Построение мультипликативной модели

9. Методика построения мультипликативной модели на первом этапе полностью совпадает с методикой построения аддитивной модели.

Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на скользящие средние.

Построение мультипликативной модели - student2.ru

№ квартала, t Потребление электроэнергии, y(t) Скользящая средняя за четыре квартала Построение мультипликативной модели - student2.ru оценки сезонной компоненты Построение мультипликативной модели - student2.ru
   
4,4    
6,25 0,8
6,45 1,39535
7,2 6,625 1,08679
4,8 6,875 0,69818
7,1 0,84507
7,3 1,36986
7,45 1,07383
5,6 7,625 0,73443
6,4 7,875 0,8127
8,125 1,35385
8,325 1,08108
6,6 8,375 0,78806
   
10,8    

10. Корректировка сезонной компоненты.Мультипликативная сезонная компонента должна удовлетворять следующим условиям:

1. Являться периодической функцией с периодом m=4, т.е.

Построение мультипликативной модели - student2.ru - равенство сезонных компонент в 1 квартале;

Построение мультипликативной модели - student2.ru - равенство сезонных компонент во 2 квартале;

Построение мультипликативной модели - student2.ru - равенство сезонных компонент в 3 квартале;

Построение мультипликативной модели - student2.ru - равенство сезонных компонент в 4 квартале.

2. Построение мультипликативной модели - student2.ru .

Для выполнения этих условий найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S.

Расчет значений сезонной компоненты в мультипликативной модели

Показатели Год № квартала, I
I II III IV
  0,8000 1,3953
  1,0868 0,6982 0,8451 1,3699
  1,0738 0,7344 0,8127 1,3538
  1,0811 0,7881
Средняя оценка сезонной компоненты для, Построение мультипликативной модели - student2.ru   1,0806 0,7402 0,8193 1,3730
Скорректированная сезонная компонента, Построение мультипликативной модели - student2.ru   1,10949127 0,76004 0,84119 1,40977272

Для данной модели имеем:

Построение мультипликативной модели - student2.ru .

Определим корректирующий коэффициент:

Построение мультипликативной модели - student2.ru .

Рассчитаем скорректированные значения сезонной, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффициент k:

Построение мультипликативной модели - student2.ru .

Проверим условие равенства единице произведений значений сезонной компоненты:

Построение мультипликативной модели - student2.ru .

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: Построение мультипликативной модели - student2.ru ;
II квартал: Построение мультипликативной модели - student2.ru ;
III квартал: Построение мультипликативной модели - student2.ru ;
IV квартал: Построение мультипликативной модели - student2.ru .

Занесем полученные значения в таблицу для соответствующих кварталов каждого года.

11. Исключим влияние сезонной компоненты, разделив каждый уровень исходного временного ряда на ее значение Y/S. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

№ квартала, t Потребление электроэнергии, y(t) Скользящая средняя за четыре квартала Построение мультипликативной модели - student2.ru оценки сезонной компоненты Построение мультипликативной модели - student2.ru Скорректированная сезоная компонента Построение мультипликативной модели - student2.ru Построение мультипликативной модели - student2.ru
    1,10949 5,40788394
4,4     0,76004 5,78919123
6,25 0,8 0,84119 5,94398597
6,45 1,39535 1,40977 6,38400776
7,2 6,625 1,08679 1,10949 6,48946073
4,8 6,875 0,69818 0,76004 6,31548134
7,1 0,84507 0,84119 7,13278317
7,3 1,36986 1,40977 7,09334196
7,45 1,07383 1,10949 7,21051193
5,6 7,625 0,73443 0,76004 7,36806157
6,4 7,875 0,8127 0,84119 7,60830204
8,125 1,35385 1,40977 7,80267615
8,325 1,08108 1,10949 8,11182592
6,6 8,375 0,78806 0,76004 8,68378685
    0,84119 8,32158036
10,8     1,40977 7,66080931

12. Определим трендовую компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда Построение мультипликативной модели - student2.ru с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

