Нормальное распределение
Когда большое количество данных собирают, представляют в табличном виде и отображают в виде гистограммы или огибающей, они часто образуют колоколообразное симметричное распределение, известное как нормальное распределение. Большинство его элементов располагаются вблизи среднего (верхняя точка колокола), и этот колокол резко спадает у самой большой и у самой малой величины. Такая форма кривой представляет особый интерес, поскольку она возникает и тогда, когда результат процесса основан на множестве случайных событий, все из которых происходят независимо. Демонстрационное устройство, показанное на рис. П4, позволяет увидеть, как из случайных событий складывается нормальное распределение. Случайный фактор — упадет ли стальной шарик влево или вправо каждый раз, когда он попадает в развилку, — приводит к симметричному распределению: больше шариков падают прямо посередине, но время от времени один из них достигает одного из крайних отделений. Это удобная визуализация того, что имеется в виду под случайным распределением, близким к нормальному распределению.
Рис. П4. Устройство для демонстрации нормального распределения случайной величины.Устройство держат вверх ногами, пока все стальные шарики не скатятся в резервуар. Затем устройство переворачивают и держат вертикально, пока шарики, пройдя по полю со штырьками, не скатятся в 9 колонок-выемок внизу. Точное количество шариков, попавших в каждую колонку, в разных демонстрациях будет неодинаковым. Однако в среднем высота колонок из шариков будет примерно повторять нормальное распределение, когда самая высокая колонка будет в центре, а высоты остальных колонок будут снижаться в направлении к краям.
Нормальное распределение (рис. П5) — это математическое представление идеализованного распределения, приближенно создаваемого устройством, показанным на рис. П4. Нормальное распределение показывает вероятность того, что элементы в группе с нормальным распределением будут отличаться от среднего на любую заданную величину. В процентах на рис. П5 показана доля площади, лежащей под кривой между указанными величинами шкалы; общая площадь под кривой соответствует группе в целом. Примерно две трети всех случаев (68%) попадают в интервал между плюс и минус одним стандартным отклонением от среднего (±1σ); 95% всех случаев — в интервал ±2σ; и практически все случаи (99,7%) — в ±3σ.
Рис. П5. Нормальное распределение.Кривую нормального распределения можно построить, используя стандартное отклонение и среднее. Площадью под кривой, лежащей левее -3σ и правее +3σ, можно пренебречь.
Более подробный список площадей под частями кривой нормального распределения приведен в табл. П4.
Таблица П4. Площадь участков под кривой нормального распределения как часть общей площади под ней
| Стандартное отклонение | (1) Площадь левого участка от данного значения | (2) Площадь правого участка от данного значения | (3) Площадь участка между данным значением и средней |
| -3,0 σ | 0,001 | 0,999 | 0,499 |
| -2,5 σ | 0,006 | 0,994 | 0,497 |
| -2,0 σ | 0,023 | 0,977 | 0,477 |
| -1,5 σ | 0,067 | 0,933 | 0,433 |
| -1,0 σ | 0,159 | 0,841 | 0,341 |
| -0,5 σ | 0,309 | 0,691 | 0,191 |
| 0,0 σ | 0,500 | 0,500 | 0,000 |
| +0,5 σ | 0,691 | 0,309 | 0,191 |
| +1,0 σ | 0,841 | 0,159 | 0,341 |
| +1,5 σ | 0,933 | 0,067 | 0,433 |
| +2,0 σ | 0,977 | 0,023 | 0,477 |
| +2,5 σ | 0,994 | 0,006 | 0,494 |
| +3,0 σ | 0,999 | 0,001 | 0,499 |
Давайте при помощи табл. П4 проследим, как получаются величины 68% и 95%, показанные на рис. П5. В табл. П4 в третьей колонке находим, что между -1σ и средним лежит 0,341 общей площади и между +1σ и средним тоже 0,341 общей площади. В сумме эти величины дают 0,682, что на рис. П5 показано как 68%. Сходным образом площадь от -2σ до +2σ составит 2 х 0,477 = 0,954, показанные как 95%.
Шкалирование данных
Чтобы интерпретировать показатель, часто нужно знать, высокий он или низкий по отношению к другим показателям. Если человеку, сдающему водительский экзамен, требуется 0,500 сек, чтобы нажать на тормоз после сигнала опасности, как определить, быстро это или медленно? Считать ли, что студент сдал курс по физике, если его показатель на экзамене равен 60? Для ответа на такие вопросы надо вывести шкалу, с которой эти показатели можно сравнивать.
Ранжирование данных.Располагая показатели по рангу от высокого к низкому, мы получаем одну из таких шкал. Отдельный показатель интерпретируется по тому, на каком месте он располагается среди группы показателей. Например, курсанты военной академии Вест Пойнт знают, где они находятся в своем классе — возможно, 35-ми или 125-ми в классе из 400.
Стандартный показатель.Стандартное отклонение — удобная единица шкалирования, поскольку мы можем оценить, насколько далеко от среднего располагаются 1σ или 2σ (табл. П4). Величину произведения, в котором один сомножитель — стандартное отклонение, называют стандартным показателем. Многие шкалы, применяемые в психологических измерениях, основаны на принципе стандартного показателя.
Пример вычисления стандартного показателя.В табл. П1 приведены показатели, полученные 15 студентами на вступительных экзаменах. Не имея дополнительной информации, мы не знаем, являются ли эти показатели репрезентативными для группы всех поступавших. Однако предположим, что средний показатель на этих экзаменах был 75, а стандартное отклонение 10.
Каким же будет стандартный показатель у студента, набравшего на экзаменах 90 баллов? Насколько выше среднего лежит этот показатель, надо выразить в количестве стандартных отклонений:
Стандартный показатель для студента, с оценкой 90 равен:
В качестве второго примера возьмем учащегося с оценкой 53.
Стандартный показатель для оценки 53 равен:
В этом случае показатель учащегося лежит ниже среднего на 2,2 стандартных отклонения. Таким образом, знак стандартного показателя (+ или -) говорит о том, выше или ниже среднего находится данный показатель, а его величина показывает, насколько далеко от среднего он расположен в единицах стандартных отклонений.