Модель направленных отрезков.

Рассмотрим следующую задачу. Нам надо переплыть речку и мы должны определить положение такой точки В, в которой мы достигнем противоположного берега, если начинаем плыть из точки А, рис.3.1.(а). Изобразим скорость пловца направленным отрезком ,а скорость речки направленным отрезком , рис. 3.1.(б), при этом, отношение длин направленных отрезков должно соответствовать отношению числовых значений скоростей пловца и речки, а направление этих отрезков должно соответствовать направлениям течения речки и пловца. Эксперимент показывает, что из точки Анижнего берега мы попадём в точку Вна верхнем берегу, как это указано на Рис. 3.1.(б).

речка

B

A

A

речка

B

(а) (б)

Рис. 3.1

Теория этого эксперимента такова. Результирующая скорость пловца изобразится направленным отрезком полученным сложением отрезков и по правилу параллелограмма, рис. 3.1.(б).

Правило параллелограмма сложения скоростей было открыто опытным путём, а знаковая система направленных отрезков возникла как инструмент описания эксперимента. Различные задачи механики и физики используют модели, элементами которых являются объекты, характеризуемые величиной действия в заданном направлении как в только что рассмотренном примере. Такими объектами являются силы, скорости, ускорения и др. Над этими объектами определены операция сложения по определенному выше закону параллелограмма и операция умножения на число. При этом как сами объекты, так и результаты операции над ними не зависят от параллельного переноса в пространстве.

Сформулируем нашу главную задачу.

Задача А. Построить систему свойств (аксиоматику), достаточную для описания модели направленных отрезков с операциями сложения по правилу параллелограмма и умножения на число.

Решение сформулированной задачи состоит из двух частей. В первой части, надо определить понятие направленных отрезков, определить указанные операции, и установить основные свойства этих операций. Во второй части надо указать критерии, согласно которым проверяется, что сформулированных основных свойств достаточно для однозначного описания модели.

Приступим к решению первой части задачи А. Направленный отрезок есть отрезок AB заданной длины, направленный параллельно некоторой прямой «l» причем порядок пары точек означает, что точка А - начало, В - конец направленного отрезка.

Для простоты будем направленные отрезки обозначать так же одной буквой = ,и т.д.

Так как направление и длина направленного отрезка не зависит от параллельного переноса, то направленный отрезок изображает класс направленных отрезков, совместимых параллельными переносами. Этот факт будем называть инвариантностью направленного отрезка относительно параллельного переноса.

На множестве направленных отрезков , , , ... определим операции сложения и умножения на действительное число и установим свойства этих операций.

Суммой направленных отрезков и назовем направленный отрезок = + , который имеет то же начало, что и отрезок и тот же конец, что и , если начало отрезка параллельным переносом совместить с концом , рис 3.2. (а).

Учитывая инвариантность направленного отрезка относительно параллельного переноса, заключаем, что является направленной диагональю параллелограмма, построенного на сторонах и , рис. 3.2. (б). Правило

Рис. 3.2.

(a)

(б)

сложения (а) называется правилом треугольника, а правило сложения (б) - правилом параллелограмма.

Сложение обладает свойствами:

1. " и + = +

2. " , и ( + )+ = +( + )

3. Существует вектор такой, что " + = ( - нулевой вектор)

4. " $ «- » такой, что +(- )= .

(«- » называется противоположенным вектору ).

Доказательство свойств 1 и 2 схематично изображены на рис 3.3(а) и 3.3(б), соответственно.

Рис. 3.3.

(a)

(б)

Свойство 3 представляет возможность вырождения в точку одного из слагаемых:

+ = , =

Свойство 4 представляет правило сложения

+ = = ,

где естественно считать =- . Длину направленного отрезка будем обозначать | |. Очевидно, что | | = | |.

Операция умножения отрезка на число a определяет направленный отрезок =a . Длина | |= |a| | |; направление то же, что и у отрезка , если a>0, и обратное, если a<0.

Свойства операции умножения:

1. " ·1= .

2. " a, bÎR и " a ( b ) = ( a b ) .

3. " aÎR и " , a ( + ) = a + a .

4. " a, bÎR и " (a+b) = a + b .

Доказательство четырёх свойств сложения ( два мы уже доказали) и четырёх свойств умножения на число для направленных отрезков можно найти в школьных учебниках, и мы их опускаем.

Теперь сформулируем понятие вектора как элемента модели направленных отрезков.

Определение.

Направленные отрезки с операциями сложения по правилу треугольника (параллелограмма) и умножения на число называются векторами геометрической модели направленных отрезков.

В силу инвариантности направленных отрезков относительно параллельного переноса заключаем, что: 1) вектор - это класс направленных отрезков, определяемый всеми параллельными переносами любого из его представителей; 2) свойства операций сложения векторов и умножения на число так же инвариантны относительно параллельного переноса.