Импульс в специальной теории относительности (СТО). Энергия в СТО. Энергия покоя. Эквивалентность массы и энергии

А. Эйнштейн заложил основы специальной теории относительности (СТО). Эта теория представляет собой современную физическую теорию пространства и времени, в которой, как и в классической ньютоновской механике, предполагается, что время однородно, а пространство однородно и изотропно. Специальная теория относительности часто называется также релятивистской теорией, а специфические явления, описываемые этой теорией, — релятивистскими эффектами.

В основе специальной теории относительности лежат постулаты Эйнштейна, сформулированные им в 1905 г.

I. Принцип относительности: никакие опыты (механические, электрические, оптические), проведенные внутри данной инерциальной системы отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой.

II. Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Первый постулат Эйнштейна, являясь обобщением механического принципа относительности Галилея на любые физические процессы, утверждает, таким образом, что физические законы инвариантны по отношению к выбору инерциальной системы отсчета, а уравнения, описывающие эти законы, одинаковы по форме во всех инерциальных системах отсчета. Согласно этому постулату, все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны, т. е. явления (механические, электродинамические, оптические и др.) во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково. Согласно второму постулату Эйнштейна, постоянство скорости света — фундаментальное свойство природы, которое констатируется как опытный факт.

Специальная теория относительности потребовала отказа от привычных представлений о пространстве и времени, принятых в классической механике, поскольку они противоречили принципу постоянства скорости света. Потеряло смысл не только абсолютное пространство, но и абсолютное время.

Постулаты Эйнштейна и теория, построенная на их основе, установили новый взгляд на мир и новые пространственно- временные представления, такие, например, как относительность длин и промежутков времени, относительность одновременности событий.

Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина попостоянная. Однако в конце XIX столетия на опытах с быстро движущимися электронами было установлено, что масса тела зависит от скорости его движения, а

именно возрастает с увеличением скорости по закону

. (1)

где — масса покоя материальной точки, т. е. масса, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой материальная точка находится в покое; с — скорость света в вакууме; — масса точки в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью . Следовательно, масса одной и той же частицы различна в разных инерциальных системах отсчета.

Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной (Инвариантность – это неизменность, постоянство; независимость) системы отсчета к другой, следует условие

инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца.

Основной закон динамики Ньютона: оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса.

Основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет вид

(2), или (3), где (4) — релятивистский импульс материальной точки.

В силу однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Часто вообще не оговаривают, что рассматривают релятивистский импульс, так как если тела движутся со скоростями, близкими к , то можно использовать только релятивистское выражение для импульса.

Анализ формул (1), (4) и (2) показывает, что при скоростях, значительно меньших скорости света, уравнение (2) переходит в основной закон классической механики ( ). Следовательно, условием применимости законов классической (ньютоновской) механики является условие . Законы классической механики получаются как следствие теории относительности для предельного случая (формально переход осуществляется при ). Таким образом, классическая механика — это механика макротел, движущихся с малыми скоростями (по сравнению со скоростью света в вакууме).

Найдем кинетическую энергию релятивистской частицы (материальной точки).

Приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении

равно работе силы на этом перемещении: или . (5)

Учитывая, что , и подставив в (5) выражение (2), получаем: .

Преобразовав данное выражение с учетом того, что , и формулы (1), приведем к выражению (6),

т. е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы.

Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя , то, проинтегрировав (6), получим (7), или кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид (8).

Выражение (8) при скоростях переходит в классическое: (разлагая в ряд при , правомерно пренебречь членами второго порядка малости).

А. Эйнштейн обобщил положение (6), предположив, что оно справедливо не только для кинетической энергии частицы (материальной точки), но и для полной энергии, а именно любое изменение массы сопровождается изменением полной энергии частицы (материальной точки): (9).

Отсюда А. Эйнштейн пришел к универсальной зависимости между полной энергией тела и его массой : (10).

Уравнение (10), равно как и (9), выражает фундаментальный закон природы — закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме. Отметим, что в полную энергию Е не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле.

