Мощность в трехфазных системах.

Активная мощность трехфазной системы определяется как сумма активных мощностей фаз нагрузки с учетом активной мощности в сопротивлении нулевого провода:

P=P_A+P_B+P_C+P₀.

Реактивная мощность трехфазной системы определяется аналогично:

Q=Q_A+Q_B+Q_C+Q₀.

Полная мощность несимметричной трехфазной нагрузки равна

.

В симметричной трехфазной системе активную, реактивную и полную мощности можно найти следующим образом:

В уравновешенных системах суммарная активная мощность постоянна и не зависит от времени: P=P_A+P_B+P_C=3U_фI_фcosj=P.

В несимметричной трехфазной системе полная, активная и реактивная мощности определяется отдельно для каждой фазы нагрузки:

_A = _{АН A} = P_A + jQ_A = U_AHI_A cosj_A + jU_AHI_A sinj;

_B = _{ВН B} = P_B + jQ_B = U_BHI_B cosj_B + jU_BHI_B sinj;

_C = _{СН C} = P_C + jQ_C = U_CHI_C cosj_C + jU_CHI_C sinj;

₀ = _{00’ 0} = P₀ + jQ₀ = U_00’I₀ cosj₀ + jU_00’I₀ sinj.

Задание 1. Расчет простых цепей постоянного тока

Задание: Схема, составленная из резистивных элементов, питается от источника постоянного напряжения (источник подключен ко входным зажимам «а» и «b», причем положительный полюс источника соединен с зажимом «а»). Рассчитать токи во всех ветвях схемы и падения напряжений на каждом из резисторов. Вариант схемы каждому студенту принять в соответствии с его порядковым номером в списке группы. Параметры элементов схем для каждого варианта приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1

Варианты задания и параметры элементов схем

Вари-ант	Схема (№ рис.)	Значения сопротивлений резисторов, Ом	Напряжение источника, В
R1	R2	R3	R4
1	2	3	4	5	6	7
	4.1
	4.2
	4.3
	4.4
	4.5
	4.6
	4.7
	4.8
	4.9
	4.10
	4.11
	4.12
	4.13
	4.14
	4.15
	4.16
	4.17
	4.18
	4.19
	4.20
	4.21
	4.22
	4.23
	4.24
	4.25
	4.1
	4.2
	4.3
	4.4
	4.5
	4.6
	4.7
	4.8
	4.9
	4.10
1	2	3	4	5	6	7
	4.11
	4.12
	4.13
	4.14
	4.15
	4.16
	4.17
	4.18
	4.19
	4.20
	4.21
	4.22
	4.23
	4.24
	4.25

При выполнении задания студенту следует вычертить схему в соответствии с заданным вариантом и выписать исходные данные (значения напряжения источника U_ab, сопротивлений R₁¸R₄). Затем необходимо проанализировать схему, определив виды соединения резисторов на отдельных участках схемы (последовательное или параллельное), после чего, постепенно «сворачивая» схему (заменяя последовательное или параллельное соединение резисторов на отдельных участках эквивалентными сопротивлениями), найти эквивалентное сопротивление всей цепи R_Э относительно входных зажимов «а» и «b». После этого следует определить значение тока в неразветвленной части цепи, а затем, постепенно «разворачивая» схему, найти токи в отдельных ветвях схемы и напряжения на каждом из резисторов.

Варианты схем для выполнения задания 1

Рис. 4.1 Рис. 4.2

Рис. 4.3 Рис. 4.4

Рис. 4.5 Рис. 4.6

Рис. 4.7 Рис. 4.8

Рис. 4.9 Рис. 4.10

Рис. 4.11 Рис. 4.12

Рис. 4.13 Рис. 4.14

Рис. 4.15 Рис. 4.16

Рис. 4.17 Рис. 4.18

Рис. 4.19 Рис. 4.20

Рис. 4.21 Рис. 4.22

Рис. 4.23 Рис. 4.24

Рис. 4.25

Пример расчета простой цепи постоянного тока.

