Початкові фази першого і другого коливань відповідно дорівнюють

Проведемо обчислення:

с^-1,

Зобразимо вектори і . Для цього відкладемо відрізки довжиною = 3 см і = 2 см під кутами = 30⁰ і = 60⁰ до осі Ох. Результуюче коливання відбуватиметься з тією ж частотою і амплітудою А, що дорівнює геометричній сумі амплітуд і : . Згідно з теоремою косинусів

Початкову фазу результуючого коливання можна також визначити безпосередньо з векторної діаграми (рис.49):

Рисунок 49 – Додавання коливань, що відбуваються у одному напрямку

(60)

Проведемо обчислення:

=4,84 см.

або =0,735 рад.

Оскільки результуюче коливання є гармонічним, має ту саму частоту, що і складові коливання, то його можна записати у вигляді

,

де А = 4,84 см = 3,144 , = 0,735 рад.

Відповідь: , де А = 4,84 см = 3,144 , = 0,735 рад.

Приклад 15 На тонку гліцеринову плівку ( ) товщиною мкм нормально до її поверхні падає біле світло. Визначити довжини хвиль видимої ділянки спектра (0,4 0,8 мкм), які ослаблюються в результаті інтерференції.

Розв’язання.Оптична різниця ходу двох променів, відбитих від верхньої та нижньої поверхонь плівки, складає

. (61)

Щоб врахувати, що при відбиванні від пластинки виникає зміна фази на , додамо до правої частини співвідношення (61) :

. (62)

Умова спостереження інтерференційного мінімуму має вигляд

, (63)

де - порядок інтерференційного максимуму.

Прирівнявши вирази (62) і (63), знайдемо

. (64)

Після перетворень отримаємо

.

Звідси

, (65)

де може набувати значення

З цього виразу знайдемо :

.

Після підстановки числових значень величин у співвідношення отримаємо:

,

м.

Оскільки – ціле число, одержимо остаточно , .

Тоді згідно з (65) відповідні довжини хвиль дорівнюють:

k
l, мкм	0,735	0,63	0,557	0,49	0,441	0,401

Відповідь: м; м; м; м; м; м.

Приклад 16 На скляний клин з малим кутом нормально до його грані падає паралельний пучок проміння монохроматичного світла з довжиною хвилі = 0,6 мкм. Число m інтерференційних смуг, що при цьому виникає і припадає на відрізок клина довжиною l, дорівнює 10. Визначити кут клина.

Розв’язання. Паралельний промінь світла, що падає нормально до грані клина, відбивається як від верхньої, так і від нижньої грані. Ці відбиті промені світла когерентні. Тому на поверхні клина спостерігатимуться інтерференційні смуги. Оскільки кут клина малий, то відбиті промені 1 і 2 світла (рис.50) практично паралельні.

Рисунок 50 – Відбивання світла від клину

Темні смуги спостерігаються на тих ділянках клина, для яких різниця ходу променів кратна непарному числу половин довжини хвилі:

( = 0, ±1, ±2 ...). (66)

Різниця ходу двох хвиль складається з різниці оптичних довжин шляхів цих хвиль ( ) і половини довжини хвилі ( /2). Величина /2 є додатковою різницею ходу, що виникає при віддзеркаленні світлової хвилі 1 від оптично більш щільного середовища. Підставляючи у формулу (66) різницю ходу світлових хвиль, одержимо

, (67)

де n - показник заломлення скла (n =1,5); d_k - товщина клина в тому місці, де спостерігається темна смуга, що відповідає номеру ; - кут заломлення світла.

Згідно з умовою задачі кут падіння дорівнює нулю; отже, і кут заломлення дорівнює нулю, а тому, . Розкривши дужки в правій частині рівності (67), після спрощення отримаємо

. (68)

Нехай довільній темній смузі -го номера відповідає товщина d_k клина, а темній смузі k+m -го номера - товщина d_k+m клина. Тоді (рис.50), враховуючи, що m смуг укладається на відстані l, знайдемо:

. (69)

При малих кутах .

Виразимо з (68) d_k і d_k+m підставимо їх у співвідношення (69). Потім, враховуючи, що (через те, що кут малий), отримаємо

.

Підставляючи значення фізичних величин, знайдемо

.

Виразимо кут в секундах. Для цього можна скористатися співвідношеннями між радіаном і секундою: 1рад= = 20626 ~2,06× . Тоді = 2×10^-4×2,06× =41, .

Відповідь: = 2×10^-4 рад = 41, .

Приклад 17 Між скляною пластинкою і плосковипуклою лінзою, що лежить на ній, знаходиться рідина (рис.51). Знайти показник заломлення рідини, якщо радіус третього темного кільця Ньютона при спостереженні у відбитому світлі з довжиною хвилі дорівнює 0,82 мм. Радіус кривини лінзи 0,5 м.

Рисунок 51 – Спостереження кілець Ньютона

Розв’язання.Схема установки спостереження кілець Ньютона зображена на рис. 51. З рисунка бачимо, що

, (70)

де – радіус кривини лінзи; – товщина зазору між лінзою і скляною пластинкою.

