Тема 5. Оптимизационные модели

В последнее время использованию оптимизационных моделей для решения экономико-управленческих задач уделяется достаточно много внимания. В первую очередь это связано с развитием средств вычислительной техники, которая позволяет произвести вычисления параметров достаточно быстро.

Оптимизационная модель представляет собой модель математического программирования, состоящую из целевой функции и системы ограничений в форме уравнений или неравенств. Достоинством оптимизационных моделей является то, что они направлены на поиск наиболее эффективного (оптимального) управленческого решения при соблюдении установленных ограничений.

Целевая функция описывает цель оптимизации и представляет собой зависимость показателя, по которому ведётся оптимизация, от искомых переменных. На макроуровне критерием оптимальности может являться максимум валового национального дохода, максимум среднедушевого денежного дохода. На микроуровне: максимум прибыли предприятия, минимум затрат и др.

Например, общий вид модели для расчёта оптимального варианта производства продукции на предприятии:

Целевая функция:

Система ограничений:

ограничения по сбыту

ограничения по мощности

ограничения по снабжению

условие неотрицательности

где - цена реализации единицы товара -го вида;

- затраты на изготовление единицы товара -го вида;

- количество товара -го вида, подлежащее изготовлению;

- обязательный минимальный объём производства товара -го вида, обусловленный необходимостью выполнения уже заключённых договоров или необходимостью сохранения своего присутствия с минимальным предложением на рынках, привлекательных в долгосрочном периоде;

- максимально возможный объём реализации товара -го вида;

- норма затрат времени по изготовлению единицы товара -го вида на оборудовании -го вида;

- фонд рабочего времени на оборудовании -го вида;

- норма затрат материала -го вида на изготовление единицы товара -го вида;

- имеющийся фонд -го вида сырья.

Область практического применения оптимизационных моделей ограничена «жёсткой» схемой их построения. Например, на практике фонд рабочего времени , при необходимости можно увеличить за счет выхода на работу в выходные дни. Таким образом, ограничение по мощности изменится, и оптимальное решение уже будет иным.

Пример. Предприятие выпускает продукцию двух видов: А и Б. Исходные данные о выпускаемой продукции представлены в таблице 5.1.

Таблица 5.1

Данные о продукции предприятия

Характеристика	Продукция
А	Б
Маржинальная прибыль, руб./шт.
Штучно-калькуляционное время, мин.
Максимально возможный объём продаж, шт.
Фонд рабочего времени, час.

Определить объёмы выпуска продукции вида А и вида Б, максимизирующие прибыль предприятия.

Решение:

Обозначим искомые объёмы выпуска продукции и .

Тогда целевая функция, направленная на поиск решения, максимизирующего маржинальную прибыль предприятия, будет иметь следующий вид: .

На искомые объемы выпуска продукции накладываются ограничения по максимальным объёмам продаж: ; , а также ограничение по фонду рабочего времени, который составляет мин.: . Таким образом, оптимизационная модель запишется следующим образом:

Данную задачу можно решить графическим и аналитическим методами. Кроме того, в некоторых программных продуктах, например в EXCEL, встроены алгоритмы, позволяющие строить оптимизационные модели в диалоговом режиме.

Решение оптимизационных задач графическим методом рассмотрено в достаточно большом количестве учебных пособий. Графический метод позволяет наглядно определить оптимальные значения искомых параметров, если их количество не более двух.

При аналитическом подходе к решению задачи можно отметить, что объёмы выпускаемой продукции лимитирует фонд рабочего времени. Прибыль на единицу рабочего времени при изготовлении изделий вида А и вида Б составляет: руб./мин., и руб./мин., соответственно. Так как изготовление изделия Б приносит больше прибыли на единицу рабочего времени, то необходимо изготовить 3000 изделий вида Б (трудоёмкость данной работы составляет мин.). А оставшееся рабочее время (117600-60000=57600 мин.) затратить на изготовление изделий вида А: .

Ответ: , .

При решении данной задачи мы исходили из «жёсткого» ограничения по фонду рабочего времени, чего на практике, как правило, не бывает. Работодатель имеет возможность увеличения фонда рабочего времени за счёт работы в две смены и в выходные дни. Поэтому, несмотря на то, что примерам поиска оптимальных объёмов производства при помощи линейных оптимизационных моделей в литературе уделено достаточно много внимания, практика решения подобных задач весьма ограничена.

Гораздо большее применение нашли на практике оптимизационные задачи на определение оптимальной структуры (примеры которых приведены ниже в заданиях) и стохастические (вероятностные) модели.

Пример. Предприятие выпускает продукцию пяти видов. Статистические данные об объёмах реализации продукции приведены в таблице 5.2.

Таблица 5.2

Объёмы реализации продукции, шт.

Вид продукции	Месяц
январь	февраль	март	апрель	май
А
Б
В
Г
Д

Цена продукции и переменные затраты на её изготовление приведены в таблице 5.3. Определить сколько продукции каждого вида следует изготовить в июне месяце, если производственный бюджет предприятия – 300000 рублей.

Таблица 5.3

Цена и затраты на изготовление продукции, руб./шт.

