Розрахунок на стійкість симетричної рами
Для схеми, яку зображено на рисунку (3.1), треба:
– Скласти розрахункову схему рами на стійкість.
– Отримати рівняння стійкості.
– Визначити критичне навантаження в загальному вигляді.
– Визначити форму втрати стійкості.
– Визначити приведені довжини стиснутих стержнів.
– Обчислити критичне навантаження для випадку коли 
.
Рисунок 3.1 – Вихідна розрахункова схема рами
3.1.1 Підготовча робота при складанні розрахункової схеми рами на стійкість
3.1.1.1 Вузли розрахункової схема рами
У розрахунковій схемі вузли обов’язково мають бути на границях ділянок – там де є злам осі, місце зміни розмірів поперечного переріза, перерізи, у яких є шарніри або опорні в'язі. Для рами, яку зображено на рисунку 3.1, вузли показано на рисунку 3.2.
Рисунок 3.2 – Схема рами з вузлами
3.1.1.2 Визначення кількості невідомих методу переміщень у вузлах розрахункової схеми
Кількість основних невідомих методу переміщень (ступінь кінематичної невизначеності 
) визначається за формулою:
,
де 
– кількість невідомих кутів повороту внутрішніх вузлів розрахункової схеми. У нашому прикладі = 5 - ( 
);
– кількість незалежних лінійних переміщень вузлів розрахункової схеми.
Для визначення в тих випадках, коли нехтують поздовжніми деформаціями стержнів, поступають таким чином: в усі вузли рами, включаючи опорні, слід увести шарніри й виконати кінематичний аналіз шарнірно-стержневої системи, яка при цьому буде отримана. Шарнірно-стержневу систему для нашого прикладу показано на рисунку 3.3.
Рисунок 3.3 – Шарнірно-стержнева система для визначення .
Кількість в'язів, які треба ввести в отриману шарнірно-стержневу систему, щоб перетворити її в незмінювану систему без зайвих в'язів, дасть нам кількість незалежних лінійних переміщень вузлів розрахункової схеми , а напрями в'язів – напрями цих переміщень. Не важко впевнитись в тому, що шарнірно-стержнева система нашого прикладу має два ступеня вільності, а структурний аналіз дозволяє встановити, що вузли 1 та 8 можуть незалежно переміщатися в горизонтальному напрямку, тобто в нашому випадку 
. Геометрично незмінювану шарнірно-стержневу систему показано на рисунку 3.4.
Рисунок 3.4 – Геометрично незмінювана шарнірно-стержнева система
Таким чином, ступінь кінематичної невизначеності нашого прикладу дорівнює 7. Треба відмітити, що для ручного розрахунку це досить трудомістка задача. Суттєво можна полегшити задачу, якщо врахувати симетрію.
3.1.1.3 Визначення поздовжніх сил в розрахунковій схемі
Спрощення розрахунків можна отримати двома шляхами:
– виконати розрахунки цілої рами (рисунки 3.1 та 3.2), урахувавши при цьому співвідношення між невідомими методу переміщень, які витікають з умов симетрії деформації 
;
– виконати розрахунки на еквівалентній половині. Еквівалентну половину для нашого прикладу зображено на рисунку 3.5.
Для створення розрахункової схеми на стійкість необхідно визначити поздовжні сили в стержнях рами від заданого навантаження.
Зробити це можна одним із наступних методів:
1). Розрахувати раму (рисунок 3.1) , або її еквівалентну половину (рисунок 3.5) від заданого навантаження на раму за недеформованою схемою точним методом;
2). Розрахувати на задане навантаження незмінювану шарнірно-стержневу систему (рисунок 3.4), або її еквівалентну половину (рисунок 3.9).
3.1.1.3.1 Визначення поздовжніх сил в розрахунковій схемі точним методом
Рисунок 3.5 – Еквівалентна половина рами для визначення поздовжніх сил при досліджені втрати стійкості і за симетричною і за кососиметричною формами
Якщо знехтувати поздовжніми деформаціями стержнів, то невідомих методу переміщень в еквівалентній половині три - 
Для того, щоб отримати розв’язувальну систему рівнянь, необхідно скласти умови рівноваги рами, які не міститимуть поздовжніх сил. Рама буде знаходитися в рівновазі, якщо в рівновазі будуть всі вузли її та довільні частини. Найпростіші рівняння отримаємо, якщо складемо рівняння рівноваги вузлів 1, 2 (рисунок 3.6) та ригеля 1- 4 (рисунок 3.7). Складемо ці рівняння.
Рисунок 3.6 – Вузли 1 та 2 з діючими на них силами.
