Определение устойчивости положения равновесия

Рассмотрим положение равновесия на примере одного твердого тела(стержня) с горизонтальной осью вращения, проходящей через точку О (рис. 3 а, б, в). Стержень имеет два положения равновесия при = 0⁰ и =180⁰. Дадим стержню достаточно малое начальное отклонение от положения равновесия и начальную угловую скорость. Если действующие на стержень силы стремятся вернуть его в положение равновесия, то такое положение равновесие считается устойчивым.

а)	б)	в)
Рис. 3

(положение равновесия при = 0⁰, рис 3 а). В том случае, когда силы еще дальше отклоняют стержень от положения равновесия, положение равновесия является неустойчивым(положение равновесия при 180⁰ , рис. б).

Если стержень, получив малое отклонение от положения равновесия, остается в равновесии в новом положении, то такое положение равновесия называется безразличным. Примером может служить равновесие стержня, у которого закрепленная точка совпадает с центром масс( рис. 3 в). При сообщении стержню, кроме начального отклонения, малой начальной угловой скорости безразличное положение равновесия следует отнести к неустойчивому, так как стержень будет удаляться дальше от положения равновесия по инерции с заданной угловой скоростью.

Все изложенное выше справедливо для любой механической системы. Наибольший интерес представляет устойчивое положение равновесия, так как в таком положении система может находиться длительно или совершать колебания около этого положения равновесия.

Строгое определение понятия устойчивости положения равновесия для системы с любым конечным числом степеней свободы было дано в конце XIX века русским ученым А.М. Ляпуновым.

Условимся обобщенные координаты отсчитывать от положения равновесия системы, т.е. принимать их равными нулю в положении равновесия. Начальное возмущение системы состоит из начальных значений обобщенных координат и начальных обобщенных скоростей .

По Ляпунову, равновесие системы называется устойчивым, если для любого достаточно малого можно выбрать два других таких малых числа и , что при удовлетворении условий и в любой момент времени все обобщенные координаты подчиняются условиям , .

Таким образом, по Ляпунову, положение равновесия считается устойчивым, если можно задать достаточно малые области изменения начальных значений обобщенных координат и скоростей, для которых величины обобщенных координат системы ограничены заданной e окрестностью вблизи положения равновесия.

В положении равновесия механической системы каждая обобщенная сила равна нулю. Для случая потенциального силового поля , . Следовательно, в положении любого равновесия , поэтому потенциальная энергия достигает своего экстремального значения.

1.2. Теорема Лагранжа–Дирихле

Теорема Лагранжа–Дирихле устанавливает достаточные условия устойчивости положения равновесия системы. Приведем ее без доказательства.

Теорема Лагранжа–Дирихле. Для устойчивого положения равновесия системы, подчиненной голономным, идеальным, стационарным и неосвобождающим связям и находящейся в стационарном потенциальном силовом поле, достаточно, чтобы потенциальная энергия в положении равновесия имела изолированный относительный минимум.

В некоторых случаях важно установить неустойчивость положения равновесия. Это можно сделать на основании следующих теорем Ляпунова.

1. Равновесие консервативной системы неустойчиво, если потенциальная энергия системы в положении равновесия не имеет минимума и отсутствие минимума определяется слагаемыми второго порядка малости в разложении потенциальной энергии в ряд по степеням обобщенных координат.

2. Равновесие консервативной системы неустойчиво, если потенциальная энергия системы в положении равновесия имеет максимум и наличие максимума определяется членами наименьшего порядка малости в разложении потенциальной энергии в ряд по степеням обобщенных координат.

2. Кинетическая и потенциальная энергии и диссипативная
функция в окрестности устойчивого положения равновесия

Пусть система, на которую наложены голономные, идеальные, неосвобождающие и стационарные связи, состоит из N точек и движется вблизи положения равновесия. Система имеет n степеней свободы и ее обобщенные координаты отсчитываются от положения равновесия. Для рассмотрения малых колебаний системы получим разложения кинетической и потенциальной энергий и диссипативной функции в окрестности устойчивого положения равновесия.

2.1. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия системы для нестационарных связей:

, (2.1)

где – масса k-й точки системы; – скорость k-й точки системы в обобщенных координатах имеет вид

.

С учетом выражения (2.1), кинетическая энергия в обобщенных координатах примет вид

.

Меняем порядок суммирования,

. (2.2)

Введем обозначения:

. (2.3)

Тогда выражение (2.2) с учетом обозначений (2.3) примет вид

.

Обозначим:

.

Теперь кинетическая энергия представлена как сумма трех слагаемых:

. (2.4)

Слагаемые в выражении (2.4) являются однородными функциями обобщенных скоростей со степенями однородности, равными соответственно двум, единице и нулю.

В случае стационарных связей и, следовательно, , а кинетическая энергия системы ,

,

где – не зависят явно от времени.

Последнее выражение показывает, что кинетическая энергия механической системы со стационарными связями является квадратичной формой обобщенных скоростей. Так как кинетическая энергия всегда положительна, то эта форма положительно определенная.

Коэффициенты зависят только от обобщенных координат. Разложим их в ряд по степеням обобщенных координат в окрестности положения равновесия

Постоянные величины называются коэффициентами инерции системы.

Отбрасывая члены третьего и более высокого порядка по отношению к , получаем выражение для кинетической энергии в виде

,

где .

Для случая системы с двумя степенями свободы имеем

.

Если система имеет одну степень свободы, то кинетическая энергия имеет вид:

. (2.5)

2.2. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия системы П для стационарного силового поля и стационарных связей является функцией только обобщенных координат:

. (2.6)

Разлагая выражение (2.6) в ряд Маклорена по степеням q в окрестности устойчивого положения равновесия, получим:

Потенциальная энергия в положении равновесия равна нулю , величины - – обобщенные силы в положении равновесия так же равны нулю для рассматриваемой механической системы.

Постоянные величины:

называются коэффициентами жесткости.

Удерживая члены второго порядка и пренебрегая слагаемыми третьего и более высокого порядка относительно обобщенных координат, потенциальную энергию выразим в форме

.

В том случае, когда потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, т.е. положение равновесия является устойчивым, она с принятой точностью выражается определенно–положительной квадратичной формой.

Для случая системы с двумя степенями свободы имеем

.

Если система имеет одну степень свободы, то

. (2.7)

2.3. Диссипативная функция

Предположим, что механическая система движется в сопротивляющейся среде, влияние которой характеризуется действиями на каждую точку системы силы, являющейся функцией скорости и имеющей направление, противоположное скорости. При малых скоростях можно считать, что обобщенная сила сопротивления есть линейная функция обобщенных скоростей.

Пусть на точки системы действуют линейные силы сопротивления , пропорциональные скоростям точек , т.е.

,

где – постоянные коэффициенты сопротивления.

Обобщенная сила сил сопротивления может быть выражена в форме:

.

– называется диссипативной функцией или функцией Рэлея.

Тогда обобщенная сила примет вид

.

Диссипативная функция в общем случае характеризует скорость убывания полной механической энергии вследствие действия линейных сил сопротивления. Можно сказать, что .

Выполнив для F разложение в ряд в окрестности положения равновесия и отбросив члены третьего и более высокого порядков, так же как и для кинетической энергии, получим:

.

Постоянные – называются приведенными коэффициентами сопротивления. Квадратичная форма для F по своей физической сущности являются определенно положительной.

Для случая системы с двумя степенями свободы имеем

.

Если система имеет одну степень свободы, то диссипативная функция имеет вид:

.