Статистические методы оценки погрешности измерений и характеристик приборов

Цель работы: научиться оценивать погрешность измерений и характеристик приборов на ПК в программе Excel.

Задание. 1. Проверить погрешность и оценить класс точности измерений разрывной машины РТ-250М.

2. Провести сравнительный анализ точности измерений двух приборов.

Основные сведения

В сертификации для контроля качества продукции и процессов очень важно, чтобы исследовательские приборы и оборудование давали максимально точные измерения характеристик продукции. Основные метрологические характеристики приборов: погрешность, точность и чувствительность.

Погрешность характеризует разницу между показателем прибора и действительным значением измеряемой величины. Погрешность может быть - абсолютная:

а=А-X ,

где а- абсолютная погрешность в метрологии; А- приближенное значение измеряемой величины; Х - точное (постоянное) значение измеряемой величины.

Погрешность (ошибка) может быть положительной или отрицательной, а знак ее, как правило, остается неизвестным, поэтому:

X = A ± a,

Относительная погрешность (g) определяется отношением абсолютной погрешности (a) к точному значению X измеряемой величины:

g = a/X ,

При оценке предельных абсолютных погрешностей (am) принимают их равными цене деления шкалы прибора (с), то есть αm = c. Следует иметь в виду, что абсолютная ошибка (a) не должна выходить за пределы допустимой абсолютной погрешности (αm), то есть αm = a, в наименее благоприятном случае a = ± am.

Обычно вычисляют допустимую предельную относительную погрешность (gm) по формуле:

gm = αm/A или gm = 100(αm/A) [%] .

Для приборов имеющих шкалу, формулу можно привести к виду

gm = 100(с/A) [%] .

Ошибку измерения прибора (gП), вычисляют по формуле:

gп= 100(αm /AС ) [%], где статистические методы оценки погрешности измерений и характеристик приборов - student2.ru

Amax - максимальное показание прибора (предельное значение шкалы прибора) при измерении величины (например, прочность ткани); Amin - минимальное показание прибора при измерении той же величины.

Точность прибора или измерения можно оценить не только по относительной погрешности, но и по показателю точности прибора.

Показатель точности (Т) величина обратная предельной относительной погрешности gm , выраженной в процентах:

Т = 1/ gm = A/(100·αm).

Максимальный показатель точности Tmопределяется, если A = Amax то есть Tm = Amax/(100·α m ).

Классы и показатели точности приборов приведены в табл. 6.1.

Таблица 6.1. Показатели точности приборов различных классов

Класс точности Показатель точности, не менее Класс точности Показатель точности, не менее
100000 = 1,0·105 100 = 1,0·102
50000 = 0,5·105 50 = 0,5·102
20000 = 0,2·105 20 = 0,2·102
10000 = 1,0·104 10 = 1,0·101
5000 = 0,5·104 5 = 0,5·101
2000 = 0,2·104 2 = 0,2·101
1000 = 1,0·103 1 = 1,0·100
500 = 0,5·103 0,5 = 0,5·100
200 = 0,2·103 0,2 = 0,2·100

Примечание: Чем выше числовое обозначение класса точности прибора, тем он точнее. Буквенные обозначения а, б, в - соответствуют 1,0; 0,5; 0,2 - на которые, для определения точности, умножается величина, полученная после возведения десяти в степень.

Целесообразно давать определение среднего класса точности по среднему показателю точности ТC , рассчитываемому по формуле:

TC = AC/100·αm =(Amax + Amin)/200·αm .

Для многих приборов шкала измерения которых начинается с нуля, Amin= 0, Amax= ТM·100·αm, можно записать:

TC = Amax/200·αm = ТM·100·αm /200·αm= 0,5·TM .

Для обозначения классов точности приборов применяют также числовое значение предельной относительной погрешности, выраженной в процентах. Такое обозначение называют классом погрешности приборов.

Установлена зависимость между классом точности и классом погрешности приборов:

Класс точности
Класс погрешности 0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1,0;1,5 2,5;4,0

Чувствительность прибора Sa определяется отношением линейного или углового перемещения (∆n) указателя к изменению (∆A) измеряемой величины, вызвавшему это перемещение Sa= ∆n / ∆A .

Если ∆n выражено числом делений шкалы, а ∆A в единицах измерения шкалы прибора, то величина (с), обратная чувствительности, равняется цене одного деления шкалы:

c = 1/Sa= ∆A /∆n.

При уменьшении величины ∆A наступает такой момент, когда очень малая величина ∆A не вызывает никакого перемещения указателя, то есть ∆n = 0. Это обычно является результатом трения и наличия зазоров в деталях прибора.

Наибольшая величина Р изменения измеряемой величины, при которой ∆n = 0, называется порогом чувствительности. При ∆A ≤Р, ∆n = 0, а при ∆A >Р , ∆n > 0.

Для средств измерений с линейной градуировочной характеристикой, абсолютная чувствительность не зависит от значения измеряемой величины.

Качество измерений (по А.В. Леонтовичу) принято оценивать величиной предельной относительной погрешности gm (таблица 6.2.).

Таблица 6.2.