Закон (10) можно, учитывая выражение (7), записать в виде , откуда следует, что покоящееся тело (Т = 0) также обладает энергией , называемой энергией покоя. Классическая механика энергию покоя не учитывает, считая, что при энергия покоящегося тела равна нулю.

В силу однородности времени в релятивистской механике, как и в классической, выполняется закон сохранения энергии: полная энергия замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Из формул (10) и (4) найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом частицы: , .

Возвращаясь к уравнению (10), отметим еще раз, что оно имеет универсальный характер. Оно применимо ко всем формам энергии, т. е. можно утверждать, что с энергией, какой бы формы она ни была, связана масса и, наоборот, со всякой массой связана

определенная энергия (10).

Чтобы охарактеризовать прочность связи и устойчивость системы каких-либо частиц (например, атомного ядра как системы из протонов и нейтронов), рассматривают энергию связи. Энергия связи системы равна работе, которую необходимо затратить, чтобы разложить эту систему на составные части (например, атомное ядро — на протоны и нейтроны). Энергия связи системы , где — масса покоя - ой частицы в свободном состоянии; — масса покоя системы, состоящей из частиц.

Закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии блестяще подтвержден экспериментом о выделении энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергетических эффектов при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.

Электрический диполь. Действие электрического поля на диполь. Электрическое поле в диэлектриках. Полярные и неполярные молекулы. Поляризация диэлектриков. Диэлектрическая проницаемость.

(1) - принцип суперпозиции (наложения) электрических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Принцип суперпозиции позволяет рассчитать электростатические поля любой системы неподвижных зарядов, поскольку если заряды не точечные, то их можно всегда свести к совокупности точечных зарядов.

Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля электрического диполя. Электрический диполь — система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+ Q, — Q), расстояние между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Вектор, направленный по оси диполя прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя . Вектор (2) совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению заряда на плечо , называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом (рис.).

Согласно принципу суперпозиции (1), напряженность Е поля диполя в произвольной точке , где и — напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами.

Диэлектрик (как и всякое вещество) состоит из атомов и молекул. Так как положительный заряд всех ядер молекулы равен суммарному заряду электронов, то молекула в целом электрически нейтральна. Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядом +Q, находящемся в центре «тяжести» положительных зарядов, а заряд всех электронов — суммарным отрицательным зарядом — Q, находящемся в центре

«тяжести» отрицательных зарядов, то молекулу можно рассматривать как

электрический диполь с электрическим моментом, определенным формулой (2).

Первую группу, диэлектриков (N₂, Н₂,О₂, СО₂, СН₄, ..) составляют вещества, молекулы которых имеют симметричное строение, т. е. центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов в отсутствие внешнего электрического поля совпадают и, следовательно, дипольный момент молекулы р равен нулю. Молекулы таких диэлектриков называются неполярными. Под действием внешнего электрического поля заряды неполярных молекул смещаются в противоположные стороны (положительные по полю, отрицательные против поля) и молекула приобретает дипольный момент.

Вторую группу диэлектриков (Н₂О,NH₃, SO₂, CO, ...) составляют вещества, молекулы которых имеют асимметричное строение, т. е. центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Таким образом, эти молекулы в отсутствие внешнего электрического поля обладают дипольным моментом. Молекулы таких диэлектриков называются полярными. При отсутствии внешнего поля, однако, дипольные моменты полярных молекул вследствие теплового движения ориентированы в пространстве хаотично и их результирующий момент равен нулю. Если такой диэлектрик поместить во внешнее поле, то силы этого поля будут стремиться повернуть диполи вдоль поля и возникает отличный от нуля результирующий момент.

Третью группу диэлектриков (NaCl, КСl, КВг,...) составляют вещества, молекулы которых имеют ионное строение. Ионные кристаллы представляют собой

пространственные решетки с правильным чередованием ионов разных знаков. В этих

кристаллах нельзя выделить отдельные молекулы, а рассматривать их можно как

систему двух вдвинутых одна в другую ионных подрешеток. При наложении на

ионный кристалл электрического поля происходит некоторая деформация кристаллической решетки или относительное смещение подрешеток, приводящее к возникновению дипольных моментов.

