Обчислення геометричних характеристик плоских перерізів

Приклад 1. Для перерізу у вигляді прямокутного трикутника визначити центральні моменти інерції (рис. 3.1).

Розв’язання. Спочатку визначаємо моменти інерції .

Маємо: ; .

Вибираємо елементарну площадку dF (рис. 3.1). Маємо:

.

Рис. 3.1

Отже,

.

Аналогічно знаходимо

.

Далі обчислюємо відцентровий момент інерції:

.

У цьому випадку

.

Тоді

.

І, нарешті, моменти інерції перерізу відносно центральних осей y і z дорівнюють:

;

Приклад 2. Для нерівнобокого кутика (рис. 3.2) визначити відцентровий момент інерції .

Дано: нерівнобокий кутик 125´80´10мм (ДСТУ 8510-86); ; ; ; ; ; .

Осі u і v головні центральні осі.

Розв’язання.

Цю задачу розв’язуємо двома способами.

Рис. 3.2

Перший спосіб. Маємо:

.

Додатний кут відкладають від осі у проти ходу годинникової стрілки.

Оскільки ,

.

Звідси знаходимо відцентровий момент інерції:

.

Оскільки то

.

Другий спосіб. Маємо:

.

Із урахуванням того, що ,

.

Тут кут відкладається від осі v за ходом годинникової стрілки, отже, він від’ємний.

Значення знаходимо із співвідношення

.

Звідси

312 + 100 – 59,3 = 353 см⁴.

Далі sin 44 = 0,695.

Отже, .

Приклад 3. Для складного перерізу (рис. 3.3, а), який складається з двотавра (рис. 3.3,б) і швелера (рис. 3.3, в). Визначити положення головних центральних осей і значення головних центральних моментів інерції перерізу , .

Рис. 3.3

Дані для розрахунку:

двотавр №24 швелер №16:

(ДСТУ 8239-89) (ДСТУ 8240-97)

; ;

; ;

; ;

.

Розв’язання:

1. Визначаємо положення центра ваги перерізу. Координати центра ваги перерізу можна знайти за формулами:

.

Осі у і z сумісні з осями . Спочатку обчислюємо площу перерізу F:

.

Визначаємо статичні моменти перерізу:

;

.

Отже,

.

За цими даними позначаємо на рис. 3.3.а положення центра ваги перерізу O і проводимо центральні осі і .

2. Визначаємо моменти інерції перерізу відносно осей і

;

3. Знаходимо положення головних центральних осей інерції перерізу :

.

Цей кут відкладаємо від осі за годинниковою стрілкою (рис.3.3,а).

4. Визначаємо значення головних центральних моментів інерції перерізу:

.

Звідси:

;

.

Отже,

3540 см⁴;

1756 см⁴.

Перевірка:

;

3535 + 1762 3540 + 1756, 5297 5296.

Різниця , що допустимо.

Приклад 4. Для перерізу (рис. 3.4), який складається з швелера (рис. 3.5, а), нерівнополочного кутика (рис. 3.5, б) і пластини (рис. 3.5, в), визначити положення головних центральних осей і значення головних центральних моментів інерції перерізу , .

Дані для розрахунку:

Швелер №27 Кутик Пластина

(ДСТУ 8240-97) нерінополочний

12,5/8(12)

(ДСТУ 8510-86)

Площа перерізу Площа перерізу Площа перерізу

F= 35,20 см² ; F=23,36 см²; F= 8,4 см²;

І_y1= 4160,0 см⁴; I_z3=364,79 см⁴; h= 0,6 см;

І_z1= 262,0 см⁴; І_y3=116,84 см⁴; b= 14 см..

y₀= 2,47 см; I_{u min}=85,51 см⁴;

h= 27 см; y₀=4,22 см; b= 9,5 см.

z₀= 2,0 см; b= 12,5 см;

h=8,0 см; кут нахилу осі: tgα =0,4

Рис. 3.4

Рис. 3.5

Розв’язання:.

1. Визначаємо положення центра ваги перерізу.

Координати центра ваги перерізу можна знайти за формулами:

.

Осі у і z сумісні з осями .

Спочатку обчислимо площу перерізу F:

.

Визначимо статичні моменти перерізу

.

Отже,

За цими даними наносимо на рис. 3.4 положення центра ваги перерізу С і проводимо центральні осі і .

2. Визначимо моменти інерції перерізу відносно осей і :

Значення відцентрового моменту для кутика відносно осей у₂, z₂ можна отримати за формулою:

звідси:

Звідси відцентровий момент інерції відносно осей у_с , z_с:

Далі можна визначити положення головних центральних осей інерції перерізу у ₀ , z₀

Тут tgα=0,4; α=22º. tg44º =0,965

Цей кут відкладаємо від осі за годинниковою стрілкою (рис. 3.4).

3. Визначимо значення головних центральних моментів інерції перерізу:

Звідси:

,

.

Отже,

9247,4 см⁴; 1151,6 см⁴.

Перевірка:

,

8616 + 1783 = 9247,4 + 1151,6;

10339 = 10339.

Методичні рекомендації

Опір бруса різним видам деформації залежить від його матеріалу і розмірів, від форми і розташування поперечних перерізів. Тому при розрахунках на міцність і жорсткість доводиться користуватися різними величинами, які характеризують плоскі перерізи бруса. Так, у розрахунках при розтяганні (стисканні) і зсуві використовують характеристику перерізу площу, при крученні полярний момент інерції. Під час знаходження положення центра ваги використовують статичні моменти, при згинанні осьові та відцентрові моменти інерції перерізів.

У разі визначення осьових моментів інерції широко використовують формули, які показують залежність моментів інерції відносно паралельних осей і осей, повернутих на будь-який кут відносно заданих. Необхідно з’ясувати, що формули для паралельного перенесення осей справедливі, якщо одна з них центральна, тобто проходить через центр ваги перерізу.

Особливу увагу слід звернути на визначення головних осей і головних моментів інерції, зрозуміти, що головні осі не обов’язково проходять через центр ваги перерізу.

Під час розв’язання задач необхідно врахувати, що відцентрові моменти інерції залежно від положення перерізів і осей можуть бути додатними, від’ємними і дорівнювати нулю, а осьові моменти завжди додатними.

Запитання для самоперевірки

1. Що називають осьовим, полярним і відцентровим моментами інерції перерізу і які їхні розмірності?

2. За якими формулами знаходять координати центра ваги плоскої фігури?

3. Чому дорівнює сума осьових моментів інерції відносно двох взаємно перпендикулярних осей?

4. Які осі називаються головними?

5. Для яких фігур можна без обчислення встановити положення головних центральних осей?

6. Відносно яких центральних осей осьові моменти інерції мають найбільші й найменші значення?

7. Який з двох моментів інерції квадратного перерізу більший відносно центральної осі, що проходить паралельно сторонам, або відносно осі, яка проходить крізь діагональ?

Плоске згинання