Характеристика качества измерений Предельная относительная погрешность, gm , %
Очень хорошее Менее 1
Среднее от 1 до 5
Низкое более 5

Пример 6.1.Разрывная машина РТ-250М имеет три шкалы измерения усилия. Необходимо оценить точность измерений каждой шкалы и погрешность оценки прочности ткани. Шкала А с диапазоном измерения от 0 до 50 кгс (даН) и ценой деления 0,1 кгс; шкала Б имеет диапазон измерения от 0 до 100 кгс (даН) с ценой деления 0,2 кгс; шкала В диапазон измерений от 0 до 250 кгс (даН) с ценой деления 0,5 кгс.

Общая погрешность (w), возникающая при измерении разрывного усилия проб ткани, определяется совместным учетом относительной ошибки выборки МО и измерений прибора gП и рассчитывается по формуле:

статистические методы оценки погрешности измерений и характеристик приборов - student2.ru .

Зная примерное значение АС, можно определить при каких значениях А измерения будут очень хорошими, средними и низким.

При испытаниях на разрывной машине РТ-250М по шкале А значение АС = 25 кгс (даН), для шкалы Б значение АС = 50 кгс (даН), а для шкалы В значение АС = 125 кгс (даН). Определим нормированное (допустимое) значение ошибки прибора.

При использовании пояса А получим: g = 100(αm /AС )= =100(0,1/25)=0,4

При использовании пояса Б получим: g = 100(0,2/50)=0,4

При использовании пояса В получим: g = 100(0,5/125)=0,4

Учитывая, что значение g <1, то качество измерений хорошее.

Проведем статистическую обработку результатов испытания ткани на разрывной машине РТ-250М. Результаты испытаний представлены в табл. 6.3.

Таблица 6.3. Результаты испытания ткани на разрывной машине

  основа уток
Шкала А 45,5 45,8 45,4 45,2 45,3 46,7 45,4
Шкала Б 45,7 47,3 46,5 47,8 47,1 48,9
Шкала В 46,6 48,4 48,2 45,8 46,3 47,5 48,1

1. Среднее арифметическое значение

статистические методы оценки погрешности измерений и характеристик приборов - student2.ru

где n - число испытаний.

2.Среднее квадратичное отклонение (смещенное) (SS)

статистические методы оценки погрешности измерений и характеристик приборов - student2.ru ,

Где х1 = А1  Аср; х2 = А2  Аср; и так далее.

3. Среднее квадратичное отклонение (несмещенное) (МS) SН = S · МК , где МК  коэффициент, зависящий от числа измерений п и его значения приведены в таблице

п 2 3 4 5 6 10

МК 1,128 1,085 1,064 1,051 1,042 1,025

4. Ошибка среднего арифметического статистические методы оценки погрешности измерений и характеристик приборов - student2.ru ,

где значение t, коэффициент Стьюдента, зависит от числа степеней свободы (df) f= п-1, где п - числаиспытаний, и при доверительной вероятности 0,95 составляют:

n t n t n t
12,7 3,18 2,57
4,30 2,78 2,26

5. Относительная ошибка опыта статистические методы оценки погрешности измерений и характеристик приборов - student2.ru . (Дисперсия)

6. Коэффициент вариации статистические методы оценки погрешности измерений и характеристик приборов - student2.ru .

Есть два пути решения задачи. 1-ый путь – решение с применением статистических команд в программе Excel.

2-ой путь – применение пакета Анализа данных /инструмент однофакторный дисперсионный анализ, который используется для проверки гипотезы о сходстве средних значений двух и более выборок данных, принадлежащих одной и той же генеральной совокупности.

Алгоритм действий в программе Excel

Открыть лист Excel. Занести данные по основе в ячейки В1:D3 и данные по утку в ячейки B7:E9. В ячейки А1:А3 и А7:А9 записать номер шкалы, на которой испытывали пробу. Вкладка Данные / Анализ / Анализ данных / Однофакторный дисперсионный анализ / ОК.

Сначала работаем с данными по основе, а затем с данными по утку. В диалоговом окне указать:

Входной интервал: $A$1:$D$3(для данных по основе) $A$6:$Е$8(по утку)

Группирование: по строкам

Поставить флажок в поле Метки в первом столбце.

Альфа: 0,01

Выходной интервал: $А$11(для основы)и $J$11(для утка).

ОК.

Excel представит результаты в виде двух таблиц 6.4 и 6.5.

