Использование систем линейных уравнений

Рассмотрим задачи, приводящие к составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений.

6. Прогноз выпуска продукции по запасам сырья. Пред­приятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех типов. Необходимые характеристики производства указаны в табл. 16.3. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья. Задачи такого рода типичны для прогнозов и оценок функционирования предприятий, экспертных оценок проектов освоения месторождений по­лезных ископаемых, а также для планирования микроэкономи­ки предприятий.

Решение. Обозначим неизвестные объемы выпуска про­дукции через x₁, x₂ и x₃. Тогда при условии полного расхода запасов для каждого вида сырья можно записать балансовые соотношения, которые образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Решая эту систему уравнений любым способом, находим, что при заданных запасах сырья объемы выпуска продукции соста­вят по каждому виду соответственно (в условных единицах)

7. Общая постановка задачи прогноза выпуска продукции. Пусть

— матрица затрат сырья т видов при выпуске продукции п видов. Тогда при известных объемах запаса каждого вида сы­рья, которые образуют соответствующий вектор

вектор-план = (х₁, х₂, ... , x_п) выпуска продукции определя­ется из решения системы т уравнений с n неизвестными

где индекс Т означает транспонирование вектора-строки в век­тор-столбец.

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Макроэкономика функционирования многоотраслевого хо­зяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каж­дая отрасль, с одной стороны, является призводителем, а с другой — потребителем продукции, выпускаемой другими от­раслями. Возникает довольно непростая задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции раз­ного вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в 1936 г. в трудах известного амери­канского экономиста В.В.Леонтьева, который попытался про­анализировать причины экономической депрессии США 1929-1932 гг. Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа.

Балансовые соотношения

Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой п отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения свое­го производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период времени; в ряде случаев такой единицей служит год.

Введем следующие обозначения:

— x_i — общий объем продукции i-й отрасли (ее валовой выпуск);

— x_ij — объем продукции i-й отрасли, потребляемый j-йотраслью при производстве объема продукции x_j;

— y_i — объем продукции i-й отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления. К нему относятся личное потребление граждан, удовлетво­рение общественных потребностей, содержание государ­ственных институтов и т.д.

Балансовый принцип связи различных отраслей промыш­ленности состоит в том, что валовой выпуск i-й отрасли дол­жен быть равным сумме объемов потребления в производст­венной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности, или простого сложения) балансовые со­отношения имеют вид

Уравнения (16.2) называются соотношениями баланса.

Поскольку продукция разных отраслей имеет разные изме­рения, будем в дальнейшем иметь в виду стоимостный баланс.