Показатель	Продукция
А	Б	В	Г	Д
Цена
Переменные затраты

Решение:

Используя данные, приведенные в таблице 5.2, определим параметры, описывающие вероятностный характер продаж продукции: среднее арифметическое значение - и среднеквадратическое отклонение - .

Для изделия А среднее арифметическое значение составит:

,

Среднеквадратическое отклонение:

.

Аналогично рассчитаем значения данных параметров по остальным видам продукции. Результаты расчётов сведём в таблицу 5.4.

С вероятностью 99,9% (согласно правилу 3 ) можно говорить о том, что значение объема продаж попадает в интервал: .

Определим для изделия А предельное минимальное значение объёма продаж. Вероятность реализации объёма продукции, находящегося в интервале , составляет - 1 (100%). А также предельное максимальное значение. Вероятность реализации объёма продукции, находящегося в интервале , равна нулю:

;

.

Аналогично рассчитаем предельные значения для остальных видов продукции. Результаты расчётов сведём в таблицу 5.4.

Таблица 5.4

Результаты расчёта статистических характеристик

Показатель	Продукция
А	Б	В	Г	Д
Среднее арифметическое значение, шт.
Среднеквадратическое отклонение, шт.	47,5	30,6	44,5	57,4	7,1
Предельное минимальное значение, шт.
Предельное максимальное значение, шт.

Будем считать, что вероятность реализации продукции описывается равновероятным законом распределения (рис.5.1).

Рис. 5.1. Зависимость вероятности реализации продукции от объёмов

изготовления.

Тогда вероятность реализации продукта можно описать в следующем виде:

Учитывая, что производство продукции минимизируется бюджетом, определим затраты на производство продукции при минимальном и максимальном объёмах производства:

руб.;

руб.

Так как производственный бюджет находится в пределе ( ), значения объёмов производства, максимизирующих прибыль, находятся в интервале . Вероятность реализации объёма продукции в данном интервале описывается зависимостью .

Параметры и определим из условий:

.

Для изделия А имеем:

Аналогично рассчитаем коэффициенты линейной зависимости для остальных видов продукции. Результаты расчётов сведём в табл. 5.5. Маржинальную прибыль от реализации единицы продукции определим по формуле:

,

где и - цена реализации и переменные затраты, соответственно;

- вероятность реализации продукции.

Таблица 5.5

Результаты расчета коэффициентов

Параметр	Продукция
А	Б	В	Г	Д
	2,262	1,6	3,342	4,152	2,386
	0,0035	0,0054	0,0037	0,0029	0,0236

В диапазоне вероятность продаж каждого изделия , следовательно, ожидаемая маржинальная прибыль от реализации объёма соответствующего составит: .

В диапазоне вероятность продаж изделия описывается линейной зависимостью , следовательно, ожидаемая прибыль от реализации одного изделия составит: , а прибыль от реализации изделий: .

Таким образом, целевая функция, максимизирующая маржинальную прибыль от реализации товаров будет иметь следующий вид:

Последовательно преобразуем целевую функцию:

После преобразований оптимизационная модель будет иметь следующий вид:

Для решения полученной оптимизационной модели воспользуемся программным продуктом EXCEL. Для искомых значений объёмов продаж определим адреса ячеек А1…А5 в которых будут находиться их текущие значения. Целевая функция будет считаться в ячейке С1 (рис.5.2). Затраты на производство продукции в ячейке Е1 (рис.5.3).

Рисунок 5.2. Запись целевой функции в программе EXCEL.

Рисунок 5.3. Запись ограничения в программе EXCEL.

Далее выберем в диалоговом меню «сервис» и функцию «поиск решения». Если функция «поиск решения» не установлена, то выберем «надстройки» и установим данную функцию. В диалоговом окне функции «поиск решения» установим целевую ячейку С1 равной максимальному значению, изменяя ячейки А1…А5 (рис.5.4).

Рисунок 5.4. Вызов функции «поиск решения».

В окне меню ограничения выберем функцию «добавить». Сошлемся на ячейку Е1 и установим для её значения соответствующее ограничение (рис.5.5).

Рисунок 5.5. Диалоговое окно опции «добавить ограничение».

Далее нажмём кнопку «ОК» и вернёмся в меню функции «поиск решения» (рис.5.4). Нажмём кнопку «Выполнить». В ячейках А1…А5 появляются значения оптимальных объёмов продаж (рис.5.6).

Рисунок 5.6. Результаты поиска оптимального решения.

Ответ: ; ; ; ; .

Тема 6. Нормативный метод планирования

Нормативный метод используется для определения потребности в ресурсах путём умножения норм на соответствующие объёмные показатели. Норма – это мера (количество) затрат ресурса на изготовление единицы продукции в конкретных производственно-технических условиях.

Нормативный метод самый простой в применении метод планирования. Например, если норма затрат времени на изготовление изделия – 2 часа, а объём производства – 1000 шт., то трудоёмкость изготовления 1000 изделий составит: часов.

Основная сложность при использовании нормативного метода состоит в определении величины нормы. В данном пособии рассматриваются примеры расчёта норм аналитически-расчётным и отчётно-статистическим методами.