Таким образом, внесение всех трех групп диэлектриков во внешнее электрическое поле приводит к возникновению отличного от нуля результирующего электрического момента диэлектрика, или, иными словами, к поляризации диэлектрика. Поляризацией диэлектриканазывается процесс ориентации диполей или появления под воздействием электрического поля ориентированных по полю диполей.

Соответственно трем группам диэлектриков различают три вида поляризации:

электронная, или деформационная, поляризациядиэлектрика с неполярными

молекулами, заключающаяся в возникновении у атомов индуцированного дипольного момента за счет деформации электронных орбит;

ориентационная, или димольная, поляризация диэлектрика с полярными молекулами, заключающаяся в ориентации имеющихся дипольных моментов молекул по полю. Естественно, что тепловое движение препятствует полной ориентации молекул, но в результате совместного действия обоих факторов (электрическое поле и тепловое движение) возникает преимущественная ориентация дипольных моментов молекул по полю. Эта ориентация тем сильнее, чем больше напряженность электрического поля и ниже температура;

ионная поляризация диэлектриков с ионными кристаллическими решетками, заключающаяся в смещении подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных — против поля, приводящем к возникновению дипольных моментов.

При помещении диэлектрика во внешнее электростатическое поле он поляризуется,

т. е. приобретает отличный от нуля дипольный момент , где — дипольный момент одной молекулы. Для количественного описания поляризации диэлектрика пользуются векторной величиной — поляризованностью, определяемой как дипольный момент единицы объема диэлектрика: . (2)

Из опыта следует, что для большого класса диэлектриков поляризованность Р линейно зависит от напряженности поля Е. Если диэлектрик изотропный и Е не слишком велико, то (3), где —диэлектрическая восприимчивость вещества, характеризующая свойства диэлектрика; — величина безразмерная; притом всегда >0 и для большинства диэлектриков (твердых и жидких) составляет несколько единиц (хотя, например, для спирта , для воды = 80).

Для установления количественных закономерностей поля в диэлектрике внесем в однородное внешнее электростатическое поле (создается двумя бесконечными

параллельными разноименно заряженными плоскостями) пластинку из однородного диэлектрика, расположив ее так, как показано на рис.

Под действием поля диэлектрик поляризуется, т. е. происходит смещение зарядов: положительные смещаются по полю, отрицательные — против поля. В результате этого на правой грани диэлектрика, обращенного к отрицательной плоскости, будет избыток положительного заряда с поверхностной плотностью , на левой — отрицательного заряда с поверхностной плотностью . Эти не скомпенсированные заряды, появляющиеся в результате поляризации диэлектрика, называются связанными. Так как их поверхностная плотность меньше плотности свободных зарядов плоскостей, то не все поле Е компенсируется полем зарядов диэлектрика: часть линий напряженности пройдет сквозь диэлектрик, другая же часть—обрывается на связанных зарядах. Следовательно, поляризация

диэлектрика вызывает уменьшение в нем поля по сравнению с первоначальным

внешним полем. Вне диэлектрика .

Таким образом, появление связанных зарядов приводит к возникновению дополнительного электрического поля (поля, создаваемого связанными зарядами),

которое направлено против внешнего поля (поля, создаваемого свободными зарядами) и ослабляет его. Результирующее поле внутри диэлектрика .

Поле (поле, созданное двумя бесконечными заряженными плоскостями), поэтому . (4)

Определим поверхностную плотность связанных зарядов . По (2) , полный

дипольный момент пластинки диэлектрика , где S — площадь грани пластинки, d — ее толщина. С другой стороны, полный дипольный момент, согласно (3), равен произведению связанного заряда каждой грани на расстояние d между ними, т. е. . Таким образом, , или (5), т.е. поверхностная плотность связанных зарядов равна поляризованности Р.

Подставив в (4) выражения (5) и (3), получим ,откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна . (6)

Безразмерная величина (7) называется диэлектрической проницаемостью среды. Сравнивая (6) и (7), видим, что показывает, во сколько раз поле ослабляется диэлектриком, характеризуя количественно свойство диэлектрика поляризоваться в электрическом поле.