Таблица 6.4. Статистические характеристики испытания ткани по основе

Шкала А 45,5 45,8 45,4  
Шкала Б 45,7 47,3  
Шкала В 46,6 48,4 48,2  
Однофакторный дисперсионный анализ  
ИТОГИ            
Группы Счет Сумма Среднее Дисперсия    
Шкала А 136,7 45,56667 0,043333    
Шкала Б 47,33333 2,723333    
Шкала В 143,2 47,73333 0,973333    
Дисперсионный анализ        
Источник вариации SS df MS F P-значение F –крити-ческое
Между группами 7,97555 3,98777 3,198752 0,1133 10,92476
Внутри групп 7,48 1,24666      
Итого 15,4555        
               

Таблица 6.5. Статистические характеристики испытания

ткани по утку

Шкала А 45,2 45,3 46,7 45,4  
Шкала Б 46,5 47,8 47,1 48,9  
Шкала В 45,8 46,3 47,5 48,1  
Однофакторный дисперсионный анализ    
ИТОГИ            
Группы Счет Сумма Среднее Дисперсия    
Шкала А 182,6 45,65 0,496667    
Шкала Б 190,3 47,575 1,0625    
Шкала В 187,7 46,925 1,1225    
Дисперсионный анализ        
Источник вариации SS df MS F P-зна-чение F- крити-ческое
Между группами 7,67166 3,83583 4,291175 0,04911 8,021517
Внутри групп 8,045 0,89388      
Итого 15,7166        
               

Из полученных данных видно, что дисперсия данных и по основе и по утку не превышает 3%, что свидетельствует о равномерности ткани по прочности.

Незначительные отклонения в показаниях могут быть также обусловлены неудачами экспериментирования (не одинаковые размеры проб, не ровно заправлена проба в зажимы разрывной машины, неточности прибора и др.).

Незначительное различие в показаниях среднего квадратичного смещенного и несмещенного свидетельствует об одинаковой точности измерения на разных шкалах разрывной машины.

Учитывая, что расчетное значение критерия Фишера (F) меньше F- критического, то можно утверждать, что данные достоверны и значимы.

В табличной форме (табл. 6.6) представим характеристики прибора.

Таблица 6.6. Данные оценки характеристик прибора

Обоз-на- чение   Показатели Пояса шкалы РТ-250М и виды пробных поясов
А Б В
основа уток основа уток основа уток
  Пояс шкалы прибора 0-50 0-100 0-250
с Цена одного деления шкалы, кгс 0,1 0,1 0,2 0,2 0,5 0,5
ТМ Максимальный показатель точности прибора
ТС Средний класс точности 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5
gm Относительная предельная погрешность, % 0,21 0,21 0,42 0,42 1,0 1,0
  Качество измерения в соответствии с табл. 6.2 Очень хорошее   Очень хорошее   Очень хорошее  
Amin Минимальное показание прибора, кгс
Amax Максимальное показание прибора, кгс
Ac Среднее значение показаний прибора, кгс
gП Ошибка измерения прибора, % 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4
Sa Чувствительность прибора
Т Показатель точности 4,8 4,8 2,38 2,38
w Общая погрешность измерения, % 0,40 0,64 2,749 1,13 1,05 1,18

Выводы и заключение

статистические методы оценки погрешности измерений и характеристик приборов - student2.ru статистические методы оценки погрешности измерений и характеристик приборов - student2.ru Таким образом, не смотря на то, что разрывная машина по нормативам обладает высоким классом точности 5. Точность измерения прочности тканей при переходе от шкалы А Б В - снижается. Это может быть обусловлено нарушением одного из метрологических требований – нельзя использовать результаты, полученные в диапазоне шкалы ниже 20 и выше 80%.

Задание для самостоятельной работы 6.1.

Прибор разрывная машина РМ-3 имеет на измерительном диске показания усилия - три шкалы. Необходимо оценить точность измерений каждой шкалы и погрешность оценки прочности ниток. Шкала А с диапазоном измерения от 0 до 500 гс (сН) и ценой деления 5 гс; шкала Б имеет диапазон измерения от 0 до 1000 гс (сН) с ценой деления 10 гс; шкала В диапазон измерений от 0 до 3000 гс (сН) с ценой деления 20 гс (сН).

Таблица 6.7. Результаты испытания ниток на разрывной машине

Шкала А
Шкала Б
Шкала В

Сделать вывод о достоверности оценки показателей свойств испытываемых материалов и о точности прибора.

Перенести данные в документ Word, оформите результаты как лабораторную работу №6, задание 6.1.

Задание для самостоятельной работы 6.2.

Прибор разрывная машинаInstron-3345имеет несколько диапазонов измерения. Кожевенные и композиционные текстильные материалы можно испытывать в трех диапазонах, каждая из которых имеет свою шкалу. Необходимо оценить точность измерений каждой шкалы и погрешность оценки прочности кожи. Шкала 1 с диапазоном измерения от 0 до 100 кгс (даН) и ценой деления 0,1 кгс; шкала 2 имеет диапазон измерения от 0 до 200 кгс (даН) с ценой деления 0,2 кгс; шкала 3 диапазон измерений от 0 до 500 кгс (даН) с ценой деления 0,5 кгс.

Таблица 6.8. Результаты испытания кожи на разрывной машине

  Вдоль линии хребта Поперек линии хребта
Шкала 1 88,9 87,6 85,5 80,3 81,2 82,5
Шкала 2 87,4 88,1 86,9 81,2 81,7 83,0
Шкала 3 88,9 89,5 90,2 82,3 83,6 84,1

Сделать вывод о достоверности оценки показателей свойств испытываемых материалов и о точности прибора.

Перенести данные в документ Word, оформите результаты как лабораторную работу №6, задание 6.2.

Лабораторная работа №7

Наши рекомендации