Устойчивость цилиндрической панели

Рассмотрим пологую панель длины l. Если панель пологая, то . Рассмотрим форму панели в момент потери устойчивости (см. рис.20.2).

Рис.20.1 Рис.20.2

В точке А (см. рис.20.2) изгибающий момент равен нулю. Тогда получим расчетную схему, изображенную на рис. 20.3.

Рис.20.3

Запишем уравнения равновесия. Ввиду пологости панели их можно представить в виде:

(20.1)

Здесь - половина длины дуги панели:

Из последнего уравнения находим связь:

. (20.2)

В момент потери устойчивости сила сжатия достигает критического значения . Пусть , тогда

(20.3)

Из (20.3), (20.2) находим

(20.8)

Если вместо H задан радиус кривизны R, то H можно выразить через него по формуле

Устойчивость замкнутой цилиндрической оболочки

Вырежем полосу ширины и рассмотрим ее половину (см. рис.21.1). Тогда из условия равновесия получим (r – радиус срединной поверхности оболочки):

(21.1)

Рис.21.1

Считаем, что круговая оболочка в момент потери устойчивости превращается в эллиптическую цилиндрическую оболочку (см. рис.21.1). Это значит, что она изгибается по четырем полуволнам, каждая из которых имеет длину

Используя формулу Эйлера находим

(21.2)

Поскольку

,

то из условия получим :

(21.2)

ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ИЗГИБНОЙ ЖЕСТКОСТИ

ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ ПЛИТЫ

Рассмотрим армированную плиту или балку. Отличие будет заключаться лишь в том, что в случае плиты вместо модуля необходимо брать приведенный модуль:

Параметры, относящиеся к бетону, будем снабжать индексом «б», а относящиеся к арматуре – индексом «а».

Связь прогиба w c изгибающим моментом при изгибе в плоскости ZY как обычно представима в виде:

Выразим через механические характеристики бетона, арматуры и геометрические параметры балки.

Как обычно для этого используются уравнения равновесия части балки. Сделаем сечение и рассмотри ее левую часть (см.рис.22.1). Здесь - толщина защитного слоя. Запишем условия ее равновесия.

Рис.22.1

Для простоты изложения используем абсолютные значения напряжений и деформаций, а максимальные напряжения в бетоне будем писать без индекса «б». Первое уравнение запишем в виде:

(22.1)

Здесь А_а – суммарная площадь арматуры. Из условия подобия вытекает, что

(22.2)

Второе условие равновесия представим в виде:

(22.3)

Запишем геометрические соотношения:

(22.4)

Согласно закона Гука имеем из (22.4), (22.2):

(22.5)

(22.6)

Из (22.5) вытекает, что

(22.7)

Из (22.7), (22.1) следует выражение:

(22.8)

Учтем, что

(22.9)

Тогда из (22.8) вытекает

(22.10)

Отсюда можно найти :

(22.11)

Здесь

(22.12)

Подставляя (22.12) в (22.11) и решая полученное уравнение получим выражение:

(22.13)

Далее рассмотрим второе уравнение равновесия. Из (22.3), (22.7) вытекает

(22.14)

Из (22.14) вытекает выражение для изгибной жесткости при изгибе в плоскости ZY

(22.15)

В случае пластины вместо нужно подставлять . Кроме того, в теории пластин используется цилиндрическая жесткость, т.е. жесткость на единицу ширины b пластины (погонная жесткость). Тогда из (22.15) получим

Таким же способом находится - изгибная жесткость при изгибе в плоскости ZX:

(22.16)

Здесь аналогичны , но в плоскости, ортогональной оси Х.

Если продольная и поперечная арматуры не сварены между собой, то крутильная жесткость для плиты определяется как обычно: