Рівняння у повних диференціалах

Означення. Диференційне рівняння

(8.1)

називається рівнянням у повних диференціалах, якщо функції і неперервні у області , мають неперервні частинні похідні та і у кожній точці області

(8.2)

Інтегрування рівняння у повних диференціалах.

Доведемо, що ліва частина (8.1), якщо виконані умови (8.2), є повним диференціалом деякої функції і навпаки, якщо виконані умови (8.2), то ліва частина (8.1) є повним диференціалом деякої функції , тобто рівняння (8.1) має вигляд , і тому його загальний інтеграл є .

Справді, нехай ліва частина (8.1) є повний диференціал деякої функції , тобто

;

тоді

, (8.3)

маємо , .

Тому що за умовами та неперервні, то мішані похідні неперервні і є рівними, тобто

і рівняння (8.1) є рівнянням у повних диференціалах.

Доведемо, що з умови (8.2) випливає, що ліва частина (8.1) є повним диференціалом деякої функції . Нехай - деяка точка області . Зінтегрувавши співвідношення

за і вважаючи, що стале, добудемо

, (8.4)

де - довільна функція, яка залежить лише від . Покажемо, що функцію можна знайти так, щоб виконувалось друге з співвідношень (8.3).

Диференціюємо (8.4) за :

.

Змінити порядок інтегрування і диференціювання можна за теоремою Лейбніца. Врахуємо, що та , добудемо

. (8.5)

Помітимо, що

. .

Підставимо значення інтеграла у (8.5), добуваємо диференціальне рівняння для знаходження функції :

або ,

звідки

, (8.6)

де - довільна стала.

Підставимо (8.6) у (8.4) і знайдемо функцію :

.

Якщо функцію прирівняти довільному сталому, то добудемо загальний інтеграл рівняння (8.1):

.

Приклад. Розв`язати рівняння

.

Перевіримо, що це рівняння є рівнянням у повних диференціалах. Позначимо

, .

Маємо

, .

Якщо , то функції , , та неперервні і . Тому ліва частина рівняння є повним диференціалом деякої функції :

Позначимо . Тоді і загальний інтеграл має вигляд

Питання для самоперевірки.

1. Яке рівняння називається диференціальним ?

2. Що називають порядком диференціального рівняння ?

3. Який вигляд має диференціальне рівняння першого порядку, яке розв`язане відносно похідної ?

4. Що називають розв`язком диференціального рівняння ?

5. Що називають інтегральною кривою диференціального рівняння ?

6. Сформулювати задачу Коші для диференціального рівняння .

7. Що називається загальним розв`язком диференціального рівняння ?

8. Як із загального розв`язку диференціального рівняння добути частинний розв`язок ?

9. Яке диференціальне рівняння називається рівнянням з відокремлюваними змінними ?

10. Дати означення однорідної функції і однорідного диференціального рівняння першого порядку.

11. Як розв`язати однорідне рівняння першого порядку ?

12. Дати означення лінійного рівняння першого порядку. Як розв`язати таке рівняння ?

13. Який вигляд має рівняння Бернуллі ?

14. Як розв`язати рівняння Бернуллі ?

15. Дати означення рівняння у повних диференціалах.

Рівняння вищих порядків.

У загальному випадку рівняння -го порядку має вигляд . Якщо це рівняння можна розв`язати відносно , тоді

(9.1)

Задача, яка полягає у знаходженні розв`язку (9.1), який задовольняє початкові умови

(9.2)

називається задачею Коші. Розв`язок задачі Коші дає теорема.

Теорема Коші. Якщо в рівнянні (9.1) функція та її частинні похідні по неперервні в області , яка містить значення , то існує єдиний розв`язок, який задовольняє початкові умови (9.2).

Загальним розв`язком (інтегралом) називається функція (

яка задовольняє умови:

1) при довільних сталих вона задовольняє диференціальному рівнянню;

2) при довільних умовах (9.2) існують такі сталі , при яких ці умови виконуються.

Частинний розв`язок (інтеграл ) дістаємо із загального при .