Лабораторная работа № 5. Определение характеристик затухающих колебаний физического маятника

Цель работы: Изучение зависимости амплитуды затухающих колебаний маятника от времени и вычисление характеристик затухающих колебаний.

Описание лабораторной установки и оборудования

Для изучения затухающих колебаний в данной работе используется физический маятник (рисунок 5.1). Его масса, в отличие от математического маятника, не сосредоточена в одной точке, а распределена по объёму тела.

Рис.5.1.

Установка, используемая в работе, состоит из следующих частей:

1 – маятник, состоящий из закругленной алюминиевой пластины и стержня, соединяющего пластину с осью вращения ОО`;

2 – электромагнит, полюсa которого расположены на небольшом расстоянии от плоскости колебаний;

3 – потенциометр, которым можно регулировать напряжение на электромагните и, следовательно, напряжённость создаваемого магнитного поля;

4 – закруглённая линейка (шкала) для измерения амплитуды колебаний маятника.

Данный физический маятник характеризуется величинами:

- момент инерции маятника ;

- масса маятника ;

- расстояние от центра тяжести маятника С до оси вращения.

Общие сведения Физические основы эксперимента

Отведённый из положения равновесия маятник совершает колебания, амплитуда которых уменьшается со временем из-за действия сил трения и сопротивления воздуха. При включении электромагнита возникает дополнительная сила сопротивления, основанная на явлении электромагнитной индукции. Пластина маятника, двигаясь в магнитном поле, пересекает его силовые линии. При этом в ней наводятся вихревые токи Фуко, которые, в свою очередь, взаимодействуют с полем магнита. Таким образом, возникает тормозящая сила согласно правилу Ленца, пропорциональная скорости движения пластины. Регулируя ток через электромагнит, можно менять величину магнитного поля, а значит и быстроту уменьшения амплитуды колебаний.

Если маятник вывести из положения равновесия, отклонив его на угол α, то действующие на него сила тяжести и сила реакции опоры образуют результирующую силу , которая по модулю равна (см. рисунок 5.2):

.

Это, так называемая, «возвращающая сила», которая при любом смещении маятника направлена к положению равновесия. Момент силы относительно оси ОО` :

. (1)

Знак «минус» показывает, что сила направлена противоположно смещению маятника.

При движении маятника на него будет действовать сила торможения со стороны магнитного поля, пропорциональная его угловой скорости, и создающая тормозящий момент:

, (2)

где - коэффициент сопротивления движению маятника;

- угловая скорость маятника.

Применим основной закон динамики вращательного движения:

, (3)

где – угловое ускорение,

- момент инерции маятника,

- суммарный момент сил, действующих на маятник.

Закон (3) в нашем случае с учётом (1) и (2) запишется в виде:

.

При малых < 0,175 рад ( < 10º): ≈ , тогда второй закон динамики можно записать в виде:

. (4)

Введем обозначения: и .

В результате выражение (4) приобретает вид:

. (5)

Решение уравнения (5) при условии слабого затухания ( )имеет вид:

. (6)

Поскольку смещение х, измеряемое по линейке (шкале), пропорционально углу отклонения маятника, то уравнение (6) можно записать в виде:

, (7)

где – амплитуда колебаний в зависимости от времени,

– начальная амплитуда,

– начальная фаза,

– коэффициент затухания,

- частота затухающих колебаний,

– собственная частота колебаний (при отсутствии затухания).

Графики функции (7) для двух разных значений коэффициента затухания > выглядят следующим образом (рисунок 5.3(а) и рисунок 5.3(б)).

Рис.5.3(а). Рис.5.3(б).

Пунктирные огибающие показывают зависимость амплитуды от времени и описываются формулой:

. (8)

Для > > зависимости амплитуды от времени изображены на рисунке 5.4.

Рис.5.4.

Наряду с коэффициентом используют и другие параметры, характеризующие уменьшение амплитуды:

1. Время релаксации: время, в течение которого амплитуда уменьшается в =2,7 раз (см. рисунок 5.3 и рисунок 5.4):

. (9)

2. Логарифмический декремент затухания - величина, обратная числу колебаний в течение которых амплитуда уменьшается в раз:

, (10)

где - период колебания.

