Еще раз о свойствах симметрии тензоров
Def: Если 
, то тензор 
называется симметричным по индексам 
и 
.
Если 
, то тензор называется антисимметричным (или кососимметричным ) по индексам и .
1º Симметрия и антисимметрия тензоров инвариантна относительно преобразования системы координат.
◀ (На примере тензора ранга 2)
- симметричность
- антисимметричность. ▶
В пространстве 
(размерности 3) антисимметричный и симметричный тензоры 2-го ранга имеют вид: 
и 
, т.е. симметричный тензор имеет только шесть независимых переменных, а антисимметричный и вовсе три независимых переменных.
Это дает возможность предложить следующую геометрическую интерпретацию симметричного и антисимметричного тензоров 2-го ранга в пространстве размерности 3:
2º. Каждому антисимметричному тензору 2-го ранга может быть поставлен в соответствие вектор и наоборот, каждый вектор связан с некоторым антисимметричным тензором 2-го ранга.
3º Любому не нулевому симметричному тензору 2-го ранга соответствует некоторая, и притом, единственная поверхность второго порядка определяемая уравнением: 
( 
).
4º Произведение симметрического 
и антисимметрического 
тензоров 2-го ранга с последующим двукратным свертыванием равно 0.
◀ Действительно : 
,
Из симметрии 
: 
,
индексы 
и 
немые, поэтому обозначим , а обозначим : 
Из антисимметрии : 
, Т.е. 
. ▶
5º Любой тензор второго ранга может быть представлен в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров, т.е. 
- тензора 2-го ранга
◀ 
. ▶
Псевдотензоры
В аналитической геометрии при рассмотрении 
направление результирующего вектора устанавливается условно в зависимости от выбора системы координат. В физике такая ситуация встречается при определении направления векторов угловой скорости, момента сил и др. .
В то же время направление таких векторов, как скорость, ускорение, сила определяется физическим смыслом и не зависит от выбора системы координат.
В свете этого:
Для ортогональных преобразований: 
, 
Поэтому все линейные ортогональные преобразования разбиваются на два класса: класс собственных линейных ортогональных преобразований, для которых 
(непрерывные преобразования) и класс несобственных линейных ортогональных преобразований, для которых Δ = –1 (преобразования отражения).
В зависимости от закона преобразования компонент по отношению к этим классам линейных ортогональных преобразований все тензорные величины можно разделить на истинные тензоры (или просто тензоры) и псевдотензоры.
Def: Псевдотензоры – это величины компоненты, которых преобразуются по закону: 
.
Напомним, что для истинного тензора закон преобразования имеет вид:
.
Из законов преобразования тензоров и псевдотензоров легко убедиться, что:
1°. Сумма двух псевдотензоров – псевдотензор.
2°.Произведение двух псевдотензоров – истинный тензор.
3°. Произведение псевдотензора на истинный тензор – псевдотензор.
4°. Свертка псевдотензора дает псевдотензор низшего ранга.
Примеры: 1) Если 
, то 
=
, т.е. V¢ = D×V, где D = ±1.
Таким образом, V согласно определению, есть псевдотензор нулевого ранга, т.е. псевдоскаляр.
2) Символ Кронекера dik представляет собой единичный, симметричный, инвариантный относительно ортогонального преобразования системы координат, истинный тензор 2го ранга.
3) В паространстве Е3 в фиксированной системе координат К с ортами е1, е2, е3 рассмотрим величины eikl = (ei´ek)el.
Ясно, что в правой системе координат: e123 = e231 = e312 = 1; e213 = e132 = e321 = –1. Остальные eikl равны нулю.
Рассмотрим, как преобразуются величины eikl при линейных ортогональных преобразованиях. Перейдем в систему К¢ с ортами е1¢, е2¢, е3¢:
ei¢k¢l¢ = (ei¢´ek¢)el¢ = (рi¢iei´рk¢kek)рl¢lel = рi¢iрk¢kрl¢l(ei´ek)el.
Если k и k¢ – обе правые (или левые), то eikl = (ei´ek)el. Если k и k¢ разной ориентации, то: –eikl = (ei´ek)el . Тогда: ei¢k¢l¢ = рi¢iрk¢kрl¢leikl×D (D = ±1, в зависимости от того рассматривается собственное или несобственное преобразование)
По определению величины eikl образуют псевдотензор 3го ранга. Он называется алгебраическим символом Леви-Чивита и образует единичный абсолютно антисимметричный псевдотензор 3го ранга, инвариантный относительно любого ортогонального преобразования координат.
Легко видеть, что 
4) Непосредственным вычислением можно убедиться, что 
, свертка
по индексам l и c дает: 
, свертка еще по двум индексам k и b дает: eikleakl = 2dia, и наконец полная свертка приводит к: eikleabc = 6.
5) С помощью символа Леви-Чивита легко получить, например, известную формулу для двойного векторного произведения трех векторов:
{A´(B´C)}i = eiklAk(B´C)l =eiklAkelmnBmCn = eiklelmnAkBmCn = (dimdkn - dindkm)AkBmCn =
= dimdknAkBmCn - dindkmAkBmCn = dimAnBmCn - dinAmBmCn = BiAnCn - CiAmBm = Bi(A×C) - Ci(A×B) = {B(A×C) - C(A×B)}i.
§12. Связь тензоров 2го ранга с матрицей линейного