В схеме, изображенной на рис. 4.26, напряжение источника U_ab=20 В, сопротивления резисторов равны соответственно: R₁=5 Ом, R₂=3 Ом, R₃=2 Ом, R₄=4 Ом, R₅=7 Ом. Рассчитать токи во всех ветвях схемы и падения напряжений на каждом из резисторов.

Рис. 4.26. Исходная схема для расчета

Очевидно, что резисторы R₂ и R₃ соединены последовательно, поэтому общее сопротивление данной ветви (рис. 4.27, а) можно найти как

Ом.

Резисторы R₄ и R₅ соединены параллельно, поэтому эквивалентное сопротивление двух этих ветвей (рис. 4.27, а) можно найти как Ом.

В свою очередь, сопротивления и между собой соединены параллельно, поэтому их можно заменить сопротивлением (рис. 4.27, б): Ом.

а б в

Рис. 4.27. Последовательность отыскания эквивалентного сопротивления

Величину эквивалентного сопротивления R_Э всей схемы (рис. 4.27, в) находим как сумму R₂₃₄₅ и R₁, так как данные сопротивления соединены последовательно; R_Э=R₁+R₂₃₄₅=6,69 Ом.

Ток I₁ в неразветвленной части цепи может быть найден как

А.

Для нахождения остальных токов необходимо знать напряжение на резисторах R₄, R₅ и R₂₃. Эти резисторы соединены параллельно, поэтому напряжение на них одинаково и равно напряжению на сопротивлении R_2345, которое может быть найдено как

В.

Токи в параллельных ветвях исходной схемы равны:

А,

А,

А.

Проверку полученных результатов можно провести по первому закону Кирхгофа, в соответствии с которым . Подстановка чисел в данное выражение дает 2,99 А = 2,99 А. Токи определены верно.

Напряжения на резисторах исходной схемы равны:

В,

В,

В,

В.

Задание 2. Расчет сложных цепей постоянного тока

Задание: для электрических схем (варианты параметров элементов схем и номера схем для расчета каждым из методов приведены в таблицах 5.1 и 5.2) выполнить следующее:

1. Определить величины и направления токов во всех ветвях схемы по методу уравнений Кирхгофа.

1.1. Вычертить заданную схему, выписать заданные величины э.д.с. и сопротивлений;

1.2. Задать произвольные положительные направления токов в ветвях схемы (индексы токов при этом должны совпадать с индексами сопротивлений в соответствующих ветвях), определить число независимых узлов схемы, определить число независимых контуров схемы и задаться направлениями их обхода;

1.3. Составить необходимое количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа; полученную систему уравнений решить относительно неизвестных токов, определив их величину и истинное направление;

1.4. Произвести проверку правильности расчета токов путем составления уравнения баланса мощностей цепи.

2. Определить величины и направления токов во всех ветвях схемы по методу контурных токов.

2.1. Вычертить заданную схему, выписать заданные величины э.д.с. и сопротивлений;

2.2. Выбрать независимые контуры, задаться в них произвольными направлениями контурных токов;

2.3. Составить систему уравнений для контурных токов по второму закону Кирхгофа; решить данную систему относительно неизвестных контурных токов;

2.4. Определить значения токов в ветвях схемы через найденные контурные токи;

2.5. Произвести проверку правильности расчета токов путем составления уравнения баланса мощностей цепи.

3. Определить величины и направления токов во всех ветвях схемы по методу наложения.

3.1. Вычертить заданную схему, выписать заданные величины э.д.с. и сопротивлений;

3.2. Составить частичные схемы замещения исходной схемы; для каждой из частичных схем замещения задать направления токов в ветвях и определить эти токи, пользуясь законами Ома и Кирхгофа. По найденным токам частичных схем замещения найти полные токи в ветвях исходной схемы;

3.4. Проанализировать режимы работы источников э.д.с.;

3.5. Произвести проверку правильности расчета токов путем составления уравнения баланса мощностей цепи.

Таблица 5.1.