Рівняння рівноваги вузлів 1 та 2 :
Два рівняння, що не містять поздовжніх сил, це рівняння моментів вузлів 1 та 2 (рівняння перше та четверте).
Третє рівняння без поздовжніх сил здобудемо з умов рівноваги ригеля 1-4.
Рисунок 3.7 – Ригель рами з діючими на нього силами.
Рівняння рівноваги ригеля, яке не містить поздовжніх сил:
Таким чином, система рівнянь рівноваги для знаходження трьох невідомих цієї задачі має вигляд:
Усі подальші обчислення виконуються за відомою схемою, якою ми користувалися раніше.
Перше рівняння рівноваги:
Друге рівняння рівноваги:
Третє рівняння рівноваги:
Після нескладних перетворень систему рівнянь для визначення 
можна представити у вигляді:
Розв’язавши цю систему отримаємо:
Користуючись основними залежностями методу переміщень знаходимо згинальні моменти та поперечні сили в кінцевих перерізах стержнів.
Знаючи поперечні сили з умов рівноваги вузлів рами зможемо знайти поздовжні сили. Починати ці обчислення треба з вузла, у якому не більше ніж дві невідомі поздовжні сили. У нашому випадку це вузли 6 та 4.
Рисунок 3.8 – Вузол з діючими на нього силами.
Умова рівноваги вузла 6 (рисунок 3.8) має вигляд:
Звідки 
.
З умов рівноваги вузлів 2 та 1 (рисунок 3.6 та рівняння (3.1)) знайдемо інші поздовжні сили.
3.1.1.3.2 Визначення поздовжніх сил в розрахунковій схемі за шарнірно-стержневою системою
Поздовжні сили можна визначити наближено, якщо розрахувати незмінювану шарнірно-стержневу систему (рисунок 3.4), або її еквівалентну половину (рисунок 3.9).
Рисунок 3.9 – Еквівалентна половина шарнірно-стержневої системи
для визначення поздовжніх сил
Визначення поздовжніх сил треба починати з вузла, у якому не більше ніж дві невідомих сили.
Поздовжню силу 
знайдемо з умови рівноваги вузла 6 ( рисунок 3.9 ).
Рисунок 3.10 – До визначення поздовжньої сили
Умова рівноваги вузла 6 має вигляд:
звідки 
.
Рисунок 3.11 – До визначення поздовжніх сил 
та 
З умов рівноваги ригеля 3-2-6 ( рисунок 3.11)знайдемо поздовжні сили та .
звідки 
звідки 
З умови рівноваги вузла 4 отримаємо 
З умов рівноваги ригеля 4-1 (рисунок 3.12)знайдемо поздовжню силу 
.
Рисунок 3.12 – До визначення поздовжньої сили 
звідки 
У таблиці 3.1 наведено поздовжні сили, які знайдено точним методом та з умов рівноваги вузлів та елементів шарнірно-стержневої схеми.
Таблиця 3.1 – Порівняння значень поздовжніх сил, знайдених різними методами
| Стержень | Значення поздовжньої сили, qa | Похибка, % | |
| точне | наближене | ||
| 2 - 6 | -19.2 | -20 | 4.17 |
| 2 - 3 | -18.8 | -16 | 14.9 |
| 2 - 1 | -19.1 | -18 | 5.8 |
| 1 - 4 | |||
| 1 - 5 | -26.4 | -24 | 9.09 |
Як видно з таблиці 3.1, різниця між точними та наближеними значеннями поздовжніх сил незначна, а трудомісткість точного методу значно вища. Похибка при визначенні параметрів стійкості буде ще меншою, бо поздовжня сила у формулі для визначення параметра стійкості стоїть під радикалом. Тому при визначенні поздовжніх сил, якщо немає особливої потреби в точності розрахунку, перевагу слід віддавати наближеному методу.
3.1.1.4 Визначення параметрів стійкості стержнів розрахункової схеми
Визначимо параметри стійкості стержнів розрахункової схеми. Значення поздовжніх сил візьмемо з точного розрахунку.
;
;
;
.
Позначимо один із цих параметрів (краще взяти найбільший!) через 
. У нашому прикладі найбільший параметр стійкості має стержень 2-6.
;
Виразимо параметри стійкості інших стержнів через параметр .
, 
;
, 
;
, 
.
3.1.2 Розрахункові схеми рами на стійкість
3.1.2.1 Розрахункова схема рами для дослідження втраті стійкості за симетричною формою
Як було вже відмічено раніше, симетрична споруда під дією симетричного навантаження може втратити стійкість або за симетричною або за кососиметричною формою. Визначимо критичне навантаження, яке відповідає кожній із цих форм втрати стійкості, та встановимо дійсне критичне навантаження на раму (менше з отриманих двох значень).
