Додавання коливань, биття, фігури лісажу
Додамо гармонічні коливання однакового напряму і однакової частоти:
, 
.
Для цього зобразимо гармонічне коливання графічно методом обертового вектора амплітуди або методом вектороної діаграми.
З точки 0, вибрані на вісі Х, під кутами 
(початкова фаза першого коливання) і 
(початкова фаза другого коливання) відкладаємо модуль амплітуд 
і 
(Рис.1).
При обертанні векторів амплітуд навколо точки 0 з кутовою швидкістю 
, проекції векторів будуть переміщуватись по вісі Х в межах числових значень амплітуд, змінюючись згідно з гармонічним законом.
Очевидно, що рівняння результуючого коливання буде рівнянн гармонічного коливання тієї ж частоти і того ж напрямку.
- теорема косинусів
Відповідно малюнку
; 
.
В результаті додавання одержуємо коливання з періодично змінюваного (пульсуючого) амплітудою – биття (рис.2). 
Нехай 
і 
; 
.
Тоді 
; 
;
Знайдемо рівняння результуючого коливання аналітичним методом:
Результуюче коливання майже гармонічне з частотою і повільно гармонічне з частотою, що змінюється:
.Пунктирна лінія на рис.2 графічно це зображує. Суцільна лінія – графік результуючого коливання.
Частота змінювання модуля косинуса 
- частота биття, або 
. Період биття 
.
ДОДАВАННЯ ВЗАЄМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНИХ КОЛИВАНЬ
Розглянемо випадок, коли коливальна система бере участь в 2-х взаємно перпендикулярних коливанняхз (промінь осцилографа при подачі гармонічної напруги на вертикальні і горизонтальні платівки).
Нехай 
; 
; 
.
Рівняння траекторії результуючого коливання знаходиться шляхом виключення параметра t.
Розглянемо випадки:
1) 
, тоді рівняння набуває вигляд
, якщо А=В, то
2) 
3) 
4) 
, то результуюче коливання відбувається по складній траекторії, форма якої залежить від різниці фаз і співвідношення частот.
Якщо провести дотичні до траекторії, паралельні вісям, то відношення чисел дотиків обернено пропорційне частотам коливань, що додаються.
Методом фігур Ліссажу визначають невідому частоту.
де A,B — амплітуди коливань,a,b — частоти,δ — зсув фаз.
Вигляд кривої сильно залежить від співвідношення a/b. Коли співвідношення дорівнює 1, фігура Ліссажу має вигляд еліпсу, за певних умов вона має вигляд кола (A = B, δ = π/2 радіан) і лінії (δ = 0). Інший приклад фігури Ліссажу — парабола (a/b = 2, δ = π/2). Інші співвідношення продукують більш складні фігури, які є замкненими за умови a/b — раціональне число. Припускається, що візуальна форма цих кривих є часто тривимірним вузлом, і насправді, проекції на площину багатьох вузлів, включаючи вузли Ліссажу, є фігурами Ліссажу. Фігури Ліссажу, де a = 1, b = N (N — натуральне число) і 
є поліномами Чебишева першого роду степеня N.