Оценивание, проверка статистических гипотез. Методические указания.

I. Из генеральной совокупности X сделана выборка объема n = 200. Требуется на основании этой выборки сделать аргументированное заключение о законе распределения генеральной совокупности и её основных числовых характеристиках. Для этого необходимо:

а) найти статистический ряд с числом интервалов, равным, например, 12;

б) построить гистограмму;

в) найти статистическую функцию распределения и построить ее график;

г) найти точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

д) найти доверительный интервал для математического ожидания с заданной надёжностью (доверительной вероятностью);

е) на основании критерия согласия (Пирсона) проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности.

II. По данным таблицы - группированной выборки двумерного вектора (X,Y), требуется найти выборочное уравнение прямой – линии линейной регрессии Y на X.

Каждому студенту преподаватель выдает для обработки выборку объема

n = 200 из таблицы нормально распределенных случайных чисел и группированную выборку двумерного вектора в виде таблицы.

Рассмотрим каждый этап выполнения работы.

1. Составление статистического ряда, гистограммы и нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии.

В заданной выборке находим наименьший а и наибольший b элементы. Частное округляем до десятых, и полученное число берем в качестве шага разбиения h. Вводим отрезок ,длина которого 12 h , причем числа и подобраны так, чтобы ; и, кроме того, чтобы и имели не более двух знаков после запятой для простоты дальнейших вычислений.

Отрезок разбиваем точкам , x₁, x₂,…, x₁₂ = , на 12 равных частичных интервалов затем определяем частоты n_i, то есть число элементов выборки, попавших в каждый из частичных интервалов Δ_i и относительные частоты , i= 1, …,12.

Примечание. Если некоторые элементы выборки не попали на отрезок , то их условимся относить к ближайшему крайнему интервалу. Числа, совпадающие с границами частичных интервалов, условимся относить к левому интервалу. В качестве членов статистического ряда берем числа, являющиеся серединами частичных интервалов:

Результаты оформляются в виде таблицы (табл. 1).

Таблица 1

Номера интервалов				…		Примечания
Границы Интервалов				…
				…
				…
				…

Пример. Пусть нам дана следующая выборка

-0,669 0,392 -0,337 0,369 -1.694	0,035 0,106 0,199 -1,990 0,710	-2,077 1,430 -0,160 -1,190 -0,655	1,077 -0,204 0,625 0,666 -0,546	0,525 -0,326 -0,891 -1,614 1,654	-0,154 0,825 -1,464 0,082 0,134	-0,537 1,214 1,353 -0,184 -0,529	-1,036 0,091 0,466 -1,324 -0,915	0,882 -0,032 1,000 0,741 -0,898	-0,402 -1,264 1,511 -0,264 0,799
0,985 -1,063 0,033 0,597 -1.601	0,340 -0,594 -1,527 0,362 -0,570	0,276 -1,526 1,422 -3,760 0,133	0,911 -0,787 0,308 1,159 -0,660	-0,170 0,873 0,845 0,874 1,485	-0 ,551 -0,405 -0,151 -0,794 0, 682	-0,036 1,469 1,642 -0,358 0,104	0,679 -0,318 0,033 0,162 1,215	-0,432 0,922 -0,838 0,064 0,686	0,678 0,522 -0,872 1,594 0,676
-0266 0,901 -1,433 1,327 -0,248	-1,309 1,531 -1,008 0,703 0,788	0,597 -0,889 -0,990 -1,724 0,577	0,989 -1,019 0,090 -0,709 0,122	0,934 0,084 0,940 -1,100 -0,536	1,079 1,531 0,207 -1,346 0,293	-0,999 0,638 -2,243 0,183 -0,126	0,015 1,297 -0,039 -0,163 1,627	-0,094 -0,139 0,276 1,212 0,658	-1,920 -0,157 -0,551 -0,452 1,348
-0,401 0,344 0,441 0,824 1,385	-0,679 0,324 -0,372 0,040 1,320	0,921 0,686 -1,336 -1,734 -0,509	0,476 -1,487 0,062 0,261 -0,381	1,121 -0,136 1,506 0,054 -1,671	-0,864 0,803 -0,315 -0,379 -0,524	-0,656 -0,745 1,207 -0,961 1,298	-0,220 0,932 0,838 -2,716 -1,248	-1,566 -0,833 -0,304 0,823 0,346	-0,144 -0,946 0,128 -0,112 -0,805

Составляем статистический ряд с 12 интервалами. Наименьший элемент выборки a =-3,760, наибольший b=1,654. Частное = = 0,451.

Округляя, получаем h=0,5.

12 h= 12^. 0,5 = 6. Поэтому удобно взять

Составляем табл.2.