Розрахункову схему рами для дослідження втрати стійкості за симетричною формою наведено на рисунку 3.13.
Рисунок 3.13 – Розрахункова схемарами для дослідження втрати стійкості за симетричною формою
3.1.2.2 Розрахункова схема рами для дослідження втрати стійкості за кососиметричною формою
Спрощення розрахунків , як і в попередньому випадку, можна отримати двома шляхами:
- урахувати співвідношення, які витікають з умов кососиметричної форми деформації . Для нашого прикладу 
.
- виконати розрахунки на еквівалентній половині. Для нашого прикладу еквівалентна половина зображена на рисунку 3.14.
Рисунок 3.14 – Розрахункова схемарами для дослідження кососиметричної форми втрати стійкості
3.1.3 Втрата стійкості за симетричною формою
3.1.3.1 Рівняння рівноваги при втраті стійкості за симетричною формою
Невідомі 
знайдемо з умов рівноваги рами, яка втратила стійкість.
Умова рівноваги рами – рівновага вузлів 1 та 2 та ригеля 1- 4 (рисунок 3.15).
Рисунок 3.15 – Вузли 1 та 2 з діючими на них силами.
Рисунок 3.16 – Ригель рами 1- 4 з діючими на нього силами.
Складемо рівняння моментів для вузлів 1 та 2 та рівняння проекцій сил, які діють на ригель, на ось Х.
Система рівнянь рівноваги для знаходження трьох невідомих в зусиллях нічим не відрізняється від системи рівнянь ( 3.2 ), яку було складено для розрахунку цієї рами за недеформованою схемою, і має вигляд:
Однак тепер, для того щоб скласти розв’язувальну систему рівнянь в переміщеннях, необхідно користуватися основними залежностями методу переміщень які отримано для поздовжньо-поперечного вигину.
Формування першого рівняння:
Формування другого рівняння рівноваги:
Формування третього рівняння рівноваги:
Скоротивши перше та друге рівняння на 
, а третє на 
, отримаємо таких три рівняння для визначення трьох невідомих :
3.1.3.2 Рівняння стійкості
Отримана система рівнянь однорідна. Така система має тривіальний нульовий розв'язок ( 
), але нульові значення всіх переміщень означають, що система не втратила стійкість, та ненульовий розв'язок, коли хоча б одна невідома відмінна від нуля. Система однорідних алгебраїчних рівнянь може мати ненульове рішення лише в тому разі, коли визначник цієї системи дорівнює нулю. Для системи рівнянь (3.3) має виконуватися умова
Для нашої задачі виконання цієї умови означає наявність ненульових значень кутових та (або) лінійних переміщень вузлів системи. А це і є умовою втрати стійкості системи, тому рівняння (3.4) називають рівнянням стійкості.
3.1.3.3 Розв'язок рівняння стійкості
Рівняння (3.4) - трансцендентне рівняння відносно параметра стійкості . Трансцендентне рівняння має нескінченно велику кількість коренів. Необхідно знайти найменший з коренів цього рівняння, який відповідає мінімальному навантаженню, яке називають критичним навантаженням. Знайти корінь трансцендентного рівняння найпростіше методом спроб. Пошуки кореня можна виконати таким чином: надавати параметру значення 0; 0.5; 1; 1.5; 2;…, для кожного з цих параметрів обчислити визначник 
та побудувати графік залежності визначника від параметра . Точка, в якій графік перетне ось , - корінь рівняння стійкості. При цьому слід остерігатися пропуску мінімального значення параметра , бо іноді корені рівняння стійкості розташовуються досить близько.
Швидше можна знайти корінь рівняння стійкості, якщо поперередньо визначити інтервал, в якому він знаходиться.
До початку пошуків кореня обчислимо визначник для нульового значення параметра стійкості . Знати значення визначника для 
нам потрібно для того, щоб знати, ми ще не дійшли до кореня чи проскочили через нього.
В разі, коли , знаходимо (таблиця 2.3):
Підставивши значення функцій в визначник (3.4) і виконавши обчислення, отримаємо:
А тепер визначимо інтервал, в якому знаходиться корінь рівняння стійкості.
Параметр стійкості найбільший у стержня 2-6. Стержень 2-6 у вузлі 2 пружно защемлений, а у вузлі 6 - жорстко защемлений. Жорсткість вузла 2 може змінюватися від нуля до безкінечності. Коли жорсткість вузла 2 дорівнює нулю, тобто один кінець стержня шарнірно закріплений, а другий жорстко защемлений, то коефіцієнт приведення довжини стержня 
. Тоді 
. Коли жорсткість вузла 2 дорівнює безкінечності, тобто обидва кінця стержня жорстко защемлені, то коефіцієнт приведення довжини стержня 
. Тоді 
.
