Связь перемещений и деформаций в оболочке вращения

В общем случае перемещение точки меридиана можно представить состоящим из вертикального перемещения v и горизонтального перемещения u. Рассмотрим малую дугу ВС = ds (рис. 18.6).

Рис.18.6 Рис.18.7

Пусть точка В переместилась в точку B₁на малое расстояние . Тогда отрезок ВС удлиняется на величину . Учтем, что

(18.11)

Здесь штрихом обозначена производная по переменной х.

Тогда получим, что относительная деформация меридиана будет:

(18.12)

Рассмотрим теперь случай, в котором точка В перемещается вдоль оси вращения в точку В₂ на величину (рис.18.7). Из рисунка видно, что ВС укоротится на величину

.

Примем во внимание, что

.

Тогда выражение для деформация примет вид:

(18.13)

Здесь учтено, что .

Окончательно выражение для в общем случае получим, суммируя (18.12) и (18.13):

(18.14)

Выразим далее деформацию вдоль параллели через перемещения. Пусть точки В и С (рис.18.8) перемещаются на величину u. Это означает, что радиус дуги ВС увеличился, тогда и длина дуги ВС увеличится до величины .

Следовательно,

. (18.15)

Рис.18.8

Вертикальное смещение точек В и С длину дуги ВС не изменяет. Поэтому от перемещения v не зависит. Таким образом, получим окончательное выражение для в виде

. (18.16)

В тонких балках, пластинах и оболочках напряжения, возникающие в направлении нормали (рис. 18.9), как было отмечено ранее, намного меньше, чем :

Рис.18.9

Закон Гука с учетом этого факта имеет вид:

(18.17)

Из этих соотношений выражаются через в следующем виде:

(18.18)

Таким образом, зная перемещения точек меридиана оболочки можно найти деформации с помощью формул (18.14), (18.16), а затем вычислить напряжения по закону Гука (18.18). И наоборот, зная , можно найти деформации по формулам (18.17), а затем из соотношений (18.16) определить сначала перемещение u точек меридиана оболочки, а затем из (18.14) найти перемещение v. Однако при этом приходится решать дифференциальное уравнение (18.14) относительно v. Это можно сделать и в общем виде. Действительно, т.к. u, , известны, то из (18.14) получаем:

Константа интегрирования определяется из условия закрепления.

Для обеспечения безмоментности напряженного состояния оболочки необходимо, чтобы опорный край был закреплен шарнирно, причем, шарнир не должен препятствовать перемещениям по нормали к поверхности оболочки. Поэтому уравнение для определения С имеет вид:

.

Подставляя сюда выражение (18.16), окончательно получим соотношение для вычисления С:

Краевой эффект

Исследования показали, что в оболочках вблизи закрепленных краев большими будут изгибные напряжения. При этом перемещения и напряжения имеют осциллирующий характер. Рассмотрим эту задачу на примере цилиндрической оболочки (рис.18.10).

Вырежем узкую полоску-балку толщины h ширины b.

Рис.18.10.

Рис.18.11

Сведем эту задачу к задаче о балке. Уравнение изогнутой оси балки и уравнения равновесия имеют вид:

(18.19)

Здесь дифференцируем по координате s (далее индекс «s» для простоты опускаем). Вместо обычного модуля упругости Е согласно закону Гука (1.15) используется приведенный модуль

.

Это связано с тем, что оболочка находится в состоянии плоского напряженного состояния.

Главная особенность рассматриваемой балки состоит в том, что к q₀ добавляются погонные усилия (рис.18.11).

Рис.18.11

Тогда, как это следует из рис.18.11,

(18.20)

Выразим N₂ через прогиб v. Пусть радиус r увеличился на величину прогиба w. Тогда длина окружности увеличится на Dl:

.

Согласно определению деформация e₂ будет:

. (18.21)

По закону Гука:

.

