I.10. Оценивание и способы уменьшения случайных погрешностей

Математическое описание случайных погрешностей.

Измеряемая величина, содержащая случайную погрешность, должна рассматриваться как случайная величина. Из теории вероятностей известно, что наиболее полно случайные величины характеризуются законами распределения вероятностей.
Плотность распределения вероятностей

, (1.13)

где F(x)– вероятность значений случайной величины х в интервале dx.

Математическое ожидание M[X] случайной величины X является постоянной величиной и характеризует её среднее значение. Величина является случайной погрешностью. Если систематичес­кая погрешность отсутствует, то математическое ожидание равно истинному значению величины X.

На рис. I.I, а показана дифференциальная функция нормального распределения f(x). Рассеяние результатов вокруг M[х] уменьшаетcя с уменьшением s. При расчетах пользуются нормированным нормаль­ным распределением, когда нормируется случайная величина:

(1.17)

где нормированная случайная величина. Интеграл

(1.18)

Рис.1.1,а

выражает вероятность попадания случайной погрешности в интервал 0–t₁ и носит название функции Лапласа. Значения f(t) и Р(t₁) приводятся в табл. I и 2 приложения.

Если закон распределения неизвестен, то всегда принимают равномерное распределение.

Доверительный интервал.

Зависимость (1.30) , записанная в виде

(1.31)

говорит о том, что случайный интервал J(p)=2e, находящийся в пределах от , с вероятностью р накрывает величину Q_ист (или неслучайная величина Q_ист с вероятностью p оказывается внутри этого интервала). Интервал J(р) называют доверитель­ным интервалом, а его границы доверительными.

Используя интервальную оценку результатов измерений, необхо­димо задавать доверительный интервал и доверительную вероятность

В случае нормального распределения и числа наблюдений п³20 t_p выбирается по таблице функций Лапласа (см. табл. 2 приложения), при этом значение вероятности умножается на 2, так как в таблице они приведены для половины симметричного интервала.

Если число наблюдений п £20, доверительный интервал случайной погрешности при заданных вероятности р и средним квадратическим отклонением результата измерения определяется по формуле Стьюдента

(1.34)

где t _{p ,n} - коэффициент распределения Стьюдента, который зависит от заданной вероятности p и числа наблюдений п (табл.3 приложе­ния). При п>20 распределение Стьюдента приближается к нормальному и вместо t _{p ,n} можно использовать t _p для нормального распределе­ния.

Как правило, в практике измерений доверительную вероятность принимают р = 0.95. Если измерения нельзя повторить, то р=0.99. В особо ответственных случаях, когда проводимые измерения связаны с созданием новых эталонов или от них зависит здоровье людей, то p= 0.997 и выше.

При нормальном законе распределений погрешностей доверитель­ная вероятность р=0.68 соответствует доверительному интервалу

Схема обработки результатов измерения с многократными наблю­дениями приведена на рис.1.2.

Исключение Система-тических погрешностей

Проверка

Остаточные Погрешности

Запись результата измерений

Оценка доверительного интервала

Выбор доверительной Вероятности P

Оценка закона распределения

n наблюдений