Устойчивость при опрокидывании

Рычагом называется твердое тело, имеющее неподвижную ось вра­щения и находящееся под действием сил, лежащих в плоскости, перпен­дикулярной этой оси. Положим, что к рычагу в точках устойчивость при опрокидывании - student2.ru приложены зада­ваемые силы устойчивость при опрокидывании - student2.ru ,лежащие в плоскости чертежа, а ось рычага пересекает эту плоскость в точке О, которую называют опорной точкой (рис. 6.10).

Реакция устойчивость при опрокидывании - student2.ru оси рычага, урав­новешивая задаваемые силы, ле­житв их плоскости, но направ­ление ее не известно.

Разложим реакцию оси рычага на две составляющие устойчивость при опрокидывании - student2.ru иустойчивость при опрокидывании - student2.ruи составим три уравнения равнове­сия сил, действующих на рычаг:

устойчивость при опрокидывании - student2.ru (6.8)

устойчивость при опрокидывании - student2.ru

Рис. 6.10

устойчивость при опрокидывании - student2.ru ; (6.9)

устойчивость при опрокидывании - student2.ru . (6.10)

Здесь устойчивость при опрокидывании - student2.ru - суммы проекций задаваемых сил, приложенных к рычагу на оси х и у; Х0 и Y0 - проекции реакции оси рычага на оси; устойчивость при опрокидывании - student2.ru - сумма моментов задаваемых сил относительно опорной точки.

Уравнение (6.10), не содержащее реакции оси рычага, выражает условие, которому удовлетворяют задаваемые силы, приложенные к рычагу, если он находится в покое.

Это условие формулируется так: если рычаг находится в покое, то алгебраическая сумма моментов всех задаваемых сил, приложенных к рычагу, относительно опорной точки равна нулю:

устойчивость при опрокидывании - student2.ru . (6.11)

Из уравнений (6.11) и (6.9) равновесия определяются модуль и направле­ние реакции оси рычага. Из условия (6.11), которое выполняется, если рычаг находится в покое, получим условие устойчивости тел при опро­кидывании.

Положим, что к прямоугольному параллелепипеду (рис. 6.11) весом устойчивость при опрокидывании - student2.ru на высоте d приложена горизонтальная сила устойчивость при опрокидывании - student2.ru , которая может не только сдвинуть тело, но и опрокинуть его при вращении вокруг ребра А. Считая, что сила устойчивость при опрокидывании - student2.ru недостаточно велика, чтобы сдвинуть тело, рассмотрим ее опрокидывающее действие. Обозначим а расстояние от точки А, изображающей на рисунке 6.12 ось вращения рычага, до линии действия силы устойчивость при опрокидывании - student2.ru , которая препятствует опрокидыванию.

Составим сумму моментов задаваемых сил устойчивость при опрокидывании - student2.ru и устойчивость при опрокидывании - student2.ru относительно опорной точки А:

устойчивость при опрокидывании - student2.ru , откуда устойчивость при опрокидывании - student2.ru .

Назовем абсолютные значения моментов сил устойчивость при опрокидывании - student2.ru и устойчивость при опрокидывании - student2.ru относительно точки А удерживающим и опрокидывающим моментами:

устойчивость при опрокидывании - student2.ru .

Тогда на границе устойчивости

устойчивость при опрокидывании - student2.ru .

При устойчивом состоянии тела

устойчивость при опрокидывании - student2.ru .

Устойчивость при опрокидывании в технике принято определять отношением числового значения удерживающего момента к числовому значению опрокидывающего момента:

устойчивость при опрокидывании - student2.ru .

Это отношение называют коэффициентом устойчивости. Очевидно, что в случае предельной устойчивости коэффициент устойчивости k = 1, а в случае устойчивого состояния k > 1.

устойчивость при опрокидывании - student2.ru устойчивость при опрокидывании - student2.ru

Рис. 6.11 Рис. 6.12

Определить, опрокинется ли тело под действием силыили будет нахо­диться в устойчивом состоянии, можно и графическим путем. Для этого продолжим линии действия сил устойчивость при опрокидывании - student2.ru и устойчивость при опрокидывании - student2.ru до их пересечения в точке К, перенесем силы в эту точку и найдем их равнодействующую устойчивость при опрокидывании - student2.ru (рис. 6.12).

Продолжая линию действия равнодействующей силы, найдем точку ее пересечения с опорной плоскостью.

В рассмотренном примере возможны три случая:

1. Если эта точка лежит слева от ребра А, то состояние тела устой­чиво.

2. Если линия действия равнодействующей пересекает ребро А,тосостояние тела предельно устойчиво.

3. Если эта точка лежит справа от ребра А, то тело опрокинется.

Пример 3. Определить вес противовеса G1, обеспечивающий коэффициент устойчивости нагруженного крана при опрокидывании, равный 1,5, если вес крана G2=50 кН, вес груза G3=40 кН. Размеры указаны на рис. 6.13.