Для простоты рассмотрим случай, когда коэффициент Пуассона достаточно мал, а именно случай, когда можно принять, что

Отсюда

Таким образом, на балку будет воздействовать погонная сила

. (18.22)

Запишем уравнение изогнутой оси балки:

(18.23)

Обозначим:

. (18.24)

Итак, разрешающее уравнение для прогиба v примет вид:

. (18.25)

Оно имеет вид уравнения изгиба балки на упругом основании с большим коэффициентом постели k, поскольку модуль упругости Е – очень большая величина. Это показывает, что оболочка имеет жесткость гораздо большую, чем набор балок, из которых ее вроде бы можно составить.

Представим решение в виде однородного и частного решений:

. (18.26)

Пусть . Тогда из (18.23)- (18.25) вытекает, что

. (18.27)

Теперь рассмотрим однородное уравнение.

Обозначим . Тогда (18.27) примет вид

(18.28)

Решение такого уравнения имеет вид:

.

Константы С₁ , С₂, С₃ , С₄ определяют из условий закрепления.

Рис.18.12 Рис.18.13

Рассмотрим пример. Примем l=1м, r=0.1 м, h=0.001 м.

Тогда получим λ=186. Т.к. λ - очень большое, то составить систему уравнений для С_i, можно только с помощью специальных приемов. Вот один из них.

Обозначим , . Тогда

, .

Выражение для перемещения w можно тогда переписать в виде:

(18.29)

Вблизи края s=l можно не учитывать первые два слагаемых, а вблизи края s=0 можно не учитывать третий и четвертый слагаемые.

Для определения необходимо использовать условия закрепления

На краях оболочки прогиб равен нулю. Из этого условия вытекают уравнения для :

при s=0: ,

при s=l: .

Здесь учтено, что . Отсюда получаем выражения для :

.

В заделках равна нулю производная v′ . Из выражения (18.29) вытекает, что на левом краю можно записать с большой точностью:

Из условия, что при s=0 производная w′ равна нулю, получаем:

Отсюда вытекает, что .

Аналогично получим, что на правом краю в заделке из условия, что производная v′ равна нулю находим

Таким образом, в случае заделки решение вдали от правого края имеет вид:

(18.30)

Вблизи правого защемленного края решение можно записать в виде:

(18.31)

Отсюда вытекают следующие выводы.

1. Функции осциллируют, поскольку имеются тригонометрические функции.

2. Множители , говорят о том, что функция является затухающей при удалении от краев.

С помощью формул (18.30), (18.31) можно найти форму изгиба меридиана оболочки (качественная картина приведена на рис. 18.14).

Рис.18.14

Как видно, около краев возникают сильные изгибы. Вычислив изгибающий момент

, (18.32)

можно найти изгибные напряжения:

. (18.33)

Максимальные растягивающие и сжимающие изгибные напряжения в направлении, перпендикулярном краю (в направлении оси оболочки) будут

(18.34)

Отсюда следует, что около краев напряжения получаются очень большими, т.к. выражение для скобок имеет порядок единицы, а множитель достаточно большой.

В кольцевом направлении напряжения найдем на основе закона Гука и с помощью формулы (18.21) :

(18.35)

Вдали от правого края получим:

(18.36)

Вблизи правого защемленного края:

(18.37)

Однако и вблизи правого защемленного края можно использовать формулы (18.34), (18.36) при условии, что под координатой s понимается расстояние от правого края до элемента оболочки, в котором вычисляются напряжения.

Важные следствия и примечания.

1. Как видно из (18.23), уравнение равновесия элемента оболочки имеет тот же вид, что и уравнение равновесия элемента балки на упругом основании с коэффициентом постели k :

, (18.38)

При этом коэффициентом постели k имеет весьма большое значение, поскольку у строительных материалов велик модуль упругости Е. Таким образом, оболочка работает как совокупность балок на очень жестком основании. Это и является причиной большой прочности и жесткости оболочек по сравнению с балками и пластинами.