Слід зазначити, що роблячи ці оцінки, ми вважаємо, що жорсткість вузла, як і у опорної в'язі, додатна. Але в задачах стійкості, як і в задачах динаміки, жорсткість вузла може бути від'ємною, тому корінь може бути меншим, ніж нижня межа.
Будемо розшукувати корінь рівняння стійкості в інтервалі 4.49 ÷ 6.28. Поділимо цей інтервал приблизно навпіл, тобто для першої спроби візьмемо 
, і обрахуємо визначник.
В разі, коли , знаходимо (таблиця 2.3):
Підставивши значення функцій в визначник (3.4) і виконавши обчислення, отримаємо:
Корінь залишився позаду. Для наступної спроби візьмемо 
.
В разі, коли , знаходимо (таблиця 2.3):
Підставивши значення функцій в визначник (3.4) і виконавши обчислення, отримаємо:
Для наступної спроби візьмемо 
.
В разі, коли , знаходимо (таблиця 2.3):
Підставивши значення функцій в визначник (3.4) і виконавши обчислення, отримаємо:
Визначник додатний, тобто до кореня не дійшли. Для наступної спроби візьмемо 
.
В разі, коли , знаходимо (таблиця 2.3):
Підставивши значення функцій в визначник (3.4) і виконавши обчислення, отримаємо:
Корінь рівняння стійкості знаходиться між та . Виконавши лінійну інтерполяцію знайдемо 
.
3.1.3.4 Обчислення величини критичного навантаження
Після того, як величину 
знайдено, обчислюємо величину критичного навантаження. Враховуючи те, що в якості нами було прийнято 
, маємо 
, звідки
. У нашому прикладі 
, візьмемо 
=1м. Тоді
критичне навантаження на раму становить 
.
3.1.3.5 Обчислення форми втрати стійкості
Обрахуємо коефіцієнти системи рівнянь (3.3) для .
Для 
знаходимо (таблиця 2.3):
Підставивши ці значення функцій в систему рівнянь (3.3) отримаємо:
Система рівнянь однорідна. В цій системі з трьох рівнянь незалежних тільки два, тому визначити невідомі можна тільки с точністю до сталої. Приймемо 
. Тоді з перших двох рівнянь отримаємо 
. Знайдені з точністю до сталої переміщення вузлів визначать форму втрати стійкості рами. Такі ж значення 
ми маємо отримати з любих двох рівнянь, однак внаслідок того, що корінь рівняння стійкості знайдено не зовсім точно, визначник системи рівнянь відрізнятиметься від нуля, будуть незначно відрізнятися і значення , знайдені з других пар рівнянь.
Рисунок 3.17 - Втрата стійкості за симетричною формою
3.1.3.6 Визначення приведених довжин стиснених стержнів
Для того, щоб визначити приведені довжини стиснених стержнів, необхідно знати параметри стійкості цих стержнів. Раніше були визначені параметри стійкості всіх стержнів: 
; 
; 
; 
.
Знаючи параметри стійкості стиснених стержнів рами можемо знайти коефіцієнти приведення довжин. Коефіцієнти приведення довжин стиснених стержнів визначаються за формулою: 
.
; 
; 
; 
.
Приведенні довжини стержнів визначаються за формулою: 
.
; 
;
; 
;
3.1.4 Втрата стійкості за кососиметричною формою
3.1.4.1 Рівняння рівноваги при втраті стійкості за кососиметричною формою
Розрахункову схемурами для дослідження втрати стійкості за кососиметричною формою показано на рисунку (3.14). Як і у попередньому випадку у нашому прикладі три невідомих - . Для розшукування цих невідомих складемо три рівняння рівноваги. Внаслідок того, що невідомі такі ж самі, як і у попередньому випадку, то і розглядати будемо умови рівноваги тих самих частин - рівновага вузлів 1 та 2 та ригеля 1- 4 (рисунки 3.18 та 3.19).
Рисунок 3.18 – Вузли 1 та 2 з діючими на них силами.
Рисунок 3.19 – Ригель рами з діючими на нього силами.
Система рівнянь рівноваги для знаходження трьох невідомих має такий же вигляд, як у попередньому випадку:
Для того, щоб скласти розв’язувальну систему рівнянь в переміщеннях, скористаємось основними залежностями методу переміщень, які отримано для поздовжньо-поперечного вигину.