устойчивость при опрокидывании - student2.ru

Рисунок 6.13

Решение. Предполагаемое опрокидывание крана под действием веса груза устойчивость при опрокидывании - student2.ru является вращением вокруг оси О, совпадающей с правым рельсом. Силами, препятствующими опрокидыванию, являются вес крана устойчивость при опрокидывании - student2.ru и вес про­тивовеса устойчивость при опрокидывании - student2.ru . Определим опрокидывающий момент как абсолютное значение момента силы устойчивость при опрокидывании - student2.ru относительно точки О:

устойчивость при опрокидывании - student2.ruкНм.

Определим удерживающий момент как сумму абсолютных значений момен­тов сил устойчивость при опрокидывании - student2.ru и устойчивость при опрокидывании - student2.ru относительно точки О:

устойчивость при опрокидывании - student2.ru кНм.

Воспользуемся коэффициентом устойчивости тела при опрокидывании

устойчивость при опрокидывании - student2.ru .

Отсюда

устойчивость при опрокидывании - student2.ru кН.

Лекция 7

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

1. Центр параллельных сил

Рассмотрим систему параллельных сил устойчивость при опрокидывании - student2.ru ,приложен­ных к твердому телу в точках устойчивость при опрокидывании - student2.ru (рис. 7.1). Эта система имеет равнодействующую устойчивость при опрокидывании - student2.ru , направленную так же, как слагаемые силы, причем по модулю

устойчивость при опрокидывании - student2.ru .

Если теперь каждую из сил системы поворачивать около ее точ­ки приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, то мы будем получать новые системы одинаково направленных парал­лельных сил с теми же модулями и точками приложения, но с дру­гим общим направлением (пунктирные линии на рис. 7.1).

Равнодействующая каждой из таких систем параллельных сил будет иметь тот же модуль R, но всякий раз другую линию действия.

Покажем, что при всех поворотах линия действия равнодейст­вующей всегда проходит через одну и ту же точку С. В самом деле, сложив сначала силы устойчивость при опрокидывании - student2.ru и устойчивость при опрокидывании - student2.ru , найдем, что их равнодействующая устойчивость при опрокидывании - student2.ru , при любых поворотах сил будет проходить через точку устойчивость при опрокидывании - student2.ru ,лежащую на прямой устойчивость при опрокидывании - student2.ru , и удовлетворять равенству устойчивость при опрокидывании - student2.ru , так как при поворотах сил ни положение прямой устойчивость при опрокидывании - student2.ru , ни это равенство не меняется. Складывая теперь силу устойчивость при опрокидывании - student2.ru , с силой устойчивость при опрокидывании - student2.ru , мы получим, что их равнодействующая будет проходить через аналогично определяемую точку устойчивость при опрокидывании - student2.ru ,лежащую на прямой устойчивость при опрокидывании - student2.ru , и т.д. Доведя эту операцию по­следовательного сложения до конца, мы убедимся, что равнодейст­вующая устойчивость при опрокидывании - student2.ru всех сил действительно проходит всегда через одну и ту же точку С, положение которой по отношению к точкам устойчивость при опрокидывании - student2.ru будет неизменным.

устойчивость при опрокидывании - student2.ru

Рис. 7.1

Точка С, через которую проходит линия действия равнодейст­вующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Найдем координаты центра параллельных сил. Выберем оси ко­ординат Oxyzи обозначим координаты точек: устойчивость при опрокидывании - student2.ru , устойчивость при опрокидывании - student2.ru ,…, устойчивость при опрокидывании - student2.ru . Повернем сначала силы так, чтобы они были параллельны оси Oz, и применим к силам устойчивость при опрокидывании - student2.ru теорему Вариньона. Так как устойчивость при опрокидывании - student2.ru является равнодействующей этих сил, то, вы­числяя моменты относительно оси Оу, получим

устойчивость при опрокидывании - student2.ru .

Отсюда находим (имеем в виду, что устойчивость при опрокидывании - student2.ru )

устойчивость при опрокидывании - student2.ru . (7.1)

Для координаты устойчивость при опрокидывании - student2.ru аналогичные формулы получим, вычисляя моменты относительно оси Ох. Чтобы определить устойчивость при опрокидывании - student2.ru , повернем все силы, сделав их параллельными оси Оу. Применив к этим силам теорему Вариньона, вычислим моменты относительно оси Ох.

Окончательно получим следующие формулы для координат центра параллельных сил:

устойчивость при опрокидывании - student2.ru . (7.2)

Центр тяжести твердого тела

Центром тяжести тела называют геометрическую точку, че­рез которую проходит равнодействующая сила всех сил тяжести, действующих на частицы тела при любом его положении в пространстве. Она совпадает с центром системы параллельных сил, которую приближенно образуют силы тяжести его элементарных частиц (рис. 7.2).

