Тема 6. корреляционная связь и ее статистические изучение

Корреляционная связь – связь, проявляющаяся в массе явлений в средних величинах, в форме тенденции.

В результате анализ сущности изучаемых явлений и причинно- следственных связей устанавливается результативный показатель (у), факторы его изменения (х₁; х_2; х₃…х_п). Связь двух признаков (у и х) называется парной корреляцией. Влияние нескольких факторов на результативный признак называется множественной корреляцией.

По направлению связи могут быть прямые и обратные. При прямых связях с увеличением признака х увеличивается и признак (у), при обратных – с увеличением признака х признак у уменьшается.

Для установления наличия корреляционной связи используются: параллельное сопоставление рядов результативного и факторного признака, графическое изображение фактических данных с помощью поля корреляции построения корреляционной таблицы.

После установления факта наличия связи и ее формы, измеряется степень тесноты связи и проводится оценка ее существенности.

Для определения тесноты парной линейной зависимости служит линейный коэффициент корреляции (r), при любой форме зависимости (линейной, криволинейной) – эмпирическое корреляционное отношение ( ).

Для расчета линейного коэффициента корреляции:

, где

, где ; r от –1 до +1.

Хозяйства	х	у	ху	х2	у2
. . 15, 20, 30
Итого	∑х	∑у	∑ху	∑х2	∑у2

Корреляционное отношение определяется по формулам:

;

где - межгрупповая дисперсия результативного признака, вызванная влиянием признака фактора;

- общая дисперсия результативного признака;

- средняя внутригрупповая дисперсия результативного признака.

- среднее значение результативного признака в соответствующих группах, выделенного по величине признака – фактора.

- общая средняя всей совокупности.

n – число единиц в соответствующей группе.

- внутригрупповая дисперсия.

Коэффициент рангов Спирмена:

, где

d – разность между величинами рангов признака – фактора и результативного признака;

n – число показателей рангов изучаемого ряда.

Он варьирует в процессе от –1 до +1.

Коэффициент ассоциации Д. Юла или коэффициент контингенции К. Пирсона по расчетной таблице (4 поля).

Признаки	А (да)	(нет)	Итого
В (да)	а	в	а + в
(нет)	с	d	c + d
Итого	а +с	в + d	n

a, в, с, d – частоты взаимного сочетания двух альтернативных признаков.

n – общая сумма частот.

Коэффициент ассоциации

Коэффициент контингенции

Коэффициент множественной корреляции (от двух факторных признаков) имеет вид:

если зависимость выражена уравнением , то система нормальных уравнений следующая:

Мерой достоверности уравнения является процентное отношение средней квадратической ошибки уравнения к среднему уровню результативного показателя, так же как и в случае парной корреляции.

Пример решения задачи

Задача 1. (анализ прямолинейной связи при парной корреляции). Имеются данные о квалификации и месячной выработке пяти рабочих:

Для изучения связи между квалификацией рабочих и их выработкой определить линейное уравнение связи и коэффициент корреляции. Дать интерпретацию коэффициентам регрессии и корреляции.

Решение. Расширим предлагаемую таблицу.

Определим параметры уравнения прямой y_x = a +bx. Для этого решим систему уравнений:

Здесь п = 5.

Значит коэффициент регрессии равен 18.

Поскольку в - положительное число, то имеется прямая связь между параметрами x и у.
а=92-4×18
а=20
Линейное уравнение связи имеет вид у_х=20+18х.

Для определения тесноты (силы) связи между изучаемыми признаками определим величину коэффициента корреляции по формуле:

= (2020-20×460/5)/(√10×√3280) ≈ 180/181,11=0,99. Поскольку коэффициент корреляции больше 0,7, то связь в данном ряду сильная.