3. Добротность - величина, которая определяет уменьшение энергии колеблющегося тела за период колебаний:

. (11)

Из формулы (8) следует, что величина натурального логарифма отношения является линейной функцией времени: . Заменив = , получим: , или: .

Здесь – период колебаний, – число колебаний, совершенных к моменту времени .

Графики функций изображены на рисунке 5.5 для > > . Из рисунка видно, что , где - угол наклона прямой на графике.

Рис.5.5.

Порядок выполнения работы и обработки экспериментальных данных

1. Во время первого эксперимента электромагнит отключен (напряжение питания электромагнита 0 В). Маятник отводят от положения равновесия на величину = 6 - 8 см (по заданию преподавателя) и отпускают. Далее один человек считает количество полных колебаний («туда-сюда»), другой фиксирует амплитуду через каждые 5 или 10 колебаний; полученные значения заносятся в таблицу 1. Общее число отсчитываемых колебаний задаётся преподавателем.

2. Измерить время 20 - 30 полных колебаний и записать в соответствующую графу таблицы 1.

3. Повторить пункты 1. и 2. при включенном электромагните, с напряжением и (например, 0, 10 В, 20 В).

Таблица 1

Экспериментальные данные

Напряже-ние на электро-магните	Амплитуда	Число колебаний	, с
0 В
В
В

Обработка результатов:

4. Вычислите периоды колебаний по формуле и занесите в таблицу 2.

5. Для каждого измерения вычислите величину и занесите в таблицу 1 для трёх серий экспериментов с , и . Постройте графики, соответствующие каждой серии экспериментов в координатах от (см. рисунок 5.5).

6. На каждой прямой возьмите произвольно 2 точки и вычислите логарифмический декремент затухания по формуле: ; или найдите , соответствующее и вычислите логарифмический декремент затухания по формуле: (рисунок 5.5). Результаты занесите в таблицу 2.

7. Вычислите по формулам (9), (10), (11) коэффициент затухания, время релаксации и добротность и занесите в таблицу 2.

8. Проанализируйте, как изменяются характеристики затухающих колебаний в зависимости от силы сопротивления, действующей на маятник, и сделайте вывод.

Таблица 2

Характеристики затухающих колебаний маятника

Напряжение на электро-магните
0 В
B
B

Дополнение к лабораторной работе №5

Лабораторный эксперимент по изучению изменения амплитуды затухающих колебаний может быть выполнен на крутильно-баллистическом маятнике (см. описание в лабораторной работе №1, вариант 2). Колебания этого маятника происходит в горизонтальной плоскости под действием момента силы упругости проволоки – оси колебаний, на которой он закреплен:

,

где - коэффициент упругости проволоки.

Торможение маятника осуществляется пластиной, которая может погружаться на разную глубину в воду.

Описание затухающих колебаний крутильно-баллистического маятника проводится так же, как изложено на страницах 52-56 настоящей инструкции; уравнение колебаний имеет вид (7) и (8).

Лабораторный эксперимент и обработка экспериментальных данных, проводится в последовательности пунктов 1 – 8 (стр….). при этом глубина погружения тормозящей пластины задается преподавателем (обычно 0 см, 1 см, 2 см, 3 см).

Вопросы для контроля

1. Какие колебания называются гармоническими, свободными, вынужденными, затухающими?

2. Какая система называется физическим маятником, а какая математическим?

3. Почему колебания маятника в данной работе будут затухающими, даже при выключенном электромагните?

4. Запишите уравнения затухающих и незатухающих колебаний, сравните их.

5. Как амплитуда затухающих колебаний зависит от времени и от числа колебаний?

6. Что такое собственная частота колебаний?

7. Каков физический смысл величин: , , , , , , , в этой работе? Как они меняются с ростом ?

8. Как меняются характеристики затухающих колебаний , , , , , , , если один из параметров данного физического маятника: , , , увеличится (либо уменьшится) при фиксированных значениях оставшихся?

9. Для чего, в данной работе, графики строят в логарифмическом масштабе?

Библиографический список

1. Савельев И.В. Курс обшей физики, Т.2. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, §61, §62, §65, §66, §67, §73.

2. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2010 – §6.1, §6.2.

3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. - §140, §141, §142, §146.