкова подія відбудеться у ранній термін, а її завершальна подія – в пізній термін

Суттєвою властивістю повного резерву часу роботи є те, що цей ре­зерв стосується не лише цієї роботи, а й усіх повних шляхів, які містять її. Якщо використати повний резерв часу лише для цієї однієї роботи, то резер­ви часу решти робіт максимального шляху, який містить її, будуть повністю вичерпані. Резерви часу робіт, які належать іншим, але не максимальним за терміном шляхам, що містять цю роботу, відповідно зменшаться на величину використаного резерву.

Решта резервів часу роботи, які розглянемо далі, є частковими сто­совно його повного резерву.

Частковим резервом першого виду R₁ часу роботи (і, j)є та частина повного резерву часу цієї роботи, на яку можна збільшити термін роботи, не змінивши при цьому пізній термін її початкової події. Цим резервом можна скористатися при виконанні певної роботи за умови, що її початкова та завер­шальна події відбудуться в свої пізні терміни. Величина R₁(i, j)обчислюється за формулою:

(1.15)

або

. (1.16)

Частковим резервом другого виду R₂ часу роботи (i, j)є тачастина повного резерву часу цієї роботи, на яку можна збільшити термін її виконан­ня, не змінивши при цьому ранній термін її початкової події. Такий вид ре­зерву називається ще вільним резервом роботи.

Цим резервом можна користуватися при виконанні певної роботи за умови, що початкова та завершальна події відбудуться в свої ранні терміни. Величина R₂(i, j)обчислюється за формулою:

(1.17)

або

. (1.18)

Резервом часу R₂можна користуватися для запобігання випадковос­тей, які можуть трапитися при виконанні відповідної роботи. За умови плану­вання виконання робіт у ранні терміни їх початку та завершення завжди має­мо можливість при необхідності перейти на пізні терміни початку та завер­шення робіт, тобто величина R₂(i, j) показує, на скільки можна перенести початок або збільшити термін виконання роботи.

Незалежним резервом часу R_н роботи (i, j) є тaчастина повного ре­зерву часу цієї роботи, яка визначається за умови, що попередні роботи завершуються в пізні терміни, а всі наступні розпочинаються в ранні терміни.

Величина R_н обчислюється за формулою:

, (1.19)

або

. (1.20)

Використання незалежного резерву часу не впливає на величини резервів часу інших робіт. Незалежні резерви часу намагаються використати тоді, коли завершення попередньої роботи відбулося в пізній термін, а наступні роботи бажано виконати в ранній термін. Таку можливість маємо, якщо величина незалежного резерву часу R_н(i, j) дорівнює нулю або додатна. За умови, що величина R_н(i, j)від’ємна, немає можливості виконати наступніроботи в ранні терміни, бо попередня робота ще не завершена, тому від’ємні значення R_н(i, j) не мають реального сенсу. Незалежний резерв часу має сенс лише для тих робіт, які не належать максимальним шляхам, що проходять через їх початкові та завершальні події.

Роботи, які складають критичний шлях, та критичні події будь-яких резервів часу не мають. Якщо початкова подія і роботи (і, j)належить кри­тичному шляху, то повний резерв часу є:

. (1.21)

Якщо завершальна подія j роботи (i, j) належить критичному шляху, то повний резерв часу є:

. (1.22)

Якщо початкова подія i та завершальна подія j належать критичному шляху, але сама робота не належить йому, то повний резерв часу визначається так:

. (1.23)

Наведені співвідношення (1.22) – (1.23) доцільно використовувати для контролю правильності розрахунків резервів термінів виконання окремих робіт.