Анализ динамики временных рядов
Для выявления специфики развития изучаемых явлений за отдельные периоды времени определяют:
Ø абсолютные приросты уровней ряда;
Ø относительные приросты уровней ряда, т.е. темпы роста;
Ø темпы прироста.
Рассматривая данные показатели, необходимо правильно выбирать базу сравнения, которая зависит от цели исследования. При сравнении каждого уровня ряда с предыдущим получаются цепные показатели; при сравнении каждого уровня с одним и тем же уровнем (базой) получаются базисные показатели.
1. Для выражения абсолютной скорости роста или снижения уровней ряда вычисляют абсолютный прирост. Его величина определяется как разность двух сравниваемых уровней. Так, для цепных приростов, используется формула:
.
2. Интенсивность изменения уровней ряда оценивается отношением текущего уровня к предыдущему или базисному. Этот показатель принято называть темпом роста:
.
3. Для выражения изменения величины абсолютного прироста уровней ряда в относительных величинах используется темп прироста, который рассчитывается как отношение абсолютного прироста к предыдущему или к базисному уровню:
или 
.
Также справедлива формула 
.
Особое внимание уделяют расчетам средних показателей рядов динамики, среди них различают:
Ø средний уровень 
;
Ø средний абсолютный прирост 
;
Ø средний темп роста 
, где m – число периодов, по которым вычисляется среднее.
Ø средний темп прироста 
.
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором связь между текущим и предыдущим уровнями наиболее тесная. Причем,
Ø если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, то исследуемый ряд содержит только тренд и не содержит сезонных колебаний;
Ø если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни 
и 
тесно коррелируют, т.е 
;
Ø если временной ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам исходного уровня будет выше, чем соответствующий коэффициент, подсчитанный по непреобразованным уровням ряда;
Ø если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка 
, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени;
Ø если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать предположение относительно структуры этого ряда: либо ряд содержит только случайную компоненту, либо содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.
Выбор уравнения тренда
При выборе уравнения тренда необходимо руководствоваться принципом простоты. Чем сложнее уравнение линии тренда и чем большее число параметров содержит, тем при равной степени приближения труднее дать надежную оценку этим параметрам.
На практике чаще всего используют следующие основные виды трендов временных рядов:
Ø линейный тренд 
;
Ø гипербола 
;
Ø параболический тренд 
;
Ø экспоненциальный тренд 
или 
;
Ø тренд в форме степенной функции 
;
Ø логарифмический тренд 
;
Ø логистический 
или 
.
Для правильного выбора типа тренда, который наилучшим способом отражает тенденцию фактического ряда уровней, следует руководствоваться слудующим:
Ø Построить график ряда в правильно выбранном масштабе. Причем если уровни ряда различаются в большое количество раз, ось ординат следует разметить в логарифмическом масштабе, т.е как 
.
Ø Линейный тип тренда подходит для отображения тенденции примерно равномерного изменения уровней: равных в среднем величин абсолютного пророста (или абсолютного сокращения) за равные промежутки времени.
Ø Параболический тренд используют, если цепные темпы изменений либо уменьшаются, либо некоторое время возрастают, но при достаточно большом периоде рано или поздно темпы роста обязательно начинают уменьшаться (темпы сокращения уровней начинают возрастать).
Ø Уравнение логарифмического тренда применяют в том случае, когда изучаемый процесс приводит к замедлению роста показателя, но при этом рост не прекращается, а стремится к какому-нибудь ограниченному пределу.
Ø Логистическая форма тренда используется для описания процессов, при которых изучаемый показатель проходит полный цикл развития,
– начиная от нулевого уровня, сначала медленно, но с ускорением возрастая;
– затем ускорение становится нулевым в середине цикла, т.е. рост происходит по линейному тренду;
– далее, в завершающей части цикла рост замедляется по гиперболе по мере приближения к предельному значению показателя.
Если графического анализа недостаточно, то необходимо провести дополнительное исследование:
1) Чтобы снизить искажающее тренд влияние циклических колебаний, проводят сглаживание ряда методом скользящего выравнивания.
2) Исходный (или сглаженный) ряд разбивают на несколько равных или примерно равных подпериодов, и по каждому вычисляют среднюю величину цепных абсолютных приростов . Если она будет постоянной для всех подпериодов, то выбирают линейную форму тренда.
3) Сглаженный ряд разбивают на несколько равных или примерно равных подпериодов, и по каждому вычисляют среднюю величину цепных относительных изменений (темпов прироста) 
. Если она будет постоянной на всех подпериодах, то выбирают экспоненциальную форму тренда.
