Определители 2-го и 3-го порядка и их основные свойства.
Матрицы и основные действия над ними. Пример умножения двух матриц.
I. Сложение. Матрицы можно сложить, если у них одинаковые порядки. Если матрица 
и матрица 
, то 
Например:
.
II. Умножение на число.Если матрица и 
– число,то 
.
Например: если число = 2 и матрица 
, то 
III. Умножение матриц.МатрицыА и В можно перемножить, если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.
Например, нельзя перемножать две матрицы
и В =
Матрицы умножаются специальным правилом, например,
В общем случае АВ не равно ВА, но если это равенство выполняется, то матрицыА и В называются коммутирующими друг другу.
Матрица А-1 называется обратнойматрицей А, если выполняются соотношения:
Выполняются следующие свойства:
(А + В) + С = А + (В + С)
(A-1)-1 = A
(А 
В) С = А (В С)
(А В)-1 =B-1 A-1
3. Элементарные преобразования над матрицами. Эквивалентные матрицы. Приведение матриц к ступенчатому виду, пример.
Под элементарными преобразованиями над матрицей понимают:
1. Вычеркивание 0-го ряда;
2. Замена местами любых двух параллельных рядов;
3. Умножение на ненулевое число.
4. Транспонирование.
5. Умножение любого ряда на число.
6. Прибавление к любому ряду параллельного ряда, умноженное на любое ненулевое число.
Две матрицы АиВ называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. ЗаписываетсяА ~ В.
С помощью таких преобразований любую матрицу можно привести к ступенчатому (треугольному)виду; более того матрицу можно преобразовать таким образом, что останутся в конечном счете только 0 и 1. Число полученных 1 составляет ранг матрицы.
Пример. Привести матрицу к ступенчатому виду.
1. Меняем местами 1-ю и 2-ю строки, тогда
2. (-2) умножили на первую строку и прибавили ко 2-й строке; затем 1-ю строку умножили на (-4) и прибавили к 3-й строке.
3. 
затем 1-ю строку умножили на (-4) и прибавили к 3-й строке.
|
|
4. Вторую строку умножили на (-17/5) и прибавили к 3-ей.
|
Определители 2-го и 3-го порядка и методы их вычисления. Примеры.
Понятие определителя - число, характеризующее квадратную матрицу
, необходимо для решения систем линейных алгебраических уравнений.
Определитель матрицы обозначают 
, 
, 
.
1) Определителем матицы 1-го порядка 
, называется элемент 
: 
;
2) Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:
. Произведения 
называются членами определителя 2-го порядка.
Примеры:
3) Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:
.
Данная формула получила название правила треугольников или правило Саррюса. Оно символически записывается так:
.
Примеры:Вычислить определитель матрицы
.
Решение: 
.
Система трех линейных неоднородных алгебраических уравнений: определение и метод Крамера решения. Пример.
К такой относится система вида
Здесь 
Если хотя бы один свободный коэффициент не равен 0, то система называется неоднородной, если же 
– однородной. Однородная система обозначается символом 
и всегда имеет решение (хотя бы нулевое).
Неоднородная система совместна, т.е. имеет решение (причем единственное), если определитель основной матрицы не равен 0.
I. Крамер –метод решения системы.
Он заключается в использовании для записи решения формул 
где 
заменой соответственно первого, второго и 3-го столбцов и свободных коэффициентов.
Ответ: 
Например, разрешим систему:
Ответ: 
Сложение векторов
Суммой двух векторов 
и 
называется вектор 
, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , отложенного из конца вектора (правило треугольника).
Суммой векторов 
и называется такой третий вектор 
, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы и служат сторонами параллелограмма, а вектор – его диагональю (называется сложением по правилу параллелограмма).
Сумма любого конечного числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника: чтобы построить сумму конечного числа векторов, достаточно совместить начало каждого последующего вектора с концом предыдущего и построить вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.
При сложении векторов выполняется переместительныйзакон, т.е. 
+ 
= +
и сочетательныйзакон, т.е. ( + )+ 
= +( + )
Вычитание векторов
Под разностью векторов 
и 
понимается вектор 
такой, что 
(см. рис. 5).