У виразі (70) ми знехтували величиною порівняно з . З цього співвідношення після простих перетворень отримаємо

. (71)

Оптична різниця ходу двох променів, відбитих від верхньої і нижньої поверхонь зазору між пластиною і лінзою, дорівнює

, (72)

де - коефіцієнт заломлення рідини у зазорі.

Щоб врахувати, що при відбитті від пластинки виникає зміна фази світла на , до правої частини виразу (72) додамо .

Умова спостереження інтерференційного мінімуму має вигляд

, (73)

де - порядок інтерференційного мінімуму.

Прирівнявши вирази (72) і (73), знайдемо

. (74)

Після перетворень отримаємо таке співвідношення:

.

З цього виразу знайдемо :

. (75)

У випадку третього кільця Ньютона .

Після підстановки числових значень фізичних величин у (75) отримаємо

.

Відповідь: .

Приклад 18 На поверхню дифракційної ґратки нормально до її поверхні падає монохроматичне світло. Стала дифракційної ґратки у =4,6 разу більша за довжину світлової хвилі. Знайти загальне число дифракційних максимумів, які теоретично можна спостерігати у цьому випадку.

Розв’язання.Умова спостереження дифракційного максимуму на дифракційній ґратці має вигляд

, (76)

де - порядок спектра, або у випадку монохроматичного світла порядок інтерференційного максимуму .

Останній інтерференційний максимум, який може спостерігатися при дифракції світла на ґратці, відповідає умові

.

Звідси отримаємо, що .

Тоді порядок дифракційного максимуму дорівнює

. (77)

Після підстановки числових значень величин у (77) отримаємо

.

Число обов’язково повинно бути цілим, але воно не може набувати значення 5, оскільки у цьому випадку , що неможливо. Звідси 4. Оскільки зліва і справа від центрального максимуму спостерігається однакова кількість максимумів, одержимо .

Відповідь: .

Приклад 19 Паралельний промінь світла переходить з гліцерину ( ) у скло ( ) так, що світло, відбите від межі цих середовищ, виявляється максимально поляризованим (рис.52). Визначити кут між падаючими та заломленими променями.

Рисунок 52 – Поляризація світла при відбиванні від межі поділу двох середовищ

Розв’язання.Згідно з законом Брюстера світло, відбите від межі поділу двох діелектриків, повністю поляризоване у тому випадку, якщо тангенс кута падіння дорівнює

, (78)

де – відносний показник заломлення середовищ; , – абсолютні показники заломлення середовищ.

Звідси

. (79)

Кут заломлення світла знайдемо із закону заломлення

. (80)

З виразу (80) маємо

або

. (81)

Кут , як бачимо з рисунка, дорівнює

. (82)

Підставивши значення у вирази (79), (81), (82), отримаємо

.

.

.

Відповідь: .

Приклад 20. У скільки разів ослаблюється інтенсивність світла, що проходить через два ніколі, площини пропускання яких утворюють кут , якщо у кожному ніколі окремо втрачається 10% інтенсивності світла, що падає на нього (рис.53).

Рисунок 53 – Поляризація світла при проходженні через ніколі

Розв’язання. Промінь світла, що падає на грань ніколя N₁, розщеплюється внаслідок явища подвійного променезаломлення на два: звичайний і незвичайний. При цьому обидва промені мають однакову інтенсивність і повністю поляризовані. Площина коливань незвичайного променя лежить у площині креслення, у той час як для звичайного вона перпендикулярна до цієї площини.

Звичайний промінь внаслідок повного внутрішнього відбиття відбивається від межі АВ і через ніколь N₁ не проходить. Незвичайний промінь проходить через ніколь, при цьому інтенсивність світла зменшується вдвічі. Додаткове зменшення інтенсивності незвичайного променя відбувається внаслідок поглинання світла у речовині ніколя.

Таким чином, інтенсивність світла, що пройшло через ніколь N₁, дорівнює

, (83)

де - інтенсивність природного світла, що падає на ніколь N₁; - інтенсивність поляризованого світла, що пройшов через ніколь; k – коефіцієнт поглинання світла у ніколі.

Промінь плоскополяризованого світла інтенсивністю , що падає на ніколь N₂, тежрозщеплюється на два промені: звичайний і незвичайний. При цьому звичайний промінь повністю поглинається в ніколі, а інтенсивність незвичайного променя, що виходить з ніколя, визначається законом Малюса

, (84)

де - кут між площиною коливань у поляризованому промені і площиною пропускання Ніколя N₂.

З урахуванням втрат енергії внаслідок поглинання світла у другому ніколі отримаємо

. (85)

Підставивши співвідношення (83) в (85), отримаємо

.

Звідси відношення інтенсивності світла на вході і виході з ніколей дорівнює

. (86)

Підставивши значення фізичних величин, знайдемо шукану величину

.

Відповідь: .