устойчивость при опрокидывании - student2.ru

Рис. 7.2

Радиус-вектор центра тяжести те­ла устойчивость при опрокидывании - student2.ru вычислим по формуле

устойчивость при опрокидывании - student2.ru . (7.3)

где устойчивость при опрокидывании - student2.ru - радиус-вектор точки прило­жения силы тяжести элементарной части тела, принятой за точку; устойчивость при опрокидывании - student2.ru - сила тяжести элементарной частицы; Р - - сила тяжести всего тела.

Если в (7.3) перейти к пределу, увеличивая число элементар­ных частей п до бесконечности, то после замены суммы интегралом получим

устойчивость при опрокидывании - student2.ru . (7.4)

В проекциях на оси координат из (7.3и (7.4) получим

устойчивость при опрокидывании - student2.ru , (7.5)

устойчивость при опрокидывании - student2.ru .

Для однородного твердого тела силу тяжести элементарной час­тицы тела можно вычислить по формуле

устойчивость при опрокидывании - student2.ru ,

где устойчивость при опрокидывании - student2.ru - удельный вес тела; устойчивость при опрокидывании - student2.ru - объем элементарной частицы.

Сила тяжести всего тела

устойчивость при опрокидывании - student2.ru ,

где V - объем тела.

Подставляя эти значения в уравнения (7.3) и (7.4), после со­кращения на у получим формулы:

устойчивость при опрокидывании - student2.ru , (7.6)

по которым определяют центр тяжести тела.

По аналогии, для плоских тел, у которых один размер мал по сравнению с двумя другими, имеем

устойчивость при опрокидывании - student2.ru , (7.7)

где устойчивость при опрокидывании - student2.ru - площадь элементарной частицы поверхности; А - площадь всей поверхности.

Для однородных тел типа проволоки, у которых два размера ма­лы по сравнению с третьим, определим радиус-вектор центра тяже­сти по формулам

устойчивость при опрокидывании - student2.ru , (7.8)

где устойчивость при опрокидывании - student2.ru - длина элемента линии; L - общая длина линии.

3 Методы определения центров тяжести

Метод симметрии. При определении центров тяжести широко используется симметрия тел. Для однородного тела, имеющего плоскость симметрии, центр тяжести находится в плоскости сим­метрии. Для однородного тела, имеющего ось или центр симметрии, центр тяжести находится соответственно на оси симметрии или в центре симметрии.

Метод разбиения на части. Некоторые тела сложной формы можно разбить на части, центры тяжести которых известны. В таких случаях центры тяжести сложных фигур вычисляются по общим формулам, определяющим центр тяжести, только вместо элементар­ных частиц тела берутся его конечные части, на которые оно разбито.

Пример 1. Определить координаты центра тяжести однородной
пластины, показанной на рис. 7.3. Все размеры показаны на рисунке в сантиметрах.

Решение. Проводим оси координат и разбиваем пластину на три прямоугольника (линии разреза показаны пунктиром). Вычислим координаты центров тяжести ка­ждого из прямоугольников и их площади:

устойчивость при опрокидывании - student2.ru устойчивость при опрокидывании - student2.ru устойчивость при опрокидывании - student2.ru

устойчивость при опрокидывании - student2.ru .

Площадь всей фигуры

устойчивость при опрокидывании - student2.ru .

устойчивость при опрокидывании - student2.ru

Рис. 7.3

Тогда,

устойчивость при опрокидывании - student2.ru ,

устойчивость при опрокидывании - student2.ru .

Найденное положение центра тяжести совпадает с точкой С и показано на рис. 7.3.

Метод отрицательных масс. Проиллюстрируем этот метод на плоской фигуре.

Пример 2. Определить положение центра тяжести круглой пластины радиусом R с вырезом радиуса r (рис. 7.4). Расстояние устойчивость при опрокидывании - student2.ru .

Решение. Центр тяжести пласти­ны лежит на линии устойчивость при опрокидывании - student2.ru - на оси сим­метрии. Проводим оси координат, как показано на рис. 7.4.

Для нахождения координаты устойчивость при опрокидывании - student2.ru дополняем площадь пластины устойчивость при опрокидывании - student2.ru до полного круга, затем вычитаем из по­лученной площади площадь вырезан­ного круга устойчивость при опрокидывании - student2.ru . Тогда устойчивость при опрокидывании - student2.ru устойчивость при опрокидывании - student2.ru устойчивость при опрокидывании - student2.ru .

устойчивость при опрокидывании - student2.ru

Рис. 7.4

Положение центра тяжести вычислим по формуле


устойчивость при опрокидывании - student2.ru

Найденный центр тяжести лежит левее точки устойчивость при опрокидывании - student2.ru .

Наши рекомендации