Плоское напряженное состояние

Плоским или двухосным называется напряженное состояние, при котором одно из трех главных напряжений равно нулю.

На рис.3.8 показано плоское напряженное состояние.

Прямая задача.

Плоское напряженное состояние - student2.ru Определим напряжения sx и txy, действующие по любой наклонной площадке a по известным главным напряжениям Плоское напряженное состояние - student2.ru и Плоское напряженное состояние - student2.ru , т.е. решим так называемую прямую задачу теории напряженного состояния.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом независимости действия сил.

Представим плоское напряженное состояние в виде суммы двух независимых линейных напряженных состояний: первое – при действии только напряжений s1, второе – при действии только напряжений s2 (рис.3.9)

От каждого из напряжений s1, s2 напряжения sx1, sx2 и txy1,txy2 в произвольной площадке равны

Плоское напряженное состояние - student2.ru

Плоское напряженное состояние - student2.ru Плоское напряженное состояние - student2.ru

Таким образом, суммируя напряжения, возникшие при каждом линейном напряженном состоянии, получим

Плоское напряженное состояние - student2.ru

(3.1)

Плоское напряженное состояние - student2.ru

Если рассмотреть площадку с углом наклона Плоское напряженное состояние - student2.ru , перпендикулярную к площадке a, то можно доказать как и для линейного напряженного состояния, что

Плоское напряженное состояние - student2.ru

(3.2)

Плоское напряженное состояние - student2.ru

Суммируя нормальные напряжения, действующие по взаимно перпендикулярным произвольным площадкам, получим

Плоское напряженное состояние - student2.ru .

Сравнивая величины касательных напряжений, получим

Плоское напряженное состояние - student2.ru .

Наибольшие касательные напряжения действуют по площадкам, наклоненным к главным под углом a = 45о

Плоское напряженное состояние - student2.ru .

Частные случаи плоского напряженного состояния

Всестороннее растяжение

Напряженное состояние, при котором главные напряжения, действующие по граням параллелепипеда равны между собой Плоское напряженное состояние - student2.ru = Плоское напряженное состояние - student2.ru = s, называется всесторонним растяжением. В этом случае, получим

Плоское напряженное состояние - student2.ru , Плоское напряженное состояние - student2.ru ,

Плоское напряженное состояние - student2.ru , Плоское напряженное состояние - student2.ru ,

то есть, нормальные напряжения в любой произвольной площадке равны между собой Плоское напряженное состояние - student2.ru = Плоское напряженное состояние - student2.ru = Плоское напряженное состояние - student2.ru = Плоское напряженное состояние - student2.ru = s, а касательные напряжения равны нулю: Плоское напряженное состояние - student2.ru , Плоское напряженное состояние - student2.ru .

Чистый сдвиг

Пусть по граням параллелепипеда действуют главные напряжения Плоское напряженное состояние - student2.ru =s, Плоское напряженное состояние - student2.ru = - s , (рис.3.10).

Определим величины нормальных и касательных напряжений, действующих в площадках повернутых под углом 45о к главным. Из формул (3.1) получим, что

Плоское напряженное состояние - student2.ru

Плоское напряженное состояние - student2.ru

Напряженное состояние, при котором по граням выделенного элемента действуют только касательные напряжения, называется чистым сдвигом, а площадки - площадками чистого сдвига.

Экспериментально установлено, что существует линейная зависимость между углом сдвига g и касательными напряжениями t (рис.3.11), являющейся законом Гука при сдвиге

Плоское напряженное состояние - student2.ru ,

где G – модуль сдвига, характеризующий способность материала сопротивляться сдвиговой деформации, т.е. характеризующая жесткость материала при сдвиге.

Величина модуля сдвига связана с модулем упругости при растяжении Е и коэффициентом Пуассона ν соотношением

 
  Плоское напряженное состояние - student2.ru

Плоское напряженное состояние - student2.ru .

Обратная задача

В расчетной практике часто известны не главные напряжения, а напряжения, действующие по некоторым направлениям, например, вдоль продольной линии стержня или балки, по их величинам следует определять главные напряжения, так как именно они играют часто наибольшую роль при оценке прочности элемента конструкции. Таким образом, может быть поставлена обратная задача теории напряженного состояния: по известным напряжениям sx и sy, τxy, действующим по двум взаимно перпендикулярным площадкам найти величины главных напряжений Плоское напряженное состояние - student2.ru и Плоское напряженное состояние - student2.ru и положения главных площадок (угол α0).

Пусть для определенности положим Плоское напряженное состояние - student2.ru . Из формул (3.1) и (3.2), можно получить

Плоское напряженное состояние - student2.ru (3.3)

Исключив из этих формул Плоское напряженное состояние - student2.ru и Плоское напряженное состояние - student2.ru , получим формулу для определения угла наклона главных площадок относительно заданной площадки. Обозначим этот угол Плоское напряженное состояние - student2.ru . Так как направление отсчета углов Плоское напряженное состояние - student2.ru для площадки произвольного положения и угла Плоское напряженное состояние - student2.ru противоположны, то в полученной формуле необходимо изменить знак. Положительный угол Плоское напряженное состояние - student2.ru будем откладывать от направления внешней нормали к площадке, по которой действуют большие нормальные напряжения Плоское напряженное состояние - student2.ru против хода часовой стрелки.

Плоское напряженное состояние - student2.ru .

Откуда

Плоское напряженное состояние - student2.ru Плоское напряженное состояние - student2.ru .

Для определения Плоское напряженное состояние - student2.ru и Плоское напряженное состояние - student2.ru возведем каждое из соотношений (3.3) в квадрат и сложим их:

Плоское напряженное состояние - student2.ru ,

тогда

Плоское напряженное состояние - student2.ru ,

а так как Плоское напряженное состояние - student2.ru + Плоское напряженное состояние - student2.ru = Плоское напряженное состояние - student2.ru , то из двух последних соотношений получим:

Плоское напряженное состояние - student2.ru (3.4)

Большее главное напряжение Плоское напряженное состояние - student2.ru действует на площадке с углом наклона a0, вторая же главная площадка с напряжением Плоское напряженное состояние - student2.ru ей перпендикулярна и ее нормаль наклонена под углом Плоское напряженное состояние - student2.ru к направлению Плоское напряженное состояние - student2.ru .

Положение главных площадок и направления главных напряжений представлены на рис.3.12.

Главные напряжения обладают свойствами экстремальности, т.е. Плоское напряженное состояние - student2.ru наибольшее, а Плоское напряженное состояние - student2.ru наименьшее при любом положении секущей пары взаимно перпендикулярных плоскостей.

  1. Понятие о пластическом шарнире. Определение несущей способности балок.

Ответ:

ПЛАСТИЧЕСКИЙ ШАРНИР (шарнир текучести) - сечение балки, полностью находящейся в пластич. состоянии. Понятие "П. ш." приобрело большое значение в связи с исследованием несущей способности стержневых и рамных конструкций. П. ш. возникает в наиб. напряжённых сечениях; напр., если шарнирно опёртая балка (рис.) находится под действием сосредоточенной силы Q, то при увеличении этой силы наибольший изгибающий момент возникает в точке, где образуется П. ш. Появление П. ш. уменьшает степень статич. непреодолимости конструкции и может сделать её статически определимой или даже геометрически изменяемой.

Плоское напряженное состояние - student2.ru

а - образование пластич. шарнира; б - сечение балки в области пластич. шарнира А.

Дальнейшее обобщение понятия П. ш. - цилиндрич. шарнир текучести, образующий прямую или кривую линию на поверхности пластинки или оболочки.

Наши рекомендации