4) Если по подпериодам постоянным будет среднее ускорение уровней 
, то в качестве тренда следует выбрать параболу.
5) Если ни один из предложенных параметров не имеет постоянной тенденции, то можно с помощью t-критерия Стьюдента проверить гипотезу о существенности различия средних значений параметра в разных подпериодах ряда.
Пример1
Администрация банка изучает динамику депозитов физических лиц за несколько лет (млн.$ в сопоставимых ценах).
| Время, t | |||||||
| Размер депозитов, y |
Задание.
Обосновать и построить тренд данного ряда. Оценить достоверность модели.
На основании приближенно постоянного среднего абсолютного прироста можно выбрать линейную форму для описания основной тенденции данного ряда. Параметры a и b, а также коэффициент детерминации можно найти следующими способами
Ø На построенный график наложить линейный тренд в меню Диаграмма.
Ø Воспользоваться пакетом анализа в меню Сервис/Анализ данных/Регрессия.
Результаты двух способов ниже:
| Регрессионная статистика | |||||
| Множественный R | 0,866025404 | ||||
| R-квадрат | 0,75 | ||||
| Нормированный R-квадрат | 0,7 | ||||
| Стандартная ошибка | 2,342160175 | ||||
| Наблюдения | |||||
| Дисперсионный анализ | |||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | |
| Регрессия | 82,285714 | 82,28571 | 0,011725 | ||
| Остаток | 27,428571 | 5,485714 | |||
| Итого | 109,71429 | ||||
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | |||
| Y-пересечение | 0,714285714 | 1,9794866 | 0,360844 | ||
| t | 1,714285714 | 0,4426267 | 3,872983 |
Таким образом, модель временного ряда имеет вид 
, и она достоверна на 75%.
Пример 2
Изучается динамика потребления мяса в регионе. Для этого собраны данные об объемах среднедушевого потребления мяса (кг) за 7 месяцев. Обосновать и построить тренд данного ряда. Оценить достоверность модели.
| t | |||||||
| y | 8,16 | 8,25 | 8,41 | 8,76 | 9,2 | 9,78 | 10,1 |
Графический анализ:
Анализ цепных абсолютных изменений и темпов изменения уровней ряда:
| t | y | Абсолют ный прирост Δ | Средний абсолютный прирост по подпериодам | Темпы прироста | Средний темп прироста | |
| 8,16 | ||||||
| 8,25 | 0,09 | 0,011029 | ||||
| 8,41 | 0,16 | 0,2 | 0,019394 | 0,024013 | ||
| 8,76 | 0,35 | 0,041617 | ||||
| 9,2 | 0,44 | 0,050228 | ||||
| 9,78 | 0,58 | 0,446667 | 0,063043 | 0,048664 | ||
| 10,1 | 0,32 | 0,03272 |
Выбираем экспоненциальный тренд 
, поскольку обнаружилось большее сходство именно в средних темпах прироста. 
Построенная модель 
достоверна на 95,78%. Поскольку 
, то тренд выражает тенденцию усиливающегося замедления роста уровней.
Задания.
Вариант 1
Имеются следующие данные об активах коммерческого банка в одном из регионов за 2003 год на первое число каждого месяца
Определите
Ø среднемесячные уровни активов коммерческого банка за первый, второй кварталы и за полугодие в целом;
Ø абсолютные приросты;
Ø темпы роста;
Ø темпы прироста;
Ø средний темп роста в процентах.
Рассчитать по исходным данным коэффициенты автокорреляции до 
-го порядка. Сделать выводы по поводу трендовой и сезонной составляющих.
Аргументированнно подобрать линию тренда.
Вариант 2
Остатки вкладов населения в сбербанках города в 2003 году характеризуются следующими данными на 1-е число месяца
Определите
Ø среднемесячные остатки вкладов за первый и второй кварталы;
Ø абсолютные приросты;
Ø темпы роста;
Ø темпы прироста;
Ø средний темп роста в процентах;
Ø абсолютный прирост изменения среднего остатка вклада во втором квартале по сравнению с первым.
Рассчитать по исходным данным коэффициенты автокорреляции до -го порядка. Сделать выводы по поводу трендовой и сезонной составляющих.
Аргументированно подобрать линию тренда.
Вариант 3
Списочная численность работников фирмы в 2003 году составила на 1-е число месяца (чел)
| Январь | Февраль | Март | Апрель | Май | Июнь | Июль | Август | Сентябрь | Октябрь | Ноябрь | Декабрь | Январь 2004 |
Определите:
Ø темпы роста;
Ø темпы прироста;
Ø средний темп роста в процентах;
Ø среднемесячную численность работников фирмы в первом и втором полугодиях;
Ø среднегодовую численность работников фирмы;
Ø абсолютный прирост численности работников во втором полугодии по сравнению с первым.