Построим гистограмму (рис. 1). Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, составленную из прямоугольников, основания которых - частичные интервалыΔ_i = ; расположенные на оси абсцисс, высоты пропорциональны, а площади равны соответствующим частотам (см. пособие с. 122-126). В нашем примере все эти данные берем из таблицы 2 .

Гистограмма Рис. 1

Далее строим эмпирическую функцию распределения (см. пособие с. 86-89). Она имеет вид где - число элементов выборки, меньших х; здесь х - любое вещественное число. График эмпирической функции распределения представляет собой ступенчатую линию, определенную на всей числовой оси (рис.2). Значения этой функции заключены в промежутке [0,1]. Из таблицы 2 находим

Отсюда график эмпирической функции распределения имеет вид

График эмпирической функции распределения

рис.2

Замечание. Для наглядности, при построении гистограммы и эмпирической функции распределения масштаб по оси абсцисс и оси ординат может быть выбран различным.

Найдем точечные оценки математического ожидания и дисперсии. В качест-ве таких оценок выбирают среднее выборочное значение и выбо-рочную дисперсию , где (см. пособие с.96-99).

Результаты заносим в таблицу вида 3.

Таблица 3

Номер интервала				...		Некоторые результаты
				...
				...
				...
				...

Таблица 3 строится по данным табл.2, затем вычисляются и S ². В нашем примере результаты приведены в табл.4, после ее создания найдены и S ².

2. Построение доверительного интервала.

Интервал называется доверительным интервалом для неизвестного параметра θ, если, с заданной доверительной вероятностью g (надежностью) можно утверждать, что неизвестный параметр находится внутри этого интервала (накрывается интервалом). В данной работе будем искать доверительный интервал для математического ожидания m с заданной доверительной вероят-ностью g = 0,95 (см. пособие с. 108-109).

Ввиду большого объема выборки доверительный интервал имеет вид . Параметр t определяется из равенства

,

где , .

Замечание. Для определения t при использовании функции Лапласа

будем иметь следующее уравнение .

Таблица 4

Номер интер-вала													Неко-торые результаты
	-3,75	-3,25	-2,75	-2,25	-1,75	-1,25	-0,75	-0,25	0,25	0,75	1,25	1,75
	0,005		0,005	0,01	0,055	0,08	0,17	0,17	0,185	0,19	0,09	0,040
	-0,019		-0,014	-0,023	-0,096	-0,1	-0,128	-0,043	0,046	0,143	0,113	0,07	= - 0,052
	0,070		0,038	0,051	0,168	1/8	0,096	0,011	0,012	0,107	0,141	0,123	= 0,942

= 0,052; S ² = = 0,942 - 0,003 = 0,939

Округляя полученные результаты, принимаем = 0,05; S ² = 0,94.

Для рассматриваемого примера будем иметь при g = 0,95, 0,975,

откуда t =1,95, поэтому в нашем примере имеем

,

Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания имеет вид .

3. Проверка статистических гипотез.

Проверим гипотезу о том, что генеральная совокупность, из которой произ-ведена выборка, имеет нормальный закон распределения (такое предположение может быть сделано по виду гистограммы). Применим критерий согласия (Пирсона). Так как математическое ожидание m и дисперсия генеральной совокупности нам неизвестны, то вместо них возьмем ихвыборочные характеристики: выборочное среднее и выборочную дисперсию S².

Проверка гипотезы сводится к следующему алгоритму.

Объединим в один интервал интервалы с малыми частотами так, чтобы в каждом из интервалов было не менее 6-8 элементов выборки. Обозначим полученное число интервалов буквой k ( ). Вычислим статистику

,

где n_i - число элементов выборки в каждом из k интервалов; p_i – теоретичес-кая вероятность попадания случайной величины в i -й интервал, которая опре-деляется по формуле

где вместо m берем , а вместо = S ², т. е. .

Устанавливаем число степеней свободы r, которое для нормального закона вычисляем по формуле r=k- 3. Назначаем уровень значимости = 0,05.

Для заданного уровня значимости р и найденного числа степеней свободы r по таблицам -распределения Пирсонанаходим значение и сравниваем между собой это значение и вычисленное значение статистики . Если окажется, что < ,то гипотеза о нормальном распределении не отвергается, то есть экспериментальные данные не противоречат гипотезе о нормальном распределении генеральной совокупности (см. пособие с. 126-129).

Замечание.При вычислении теоретических вероятностей крайние интервалы и заменяются интервалами и .

Применим критерий к рассматриваемому примеру при уровне значимости p = 0,05. Результаты вычислений помещены в таблице 5. Из этой таблицы имеем = 209,16; = 209,16 - 200 = 9,16. По таблице -распределения находим: = 11,07. Так как полученное нами значение = 9,16 < 11,07, то ги-потеза о нормальном распределении генеральной совокупности не отвергается.

Тема 2