Формування першого рівняння:
Формування другого рівняння рівноваги:
Формування третього рівняння рівноваги:
Скоротивши перше та друге рівняння на , а третє на , отримаємо таких три рівняння для визначення трьох невідомих :
3.1.4.2 Рівняння стійкості
Система рівнянь (3.6) однорідна. Система однорідних алгебраїчних рівнянь має ненульове рішення лише в тому разі, коли визначник цієї системи дорівнює нулю. Прирівнявши до нуля визначник матриці коефіцієнтів цієї системи рівнянь отримаємо умову існування ненульових значень кутових та лінійних переміщень вузлів рами, тобто умову втрати стійкості рами. Це рівняння називають рівнянням стійкості.
3.1.4.3 Розв'язок рівняння стійкості
Знайдемо найменший з коренів рівняння стійкості, який відповідає критичному навантаженню. Будемо розшукувати корінь рівняння стійкості методом спроб.
Визначимо інтервал, в якому знаходиться корінь рівняння стійкості.
Параметр стійкості найбільший у стержня 2-6. Стержень 2-6 у вузлі 2 пружно защемлений, а у вузлі 6 - шарнірно .
Жорсткість вузла 2 може змінюватися від безкінечності до нуля. Коли жорсткість вузла 2 дорівнює безкінечності, тобто один кінець стержня шарнірно закріплений, а другий жорстко защемлений, то коефіцієнт приведення довжини стержня . Тоді . Коли жорсткість вузла 2 дорівнює нулю, тобто обидва кінця стержня шарнірно закріплені, то коефіцієнт приведення довжини стержня 
. Тоді 
.
Будемо розшукувати корінь рівняння стійкості в інтервалі 3.14 ÷ 4.49
Поділимо цей інтервал приблизно навпіл, тобто для першої спроби візьмемо 
, і обрахуємо визначник.
В разі, коли (таблиця 2.3):
Підставивши значення функцій в визначник (3.7) і виконавши обчислення, отримаємо
Корінь залишився позаду. Для наступної спроби візьмемо 
.
В разі, коли (таблиця 2.3):
Підставивши значення функцій в визначник (3.7) і виконавши обчислення, отримаємо:
Корінь рівняння стійкості знаходиться між 
та . Виконавши лінійну інтерполяцію знайдемо 
.
3.1.4.4 Обчислення величини критичного навантаження
Після того, як величину знайдено, обчислюємо величину критичного навантаження. Враховуючи те, що в якості нами було прийнято , маємо 
, звідки
. У нашому прикладі , візьмемо =1м. Тоді
критичне навантаження на раму становить 
.
3.1.4.5 Обчислення форми втрати стійкості
Обрахуємо коефіцієнти системи рівнянь (3.7) для 
.
Для 
(таблиця 2.3):
Підставивши ці значення функцій в систему рівнянь (3.6) отримаємо:
Система рівнянь однорідна. В цій системі з трьох рівнянь незалежних тільки два, тому визначити невідомі можна тільки с точністю до сталої.
Приймемо 
. Тоді з першого та третього рівнянь отримаємо 
.
Знайдені з точністю до сталої переміщення вузлів визначать форму втрати стійкості рами.
Такі ж значення ми маємо отримати з любих двох рівнянь, однак внаслідок того, що корінь рівняння стійкості знайдено не зовсім точно, визначник системи рівнянь відрізнятиметься від нуля, тому будуть незначно відрізнятися і значення , знайдені з других пар рівнянь.
За отриманими значеннями переміщень вузлів будуємо форму втрати стійкості.
Рисунок 3.20 - Втрата стійкості за кососиметричною формою
3.1.4.6 Визначення приведених довжин стиснених стержнів
Для того, щоб визначити приведені довжини стиснених стержнів, необхідно знати параметри стійкості цих стержнів. У пункті 2.5.4 були визначені параметри стійкості всіх стержнів: 
; 
; 
; 
.
Визначивши параметри стійкості стиснених стержнів рами знаходимо коефіцієнти приведення довжин. Коефіцієнти приведення довжин стиснених стержнів визначаються за формулою: .
; 
; 
; 
.
Приведенні довжини стержнів визначаються за формулою: .
; 
;
; 
;
3.1.4.8 Визначення критичного навантаження на раму
Критичний параметр навантаження, який відповідає втраті стійкості рами за симетричною формою, дорівнює 
.
Критичний параметр навантаження, який відповідає втраті стійкості рами за кососиметричною формою, дорівнює 
.
Порівнюючи отримані результати робимо висновок, що рама втратить стійкість за кососиметричною формою