Статистическое оценивание

Пусть из генеральной совокупности извлекается выборка объема n, причем значение признака х₁ наблюдается m₁ раз, х₂ m₂ раз,..., х_k наблюдается m_k раз, - объем выборки.

Мы можем сопоставить каждому значению x_i относительную частоту m_i/n.

Статистическим распределением выборки называют перечень возможных значений признака x_i и соответствующих ему частот или относительных частот (частостей) m_i (w_i).

Числовые характеристики генеральной совокупности, как правило неизвестные, (средняя, дисперсия и др.) называют параметрами генеральной совокупности(обозначают, например, или , ). Доля единиц, обладающих тем или иным признаком в генеральной совокупности, называется генеральной долей и обозначается р.

По данным выборки рассчитывают числовые характеристики, которые называютстатистиками(обозначают , или , , выборочная доля обозначается w). Статистики, получаемые по различным выборкам, как правило, отличаются друг от друга. Поэтому статистика, полученная из выборки, является только оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности. Оценка параметра - определенная числовая характеристика, полученная из выборки. Когда оценка определяется одним числом, ее называют точечной оценкой.

В качестве точечных оценок параметров генеральной совокупности используются соответствующие выборочные характеристики. Теоретическое обоснование возможности использования этих выборочных оценок для суждений о характеристиках и свойствах генеральной совокупности дают закон больших чисел и центральная предельная теорема Ляпунова.

Выборочная средняя является точечной оценкой генеральной средней, т.е. ≈

Генеральная дисперсия имеет 2 точечные оценки: - выборочная дисперсия; - исправленная выборочная дисперсия[3]. - исчисляется при , а - при . Причем в математической статистике доказывается, что

или (7.1)

При больших объемах выборки и практически совпадают.

Генеральное среднее квадратическое отклонение так же имеет 2 точечные оценки: - выборочное среднее квадратическое отклонение и - исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. используется для оценивания при , а для оценивания , при ;при этом , а .

Ошибки выборки

Поскольку выборочная совокупность представляет собой лишь часть генеральной совокупности, то вполне естественно, что выборочные характеристики не будут точно совпадать с соответствующими генеральными. Ошибка репрезентативности может быть представлена как разность между генеральными и выборочными характеристиками изучаемой совокупности: , либо .

Применительно к выборочному методу из теоремы Чебышева следует, что с вероятностью сколь угодно близкой к единице можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной дисперсии генеральной совокупности разность между выборочной средней и генеральной средней будет сколь угодно мала.

(7.2)

где - средняя по совокупности выбранных единиц,

- средняя по генеральной совокупности,

- среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности.

Запись показывает, что о величине расхождения между параметром и статистикой , можно судить лишь с определенной вероятностью, от которой зависит величина t.

Формула (7.2) устанавливает связь между пределом ошибки , гарантируемым с некоторой вероятностью Р, величиной tи средней ошибкой выборки .

Cогласно центральной предельной теореме Ляпунова выборочные распределения статистик (при n ³ 30) будут иметь нормальное распределение независимо от того, какое распределение имеет генеральная совокупность. Следовательно:

(7.3)

где Ф₀(t) - функция Лапласа.

Значения вероятностей, соответствующие различным t, содержатся в специальных таблицах: при n ³ 30 - в таблице значений Ф₀(t), а при n < 30 в таблице распределения t-Стьюдента. Неизвестное значение при расчете ошибки выборки заменяется

В зависимости от способа отбора средняя ошибка выборки определяется по разному:

Таблица 7.1