Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

a · a ≥ 0

1. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

a · a = 0 <=> a = 0

1. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

a · a = |a|²

1. Операция скалярного умножения коммуникативна:

a · b = b · a

1. Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b

1. (αa) · b = α(a · b)
2. Операция скалярного умножения дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c

Формулы вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов a = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

Преобразование системы координат.

Преобразование координат — замена системы координат на плоскости, в пространстве или, в самом общем случае, на заданном -мерном многообразии.

Переход к полярной системе координат

Якобиан преобразования

Переход к цилиндрической системе координат

Переход к сферической системе координат

Случайные события, понятие вероятности. Основные теоремы теории вероятностей.

Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.

Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу

Основные теоремы теории вероятностей.

-Теорема сложения вероятностей.

Суммой двух событий А и В называется событие С состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном выполнении события А и В. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Теорема умножения: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности

Р(АВ) = P(A)⋅Р(В/А)

Схема Бернулли, предельные теоремы.

Проводятся опытов, в каждом из которых может произойти определенное событие («успех») с вероятностью (или не произойти — «неудача» — с вероятностью ). Задача — найти вероятность получения ровно успехов в этих опытах.

Решение:

Теоремы