Рассчитать по исходным данным коэффициенты автокорреляции до -го порядка. Сделать выводы по поводу трендовой и сезонной составляющих.
Аргументированно подобрать линию тренда.
Вариант 4
Имеются следующие данные по объединению о производстве промышленной продукции за 1998-3003 гг в сопоставимых ценах (млн руб):
| 67,7 | 73,2 | 75,7 | 77,9 | 81,9 | 84,4 |
Определите:
Ø темпы роста;
Ø темпы прироста;
Ø средний темп роста в процентах;
Ø средний уровень ряда динамики;
Ø среднегодовой темп прироста.
Рассчитать по исходным данным коэффициенты автокорреляции до -го порядка. Сделать выводы по поводу трендовой и сезонной составляющих.
Аргументированно подобрать линию тренда.
Вариант 5
Имеются следующие данные о производстве молока в России за 1995-2000 гг. (млн т):
| 39,2 | 35,8 | 34,1 | 33,3 | 32,3 | 32,3 |
Определите:
Ø темпы роста;
Ø темпы прироста;
Ø средний темп роста в процентах;
Ø средний уровень ряда динамики;
Ø среднегодовой темп прироста.
Рассчитать по исходным данным коэффициенты автокорреляции до -го порядка. Сделать выводы по поводу трендовой и сезонной составляющих.
Аргументированно подобрать линию тренда.
Вариант 6
Ввод в действие жилых домов предприятиями всех форм собственности в одном из регионов в 1996-2003 гг. характеризуется следующими данными (млн кв. м. общей площади)
Определите:
Ø абсолютные приросты;
Ø темпы роста;
Ø темпы прироста;
Ø средний темп роста в процентах;
Ø среднегодовой абсолютный прирост.
Рассчитать по исходным данным коэффициенты автокорреляции до -го порядка. Сделать выводы по поводу трендовой и сезонной составляющих.
Аргументированно подобрать линию тренда.
Вариант 7
Производство электроэнергии в регионе в 1996-2003 гг. характеризуется следующими данными (млрд кВт/ч)
Определите:
Ø абсолютные приросты;
Ø темпы роста;
Ø темпы прироста;
Ø средний темп роста в процентах;
Ø среднегодовой абсолютный прирост.
Рассчитать по исходным данным коэффициенты автокорреляции до -го порядка. Сделать выводы по поводу трендовой и сезонной составляющих.
Аргументированно подобрать линию тренда.
Вариант 8
Имеются следующие данные о динамике браков и разводов в некотором городе:
| Браки | 74,1 | 75,3 | 69,7 | 61,1 | 49,2 | 45,1 | 39,7 | |
| Разводы | 11,8 | 10,5 | 7,6 | 7,3 | 6,7 | 6,6 | 6,8 |
Определите:
Ø среднегодовые уровни браков и разводов;
Ø цепные абсолютные приросты;
Ø цепные темпы роста;
Ø темпы прироста;
Ø средний: абсолютный прирост, темп роста и прироста в процентах.
Рассчитать по исходным данным коэффициенты автокорреляции до -го порядка. Сделать выводы по поводу трендовой и сезонной составляющих.
Аргументированно подобрать линию тренда.
Вариант 9
Имеются данные об общем объеме розничного товарооборота региона по месяцам 2003 года (млрд руб)
| 22,8 | 24,9 | 29,5 | 30,5 | 35,6 | 36,4 | 42,6 | 45,1 | 47,3 | 53,4 |
Определите:
Ø абсолютные приросты;
Ø темпы роста;
Ø темпы прироста;
Ø средний темп роста в процентах.
Рассчитать по исходным данным коэффициенты автокорреляции до -го порядка. Сделать выводы по поводу трендовой и сезонной составляющих.
Аргументированно подобрать линию тренда.
Вариант 10
Имеются данные об урожайности зерновых в хозяйствах области (ц/га)
| 10,2 | 10,7 | 11,7 | 13,1 | 14,9 | 17,2 | 23,2 |
Определите:
Ø абсолютные приросты;
Ø темпы роста;
Ø темпы прироста;
Ø средний темп роста в процентах.
Рассчитать по исходным данным коэффициенты автокорреляции до -го порядка. Сделать выводы по поводу трендовой и сезонной составляющих.
Аргументированно подобрать линию тренда.