Вычисление длин кривых и объемов тел вращения.
Если тело образовано в результате вращения вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=f(x),осью Ох и прямыми х=а и х=b,то его объем вычисляется по формуле:
Vx=
Если тело образовано в результате вращения вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=f(у) ,осью Оу и прямыми у=с и у=d,то его объем вычисляется по формуле:
Vy
Если тело образовано в результате вращения вокруг оси Оу криволинейной трапеции,Ограниченной кривой у=f(x),осью Ох и прямыми х=а и х=b,то ее объем вычисляется по формуле:
10.Функции нескольких переменных. Геометрическое представление. Область определения.
Переменная z (с областью изменения Z)называется функцией нескольких независимых переменных в множестве М, если каждому набору чисел из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z. Понятия аргументов и области определения вводятся так же, как для функции двух переменных.
Рассмотрим функцию z = f(x,y), (1.1)
определенную в некоторой области М на плоскости Оху. Тогда множество точек трехмерного пространства с координатами (x,y,z), где , является графиком функции двух переменных. Поскольку уравнение (1.1) определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве, она и будет геометрическим изображением рассматриваемой функции.
z
z = f(x,y)
M y
Примерами могут служить изучаемые в предыдущем семестре уравнения плоскости
z = ax + by + c
и поверхностей второго порядка:
z = x² + y² (параболоид вращения),
Частные производные функции нескольких переманных.
Пусть задана функция z = ƒ (х; у). Так как х и у — независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение Δх, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается ∆хz. Итак,
Δхz=ƒ(х+Δх;у)-ƒ(х;у).
Аналогично получаем частное приращение z по у:
Δуz=ƒ(x;у+Δу)-ƒ(х;у).
Полное приращение Δz функции z определяется равенством
Δz = ƒ(х + Δх;у + Δу)- ƒ(х; у).
Если существует предел
то он называется частной производной функции z = ƒ (х; у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов:
Частные производные по х в точке М0(х0;у0) обычно обозначают символами
Аналогично определяется и обозначается частная производная от z=ƒ(х;у) по переменной у:
Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).