Параметры элементов схем для расчета

Схема (№ рисунка)	Вариант параметров	Параметры элементов схемы
Е1, В	Е2, В	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	R4, Ом	R5, Ом
1	2	3	4	5	6	7	8	9
5.1
5.1
5.2				-
5.2				-
5.3
5.3
5.4
5.4
5.5
5.5
5.6					-
5.6					-
5.7
5.7
5.8
5.8
5.9
5.9
5.10
5.10
5.11
5.11
5.12
5.12
5.13
5.13
5.14					-
5.14					-
5.15					-
5.15					-
5.16
5.16
5.17
5.17
5.18					-
5.18					-
5.19
5.19
5.20
5.20
5.21				-
5.21				-
1	2	3	4	5	6	7	8	9
5.22					-
5.22					-
5.23
5.23
5.24
5.24
5.25					-
5.25					-

Таблица 5.2

Варианты расчетного задания

Вариант задания	Схема, подлежащая расчеты по методу:
Уравнений Кирхгофа	Контурных токов	Наложения
Схема (№ рисунка)	Вариант параметров	Схема (№ рисунка)	Вариант параметров	Схема (№ рисунка)	Вариант параметров
1	2	3	4	5	6	7
	5.1		5.2		5.3
	5.4		5.5		5.6
	5.7		5.8		5.9
	5.10		5.11		5.12
	5.13		5.14		5.15
	5.16		5.17		5.18
	5.19		5.20		5.21
	5.22		5.23		5.24
	5.25		5.1		5.2
	5.3		5.4		5.5
	5.6		5.7		5.8
	5.9		5.10		5.11
	5.12		5.13		5.14
	5.15		5.16		5.17
	5.18		5.19		5.20
	5.21		5.22		5.23
	5.24		5.25		5.1
	5.2		5.3		5.4
	5.5		5.6		5.7
	5.8		5.9		5.10
	5.11		5.12		5.13
	5.14		5.15		5.16
	5.17		5.18		5.19
	5.20		5.21		5.22
	5.23		5.24		5.25
	5.1		5.2		5.3
	5.4		5.5		5.6
	5.7		5.8		5.9
	5.10		5.11		5.12
	5.13		5.14		5.15
	5.16		5.17		5.18
	5.19		5.20		5.21
	5.22		5.23		5.24
1	2	3	4	5	6	7
	5.25		5.1		5.2
	5.3		5.4		5.5
	5.6		5.7		5.8
	5.9		5.10		5.11
	5.12		5.13		5.14
	5.15		5.16		5.17
	5.18		5.19		5.20
	5.21		5.22		5.23
	5.24		5.25		5.1
	5.2		5.3		5.4
	5.5		5.6		5.7
	5.8		5.9		5.10
	5.11		5.12		5.13
	5.14		5.15		5.16
	5.17		5.18		5.19
	5.20		5.21		5.22
	5.23		5.24		5.25

Варианты схем для выполнения задания

Рис. 5.1 Рис. 5.2

Рис. 5.3 Рис. 5.4

Рис. 5.5 Рис. 5.6

Рис. 5.7 Рис. 5.8

Рис. 5.9 Рис. 5.10

Рис. 5.11 Рис. 5.12

Рис. 5.13 Рис. 5.14

Рис. 5.15 Рис. 5.16

Рис. 5.17 Рис. 5.18

Рис. 5.19 Рис. 5.20

Рис. 5.21 Рис. 5.22

Рис. 5.23 Рис. 5.24

Рис. 5.25

Пример расчета сложных цепей постоянного тока.

1. Пример расчета цепи методом уравнений Кирхгофа.

В цепи, изображенной на рис. 5.26, заданы величины э.д.с. источников и сопротивления резисторов: Е₁=100 В, Е₂=75 В, R₁=10 Ом, R₂=15 Ом, R₃=20 Ом. Определить токи в ветвях схемы; проверку правильности решения произвести путем составления уравнения баланса мощностей цепи.

1.1. Произвольно направим токи во всех ветвях схемы (см. рис. 5.26).