ВЫВОД ИТОГОВ          
             
Регрессионная статистика          
Множественный R 0,948009          
R-квадрат 0,898721          
Нормированный R-квадрат 0,891487          
Стандартная ошибка 0,313552          
Наблюдения          
             
Дисперсионный анализ        
df SS MS F Значимость F  
Регрессия 12,21379 12,21379 124,2317 2,4E-08  
Остаток 1,376405 0,098315      
Итого 13,5902        
             
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 5,4716 0,164428 33,27718 9,96E-15 5,119033 5,82436
Переменная X 1 0,1895 0,017005 11,14593 2,4E-08 0,153062 0,226005
             
             
             

Таким образом, имеем следующий линейный тренд:

Построение мультипликативной модели - student2.ru .

Подставляя в это уравнение значения t=1,…, 16, найдем уровни T для каждого момента времени.

№ квартала, t Потребление электроэнергии, y(t) Скользящая средняя за четыре квартала Построение мультипликативной модели - student2.ru оценки сезонной компоненты Построение мультипликативной модели - student2.ru Скорректированная сезоная компонента Построение мультипликативной модели - student2.ru Построение мультипликативной модели - student2.ru Построение мультипликативной модели - student2.ru
    1,10949 5,4078 5,66123
4,4     0,76004 5,7891 5,85076
6,25 0,8 0,84119 5,9439 6,0403
6,45 1,39535 1,40977 6,3840 6,22983
7,2 6,625 1,08679 1,10949 6,4894 6,41936
4,8 6,875 0,69818 0,76004 6,3154 6,6089
7,1 0,84507 0,84119 7,1327 6,79843
7,3 1,36986 1,40977 7,0933 6,98796
7,45 1,07383 1,10949 7,2105 7,1775
5,6 7,625 0,73443 0,76004 7,3680 7,36703
6,4 7,875 0,8127 0,84119 7,6083 7,55656
8,125 1,35385 1,40977 7,8026 7,7461
8,325 1,08108 1,10949 8,1118 7,93563
6,6 8,375 0,78806 0,76004 8,6837 8,12516
    0,84119 8,3215 8,3147
10,8     1,40977 7,6608 8,50423

13. Найдем значения уровней ряда, полученные по мультипликативной модели. Для этого умножим уровни T на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

№ квартала, t Потребление электроэнергии, y(t) Построение мультипликативной модели - student2.ru T*S
5,90184 6,281
4,4 6,08826 4,447
6,27468 5,081
6,4611 8,783
7,2 6,64752 7,122
4,8 6,83395 5,023
7,02037 5,719
7,20679 9,851
7,39321 7,963
5,6 7,57963 5,599
6,4 7,76605 6,356
7,95248 10,920
8,1389 8,805
6,6 8,32532 6,175
8,51174 6,994
10,8 8,69816 11,989

Графически значения (T×S) представлены на рисунке

Построение мультипликативной модели - student2.ru

14. Вычислим абсолютные ошибки по формуле

Построение мультипликативной модели - student2.ru

и относительные ошибки по формуле

Построение мультипликативной модели - student2.ru

№ квартала, t Потребление электроэнергии, y(t) T*S Построение мультипликативной модели - student2.ru А
6,281 -0,2811 4,68%
4,4 4,447 -0,0468 1,06%
5,081 -0,081 1,62%
8,783 0,21736 2,42%
7,2 7,122 0,07777 1,08%
4,8 5,023 -0,223 4,65%
5,719 0,28125 4,69%
9,851 0,14856 1,49%
7,963 0,03663 0,46%
5,6 5,599 0,00078 0,01%
6,4 6,356 0,04352 0,68%
10,920 0,07976 0,73%
8,805 0,19549 2,17%
6,6 6,175 0,42457 6,43%
6,994 0,00579 0,08%
10,8 11,989 -1,189 11,01%

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации, вычислив среднее значение по столбцу А. Она составит 2,70%.

Таким образом, мультипликативная модель дала более высокое качество прогноза, чем аддитивная.

Наши рекомендации