2. Как видно из решений (18.36), (18.37), цилиндрические оболочки хорошо работают в основной области (в большей части) конструкций, но получают большие изгибные деформации возле закреплений. Значит, их достаточно укреплять только вблизи опор (в отличие от балок и пластин, которые плохо работают в основной, т.е. в большей части пролета). Все это говорит о большом преимуществе оболочечных конструкций.

3. Из анализа уравнений (18.23)-(18.25) можно увидеть, что в них можно вынести за скобку величину b, а затем на нее сократить. Арифметически это можно понимать так, что в уравнениях (18.23)-(18.25) можно считать величину любой, в частности можно принять b =1.

Краевой эффект в куполах

Краевой эффект имеет место не только в случае цилиндрических оболочек, но и в случае других непологих оболочек. В общем случае их анализ не так прост. Однако для куполов можно приближенно использовать результаты, полученные для цилиндрических оболочек, но после введения некоторых поправок.

Рис.18.15

Как и для случая цилиндрической оболочки вырежем полоску ширины b и рассмотрим ее коло края как защемленную балку. Во-первых, если внешняя поверхностная нагрузка не представляет собой нормальное давление, то в (18.25) вместо р надо использовать нормальную составляющую внешней нагрузки.

Во-вторых, вместо выражения (см. формулу (18.21) и рис. 18.16) необходимо использовать соотношение (см. формулу (18.16)), где R₀ - радиус круга, по которому купол опирается на основание, u - горизонтальное перемещение.

Рис.18.16

Поскольку прогиб w и горизонтальное перемещение u связаны простым соотношением (см. рис.18.16, где - угол наклона меридиана к плоскости опирания купола), то получим

(18.39)

Таким образом, под радиусом r в соотношении (18.21) необходимо понимать следующую величину:

(18.40)

Далее учтем, что это кривизна линии, по которой оболочка закреплена. В случае куполов это R₂, т.к. он связан с радиусом R₀ круга, по которому купол опирается на основание, соотношением

(18.41)

Таким образом, для деформаций на уровне срединной поверхности (в случае наличия перемещений в виде только прогибов ) получим выражения

(18.42)

Через них напряжения выражаются по закону Гука (18.17):

(18.43)

Как и ранее снова рассмотрим случай, в котором мал коэффициент Пуассона. Тогда закон Гука примет вид

(18.43а)

На краях малого элемента полоски-балки действуют напряжения (см. рис.18.16) .

Рис.18.16

Поэтому их проекции на нормаль дадут дополнительную нагрузку

. (18.44)

Подставляя сюда (18.43) с учетом (18.42) получим

(18.45)

Окончательно, вместо (18.25) имеем уравнение

(18.46)

Таким образом, вместо r² в соотношениях (18.30) - (18.34) необходимо подставлять следующую величину:

(18.47)

Выражение для перемещения w вблизи закрепленного края можно тогда записать в виде, аналогичном случаю цилиндрической оболочки:

(18.48)

Отсюда следует, что в случае купола вместо (18.34) в зоне краевого эффекта (вблизи заделанного края) выражение для напряжения , возникающего от изгиба, примет вид:

(18.49)

Суммируя напряжения , найденные по формулам (18.49), и напряжения в меридианальном направлении, найденные из условия равновесия верхней части купола (например, они вычисляются по формуле (18.8) при внутреннем давлении), получим окончательное выражение для .

Для вычисления напряжений в окружном направлении в зоне краевого эффекта (вблизи закрепленного края) необходимо к соотношениям для , полученным из уравнения Лапласа (18.5), добавить следующее

(18.50)

Следствие.Как видно из (18.49), (18.50) краевой эффект будет плохо затухать при малых , т.е. при больших радиусах кривизны оболочки вблизи края, т.е. для пологих оболочек.

Примечание. Если имеется защемление и по другой параллели, то вблизи этого второго края соотношения для напряжений, вызванных краевым эффектом, вычисляются по тем же формулам (18.48), (18.49). При этом в обоих случаях под координатой sпонимается расстояние от края до малого элемента оболочки, в котором вычисляются напряжения.