1.2. Количество ветвей в схеме равно трем, следовательно, в схеме три различных тока. Для их нахождения следует составить три уравнения:

Рис. 5.26. Схема для расчета

одно по первому закону Кирхгофа (т.к. число узлов в схеме равно двум), и два по второму закону Кирхгофа. Для составления уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо задать направления обхода соответствующих контуров (см. рис. 5.26).

1.3. Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для узла «b». Токи, подтекающие к узлу, возьмем со знаком «–», вытекающие из узла – со знаком «+»:

.

В контуре I направление обхода совпадает с направлениями токов I₁, I₂ и э.д.с. Е₁ и Е₂, поэтому уравнение, составленное для данного контура по второму закону Кирхгофа, содержит слагаемые со знаком «+»:

.

В контуре II направление обхода не совпадает с направлениями токов I₂, I₃ и э.д.с. Е₂, поэтому уравнение, составленное для данного контура по второму закону Кирхгофа, содержит слагаемые со знаком «–»:

Получаемая таким образом система из трех уравнений с тремя неизвестными

может быть решена любым удобным способом. Решение системы уравнений дает следующий результат: I₁ = 7,7 A; I₂ = 6,5 A; I₃ = –1,2 А. Знак «–» для полученного значения тока I₃ означает, что истинное направление тока противоположно первоначально выбранному.

1.4. Произведем проверку правильности определения токов путем составления баланса мощностей цепи. В общем случае уравнение баланса мощностей имеет вид

,

где – сумма мощностей источников энергии, имеющихся в электрической цепи, i – номер источника, n – общее количество источников; – сумма мощностей, потребляемых приемниками (нагрузками), имеющимися в цепи, k – номер приемника, m – общее число приемников. При этом мощность источника э.д.с. определяется как произведение его э.д.с. на протекающий через источник ток; при совпадении направлений э.д.с. и тока указанное произведение входит в уравнение со знаком «+» (источник работает в режиме генератора энергии), а если направления э.д.с. и тока различны, их произведение входит в уравнение со знаком «–» (источник работает в режиме потребителя энергии). Мощность потребителя определяется как произведение его сопротивления на квадрат протекающего через него тока.

Таким образом, для рассматриваемой цепи уравнение баланса мощностей имеет вид

.

После подстановки числовых значений получаем для левой части (суммарная мощность источников) 1257,5 Вт, для правой части (суммарная мощность приемников) 1255,5 Вт. Баланс мощностей сошелся, токи рассчитаны верно (некоторая разница числовых значений правой и левой частей уравнения баланса мощностей объясняется, в первую очередь, округлением результатов предыдущих вычислений; баланс мощностей считается сошедшимся, если разница правой и левой частей уравнения баланса мощностей не превышает 5%).

2. Пример расчета цепи методом контурных токов.

Пусть требуется рассчитать цепь, изображенную на рис. 5.26, методом контурных токов. Значения э.д.с. источников и сопротивления резисторов – те же, что и в предыдущем примере.

2.1. Выберем направления контурных токов I₁₁ и I₂₂ (см. рис. 5.27).

Рис. 5.27. Схема для расчета

2.2. Рассчитаем собственные и взаимные сопротивления контуров:

R₁₁ = R₁ + R₂ = 25 Ом;

R₂₂ = R₂ + R₃ = 35 Ом;

R₁₂ = R₂₁ = –R₂ = –15 Ом.

Взаимное сопротивление R₁₂ = R₂₁ берем со знаком «–», так как контурные токи в нем не совпадают по направлению.

Рассчитаем контурные э.д.с.:

Е₁₁ = Е₁ + Е₂ = 175 В;

Е₂₂ = –Е₂ = –75 В.

Контурная э.д.с. Е₂₂ имеет знак «–», так как направление контурного тока I₂₂ не совпадает с направлением э.д.с. Е₂.

2.3. Система уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для контурных токов, для рассматриваемой цепи имеет вид:

Решение данной системы дает следующий результат: I₁₁=7,7 A; I₂₂=1,2 А.

2.4. Найдем реальные токи в ветвях по величине и направлению:

I₁ = I₁₁ = 7,7 A;

I₂ = I₁₁ – I₂₂ = 6,5 A;

I₃ = I₂₂ = 1,2 А.

