Векторы имеют одинаковую длину

Определение: Векторы, направления которых противоположны, называются противоположно направленными.

Определение: Векторы, направления которых противоположны, а длины равны, называются противоположными.

Замечание: Если и противоположные векторы, то пишут или .

Рис. 1. Рис. 2.

и |а| = |b|

и и

Противоположно направленные противоположные векторы

Векторы

1. Действия над векторами на плоскости

2.1. Сложение векторов.

Пусть вектор отображает точкуМ на точкуМ₁;вектор отображает точкуМ₁на точкуМ₂ . Тогда существует вектор, отображающий точку Мна точку М₂.

Определение: Пусть вектор отображает точку М на точку М₁; вектор отображает точку М₁ на точку М₂ . Вектор, отображающий точку М на точку М₂ , называется композицией векторов и .

Определение: Суммой векторов и называется композиция этих векторов.

Рис. 1. Рис. 2.

«Правило треугольника»: Чтобы сложить и по «правилу треугольника», надо от произвольной точки плоскости отложить , от конца отложить . Суммой векторов и будет вектор , начало которого совпадет с началом , конец - с концом . (Рис. 1.)

«Правило параллелограмма»: Чтобы сложить и по «правилу параллелограмма», надо от произвольной точки на плоскости отложить и и на них, как на сторонах, построить параллелограмм. Суммой векторов и будет вектор , изображаемый диагональю параллелограмма, идущей из их общего начала. (Рис. 2.)

При сложении нескольких векторов пользуются правилом многоугольника.

«Правило многоугольника»:

Чтобы сложить несколько векторов по «правилу многоугольника», надо отложить от произвольной точки плоскости первый вектор, от конца первого вектора отложить второй вектор, от конца второго – третий и т.д. Вектором суммы будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего вектора.

Пример:

Дано:

Построить:

Вычитание векторов

Определение: Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора, противоположного вектору .

Правило:Разностью двух векторов является вектор, начало которого совпадает с концом вектора – вычитаемого, а конец – с концом вектора –уменьшаемого, если они отложены от одной точки.

Умножение вектора на число

Определение: Произведением ненулевого вектора на число х, неравное нулю, называется вектор , длина которого равна , а направление совпадает с направлением , если х > 0 , и противоположно ему, если

х < 0.

Замечание: Произведение нулевого вектора на любое число и произведение любого вектора на нуль по определению считается равным нулевому вектору.

; .

Пример: Дано: ; х₁ = - 2; х₂ = 3; х₃ = .

Построить: - 2 ; 3 ; .

Упражнения:

1. По данным векторам и построить следующие векторы:

2. Найти сумму изображенных на рисунке векторов.

3. По данным векторам , и построить следующие векторы:

1. Декартова система координат на плоскости