Умножение вектора на число
Произведением вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна |k|⋅| |, причем векторы сонаправлены, если k>0, и противоположно направлены, если k<0.
Произведение нулевого вектора на любое число есть нулевой вектор.
Обозначение 
Вектора и 
коллинеарны для любого k. Если два вектора и коллинеарны – то существует такое число k, что =k .
Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.
Для любых векторов и и чисел k и l справедливы следующие законы:
Сочетательный: (kl)a→=k(l )
Первый распределительный: k( + )=k +k
Второй распределительный: (k+l) =k +l
Разложение вектора по базисным ортам. Направляющие косинусы. Длины векторов. Примеры.
Единичные векторы 
выходящие из начала координат в положительных направлениях осей OX, OYи OZназываются ортами этих осей.
Любой вектор 
можно разложить по ортам осей координат: 
, или
(на плоскости).
Пример:
Задание. Вектор 
задан своими координатами: 
. Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.
Решение.
Числа 
называются направляющими косинусами вектора .
Направляющие косинусы вектора определяются соотношениями:
, ясно что 
Пример: а = (3; -6; 2).
Длина вектора называется его модулем и обозначается 
Если 
Если 
Пример: а = (3; -6; 2).
17. Ортогональные, коллинеарные и компланарные векторы: определения и примеры. Условия ортогональности, коллинеарности и компланарности.
Два вектора называются ортогональными, если в пересечении они образуют прямой угол, т.е. угол в 90о.
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых.
Три вектора называются компланарными , если они лежат в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.
Условие ортогональности векторов. Два вектора и 
ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю. · = 0
Условия коллинеарности
Ø Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
a = n · b
Ø Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
Ø Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.
Условия компланарности векторов
Ø Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.
Ø Три вектора компланарны если они линейно зависимы.
Ø Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.
(НУЖНЫ ПРИМЕРЫ)
Условия коллинеарности
Ø Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
a = n · b
Ø Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
Ø Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.
Канон –от греч.в переводе означает типовое, образцовое.
Любой вектор лежащий на прямой l либо на 
прямой, называется направляющим вектором l.
Рассматривается прямая l.
Пусть 
фиксированная точка на прямой. М – текущая точка, т.е. произвольная.
 |
Тогда векторы 
коллинеарны, а значит их соответствующие координаты должны быть пропорциональны.
Если 
, то 
Если 
, то аналогично 
Матрицы и основные действия над ними. Пример умножения двух матриц.
I. Сложение. Матрицы можно сложить, если у них одинаковые порядки. Если матрица и матрица , то
Например:
.
II. Умножение на число.Если матрица и – число,то .
Например: если число = 2 и матрица , то
III. Умножение матриц.МатрицыА и В можно перемножить, если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.
Например, нельзя перемножать две матрицы
и В =
Матрицы умножаются специальным правилом, например,
В общем случае АВ не равно ВА, но если это равенство выполняется, то матрицыА и В называются коммутирующими друг другу.
Матрица А-1 называется обратнойматрицей А, если выполняются соотношения:
Выполняются следующие свойства:
(А + В) + С = А + (В + С)
(A-1)-1 = A
(А В) С = А (В С)
(А В)-1 =B-1 A-1
3. Элементарные преобразования над матрицами. Эквивалентные матрицы. Приведение матриц к ступенчатому виду, пример.
Под элементарными преобразованиями над матрицей понимают:
1. Вычеркивание 0-го ряда;
2. Замена местами любых двух параллельных рядов;
3. Умножение на ненулевое число.
4. Транспонирование.
5. Умножение любого ряда на число.
6. Прибавление к любому ряду параллельного ряда, умноженное на любое ненулевое число.
Две матрицы АиВ называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. ЗаписываетсяА ~ В.
С помощью таких преобразований любую матрицу можно привести к ступенчатому (треугольному)виду; более того матрицу можно преобразовать таким образом, что останутся в конечном счете только 0 и 1. Число полученных 1 составляет ранг матрицы.
Пример. Привести матрицу к ступенчатому виду.