2.5. Проверка правильности расчета токов может быть произведена путем составления уравнения баланса мощностей (так же, как это сделано в примере 1).

3. Пример расчета цепи методом наложения.

Пусть требуется рассчитать цепь, изображенную на рис. 5.26, методом наложения.

3.1. Как известно, принцип наложения позволяет расчленить сложную задачу на ряд более простых, в каждой из которых в рассматриваемой сложной цепи действует только одна э.д.с., а все остальные источники э.д.с. замыкаются накоротко (исключаются из схемы).

3.2. В рассматриваемой цепи имеются два источника э.д.с., следовательно, задача ее расчета распадается на две более простые задачи. Для их решения следует составить так называемые частичные схемы замещения, представленные на рис. 5.28. На рис. 5.28а изображена первая частичная схема, содержащая только источник э.д.с. Е₁; по ветвям этой схемы протекают токи I^׀₁, I^׀₂, I^׀₃. На рис. 5.28б представлена вторая частичная схема с источником Е₂ и токами I^׀׀₁, I^׀׀₂, I^׀׀₃.

а б

Рис. 5.28. Частичные схемы замещения

Получаемые таким способом частичные схемы могут быть рассчитаны любым удобным способом (проще всего схемы с одним источником энергии рассчитывать с помощью законов Ома и Кирхгофа); в результате расчета получают значения токов.

3.3. Реальные токи, протекающие в ветвях исходной схемы, находят путем алгебраического суммирования (суперпозиции) токов, протекающих в тех же ветвях каждой из частичных схем замещения, с учетом их направления. Для рассматриваемого случая реальные токи будут определены как

; ; .

3.4. Проверка правильности расчета токов может быть произведена путем составления уравнения баланса мощностей (так же, как это сделано в примере 1).

Задание 3. Расчет цепей переменного тока символическим методом

Задание: для электрической цепи переменного тока, соответствующей номеру варианта, с параметрами, приведенными в табл. 6.1, выполнить следующее:

1. Вычертить заданную цепь, выписать заданные величины э.д.с. и сопротивлений;

2. Построить схему замещения заданной цепи и определить полные комплексные сопротивления ветвей электрической цепи;

3. Произвести расчет всех комплексных токов и напряжений на участках цепи символическим методом;

4. Рассчитать сопряжённые комплексы токов;

5. Вычислить комплексы мощности источника и приёмников; произвести проверку правильности расчета токов путем составления уравнения баланса мощностей цепи;

6. Записать мгновенные значения токов и напряжений на участках цепи;

7. Построить векторную диаграмму токов и напряжений в комплексной плоскости.

Таблица 6.1

Варианты задания и параметры элементов схем

Вари-ант	Схема (рис.)ис.)	Сопротивления элементов схемы, Ом	Параметры источника
R1	X1	R2	X2	R3	X3	R4	X4	R5	X5	U, В	ψu, град
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	6.1
	6.2
	6.3
	6.4
	6.5
	6.6
	6.7
	6.8
	6.9
	6.10
	6.11
	6.12
	6.13
	6.14
	6.15
	6.16
	6.17
	6.18
	6.19
	6.20
	6.21
	6.22
	6.23
	6.24
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	6.25
	6.1
	6.2
	6.3
	6.4
	6.5					Наши рекомендации Произвольно меняется мощность пластов. Мощность каждого пласта на всем протяжении разреза должна оставаться постоянной Мощность в трехфазных цепях Существуют наиболее известные мощности, например мощность счетного множества, мощность континуума. Мощность. Мощность равномерного прямолинейного движения. Мгновенная мощность Мощность в трёхфазных цепях Мощность в цепи переменного тока. Реактивная мощность. Кажущаяся мощность. Комплексная мощность. Общие сведения о трехфазных системах Несимметрия напряжений в трехфазных системах Как выбирается мощность электростанции в целом и мощность отдельных турбоагрегатов? Чем ограничена максимальная мощность ТЭС и АЭС? Мощность ламп в каждой фазе и общую мощность цепи ← Предыдущая страница | Следующая страница →