Аналитически-расчётный метод основан на разделении выполняемых работ на составные элементы с последующим их анализом и проектированием рациональных вариантов использования ресурсов.

Пример. Из стального прутка длиной 3 метра отрезным резцом с шириной 3 мм нарезаются заготовки длиной 70 мм. Масса одного погонного метра прутка – 2,4 кг. Процент выхода из заготовок готовых деталей составляет - 95%. Определить норму затрат материала на изготовление детали.

Решение.Определим количество заготовок, изготавливаемых из одного прутка длиной 3 м (3000 мм), с учётом ширины распила - 3 мм. Будем считать, что длина прутка, закреплённого в шпинделе станка, составляет 100 мм. Тогда количество заготовок, нарезаемых из прутка, будет равно:

, т.е. 39 заготовок.

Учитывая потери материала по причине брака при изготовлении деталей из заготовок, определим ожидаемое количество годных деталей, получаемых из одного прутка:

дет.

Норма затрат материала составит:

кг/дет.

Данная норма используется в том случае, когда цена на материал установлена в рублях за 1 кг. Если цена на материал установлена в рублях за метр погонный, то соответственно, норма составит:

м.пог/дет.

Более сложной является задача определения нормы, если из одного и того же материала изготавливаются две (и более) детали, входящие в одно изделие.

Пример. При изготовлении ученической парты (рис 6.1) из прутка длиной 3 м нарезаются 4 заготовки вида А, длиной 80 см и 4 заготовки вида Б, длиной 52 см.

Рисунок 6.1. Конструкция ученической парты.

Масса одного метра погонного прутка составляет 1,4 кг. Определите норму затрат прутка на изготовление парты.

Решение.

Для изготовления ученической парты необходимо 4 заготовки вида А и 4 заготовки вида Б. Рассмотрим возможные варианты распила прутка. Первоначально попытаемся нарезать как можно больше заготовок вида А (так как они длиннее заготовок вида Б), а из оставшегося материала заготовки меньшей длины – Б. В последующих вариантах будем уменьшать количество нарезаемых заготовок вида А на одну единицу. Ширину распила примем равной 0,5 см.

Вариант 1. Нарезаем 3 заготовки вида А и из оставшегося материала 1 заготовку вида Б. Отходы материала:

см.

Вариант 2. Нарезаем 2 заготовки вида А и из оставшегося материала 2 заготовки вида Б. Отходы материала:

см.

Вариант 3. Нарезаем 1 заготовку вида А и 4 заготовки вида Б. Отходы материала:

см.

Вариант 4. Из прутка нарезаем только заготовки вида Б, всего 5 заготовок. Отходы материала:

см.

На первый взгляд самым подходящим является вариант №2. Из одного прутка данным способом можно вырезать 2 заготовки вида А и 2 вида Б, т.е., из двух прутков получить комплект заготовок на одно изделие. Следовательно, норма затрат материала – 6 метров погонных на изделие (два прутка), или кг/парту.

Однако проанализируем возможность комбинации различных вариантов распила прутка.

а) Рассмотрим сочетание 1 и 3-го вариантов. Обозначим - долю прутков, разрезаемых 1-м способом, тогда - доля прутков, разрезаемых 3-м способом. Количество заготовок вида А и Б, а также долю определим из выражений:

;

.

, и .

Значит, при сочетании 1 и 3 вариантов из 5-ти прутков - 3 следует разрезать 1-м способом, а 2 прутка 3-м способом. В этом случае мы получаем:

, .

Если из 5-ти прутков нарезается 11 заготовок вида А и 11 заготовок вида Б, то из 20-ти прутков получим 44 заготовки вида А и 44 заготовки вида Б, из которых можно собрать 11 парт.

Следовательно, норма: кг/парту.

б) Рассмотрим сочетание 1 и 4-го вариантов. Обозначим - долю прутков, разрезаемых 1-м способом, - доля прутков, разрезаемых 4-м способом, тогда:

;

.

, и .

Это значит, что из 7 прутков 1-м вариантом разрезаем 5, а 2-м – 2 прутка. Количество заготовок: , .

Если из 7 прутков нарезается 15 заготовок вида А и 15 заготовок вида Б, то из 28 прутков получим 60 заготовок вида А и 60 заготовок вида Б, из которых можно собрать 15 парт.

Следовательно, норма кг/парту.

Анализ возможных вариантов распила прутков показывает, что наиболее целесообразным является сочетание 1 и 3 вариантов, так как в этом случае норма расхода материалов будет наименьшей ( кг/шт).

Таким образом, рассмотренный выше пример решает как задачу выбора варианта распила материала, так и задачу определения величины нормы.

Отчётно-статистический метод определения нормы заключается в том, что нормы затрат производственных ресурсов устанавливаются на основе отчётных или статистических данных за прошедшие периоды.

Пример.Имеются отчётные данные по энергопотреблению цехом, выпускающим продукцию двух наименований (таблица 6.1). Определить нормы затрат электроэнергии на изготовление продукции вида А и Б, а также, затраты на освещение цеха.

Таблица 6.1