1. Меняем местами 1-ю и 2-ю строки, тогда
2. (-2) умножили на первую строку и прибавили ко 2-й строке; затем 1-ю строку умножили на (-4) и прибавили к 3-й строке.
3. затем 1-ю строку умножили на (-4) и прибавили к 3-й строке.
|
|
4. Вторую строку умножили на (-17/5) и прибавили к 3-ей.
|
Определители 2-го и 3-го порядка и методы их вычисления. Примеры.
Понятие определителя - число, характеризующее квадратную матрицу, необходимо для решения систем линейных алгебраических уравнений.
Определитель матрицы обозначают , , .
1) Определителем матицы 1-го порядка , называется элемент : ;
2) Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:
. Произведения называются членами определителя 2-го порядка.
Примеры:
3) Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:
.
Данная формула получила название правила треугольников или правило Саррюса. Оно символически записывается так:
.
Примеры:Вычислить определитель матрицы
.
Решение:
.
Определители 2-го и 3-го порядка и их основные свойства.
Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:
. Произведения называются членами определителя 2-го порядка.
Пример.Вычислить определитель матрицы 
. Р е ш е н и е. 
.
3) Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:
.
Данная формула получила название правила треугольников или правило Саррюса. Оно символически записывается так:
.
Основные свойства определителей:
1. Если любой ряд состоит из 0, то определитель равен 0.
2. Если любые 2 параллельных ряда одинаковы или пропорциональны, то определитель равен 0.
3. Если поменять местами любые 2 параллельных ряда, то определитель изменит знак.
4. Определитель не изменится при транспортировании.
5. Общий множитель любого ряда можно вынести за знак 
6. К любому ряду можно прибавить параллельный ряд, умноженный на ненулевое число, причем определитель не изменится.
7. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Разложение определителя по элементам строки и столбца, примеры. Понятие ранга матрицы.
Минором элемента 
матрицы А = 
называется определитель, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается 
.
Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма 
– четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается 
.
Пример: Найти минор и алгебраические дополнения 2-х элементов матрицы:
Решение:
Имеем: 
Имеем: 
Любой определитель можно разложить по элементам любой строки или любого столбца:
.
Определитель 3-го порядка вычисляется методом треугольников Саррюса.
Пример:
2 способ:
.
Рангом матрицы А называется наибольший порядок ≠ 0 минору элементов этой матрицы. По другому, ранг – это число линейно-независимых строк или столбцов данной матрицы.
11. Система двух линейных неоднородных уравнений от двух неизвестных: определение и методы Крамера и Гаусса решения. Пример.(составила сама, ибо не правильно, я не виновата)
К такой относится система вида
Здесь 
коэффициенты.
Если хотя бы один свободный коэффициент не равен 0, то система называется неоднородной, если же 
– однородной. Однородная система обозначается символом и всегда имеет решение (хотя бы нулевое).
Неоднородная система совместна, т.е. имеет решение (причем единственное), если определитель основной матрицы не равен 0.
I. Крамер –метод решения системы.
Он заключается в использовании для записи решения формул 
где
заменой соответственно первого и второго столбцов и свободных коэффициентов.
Здесь 
II. Метод Гаусса.Он заключается в последовательном исключении неизвестных системы путем элементарных преобразований, в результате чего система приводится к ступенчатому виду, после чего выписывается решение.
Например, разрешим систему:
Ответ:
НУЖЕН ПРИМЕР Гаусса
Система трех линейных неоднородных алгебраических уравнений: определение и метод Крамера решения. Пример.
К такой относится система вида
Здесь
Если хотя бы один свободный коэффициент не равен 0, то система называется неоднородной, если же – однородной. Однородная система обозначается символом и всегда имеет решение (хотя бы нулевое).
Неоднородная система совместна, т.е. имеет решение (причем единственное), если определитель основной матрицы не равен 0.
I. Крамер –метод решения системы.
Он заключается в использовании для записи решения формул где
заменой соответственно первого, второго и 3-го столбцов и свободных коэффициентов.
Ответ:
Например, разрешим систему:
Ответ: